14.3角的平分线（第1课时 角平分线的性质）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（人教版2024）

人教版（2024）八年级数学上册 第十四章 全等三角形 14.3角的平分线 （第1课时 角平分线的性质） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据.（重点） 2.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题；（难点） 3.熟练掌握证明几何命题的一般步骤. 新课导入 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等.本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上. 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 知识点讲解 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ 探 究 C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 图1 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 图2 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 可以发现：P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 下面，我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”，显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”，为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形， 并用符号表示已知和求证. 探 究 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到 PD = PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90° 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）∴PD = PE 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 定义与概念 角平分线上的点到角两边的距离相等 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 典型例题 例1 如图14.3-2，已知：∠ AOB，在∠AOB内，求作： ∠ AOM=∠ AOB. 解：作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F； (2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角(如图14.3 -2). 经典例题 16 例2 如图14.3-5，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM=PN. OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， 总结归纳 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. 课堂练习 基础题 知识点1 角平分线的作法 1.［2025吉林长春期末］如图，以点 为圆心，适当长为半径作弧， 交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于 的长 为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线 . （1）根据以上尺规作图的过程可得到结论：射线为 的___ . 【解】由作图过程可知，射线为 的平分线.故答案为平分线. （2）连接， ，运用三角形全等的相关判定方法证明（1）中的结论. 【证明】由作图过程可得，，.在和 中， ，， 射线为 的平分线. 知识点2 角平分线的性质 2.［2024广东广州期中］点在的平分线上，点到边的距离等于6，点 是 边上的任意一点，则下列选项正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图,平分，,，过点 作 于，则 点是 边上的任意一点， .故选B. 21 3.如图，已知的周长是34，，分别平分 和 ，于，且，则 的面积是( ) D A.17 B.34 C.38 D.68 【解析】如图，过点作于，于，连接 . ，分别平分和，，， ， 即，的面积为 .故选D. 归纳总结 已知三角形的角平分线的交点到一边的距离及三角形的周长求面积时，一般利用角平分 线的性质得三角形的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，利用三角形的面积公式列式求解. 本题中， 为三角形三条内角平分线的交点，一般结论为 . 22 提升题 4.［2025荆门月考］如图，在中，平分， ，于点，点在上， 且 . （1）求证： ； 证明：平分， ，， . 在和 中， ， . （2）若，，求 的长. 解： ， . 设，则.在和 中， ，，即 ， ，解得 ，， . 拓展题 5.［2025成都期末］如图，已知点在第一象限的角平分线 上，且，点 在轴上，点在 轴上. （1）求点 的坐标； 解： 点在第一象限的角平分线 上， ， ， . （2）当绕点旋转时， 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出 这个定值. 解： 的值不变.如图，过点作轴于点，于点 ， 则 .平分，， ， .， . ， ， 即 ， .在和 中 ，， . 课堂小结 角的平分线 为证明线段相等提供了又一途径. 性质定理 过角平分线上一点向角两边作垂线段. 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等. 辅助线添加 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第50页练习 第1，2题 课本练习 1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG. C A B O G F D E P 在 △DPF 和 △EPG 中， 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°. PD = PE， ∠PDF = ∠PEG， DF = EG， ∴△DPF≌△EPG（SAS）. ∴PF =PG. 感谢观看 $$