第5章 一元一次方程 单元培优-2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

第5章 一元一次方程 一．选择题（共10小题） 1．（2025•朝阳区校级一模）等式的性质在生活中广泛应用．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（　　） A．若a＝b+5，则a+c＝b+c+5 B．若a＝b+c，则a+5＝b+c+5 C．若a＝b+5，则ac＝（b+5）c D．若a＝b+5，则 2．（2024秋•松北区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．3y﹣x＝5 B．x2﹣3＝x+1 C．2a﹣3＝4a D． 3．（2024秋•碑林区校级期末）已知x＝﹣3是关于x的方程4x﹣3（x+m）＝5的解，那么m的值为（　　） A． B． C．8 D．﹣8 4．（2025春•威远县校级期末）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定Max{a、b}表示a、b中的较大值，如：Max{2、4}＝4，按照这个规定，方程Max{x、﹣x}＝3x+2的解为（　　） A．﹣1 B． C．﹣1或 D．1或 5．（2025春•威远县校级期末）如果x＝﹣3是关于方程5x+m﹣10＝0的解，则m的值是（　　） A．﹣25 B．25 C．5 D．﹣5 6．（2024秋•章贡区期末）已知x＝3是关于x的方程：4+ax＝3的解，那么a的值是（　　） A． B． C．﹣2 D． 7．（2025•中原区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． D． 8．（2025春•邓州市期末）将方程依据等式的性质变形为x＝3，其步骤是（　　） A．移项 B．合并同类项 C．去分母 D．去括号 9．（2024秋•红谷滩区校级期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解x＝4，则方程正确的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 10．（2025春•威远县校级期末）已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（　　） A．36 B．10 C．8 D．4 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•南通校级期末）a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算． （1）则的值为　 　 ； （2）当时，x＝　 　 ． 12．（2025•召陵区一模）请写出一个解为x＝3的一元一次方程　 　 ． 13．（2025春•文登区期末）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数是　 　 ． 14．（2025春•桓台县期中）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为 　 　 ． 15．（2024秋•嘉祥县期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用3小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时，已知轮船在静水中的速度为30千米/时，则水流的速度为 　 　 千米/时． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•凉州区期末）解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2； （2）． 17．（2024秋•开福区校级期末）小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝4，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 18．（2024秋•清苑区期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程4x＝8的解为x＝2，方程y+1＝0的解为y＝﹣1；2+（﹣1）＝1，所以方程4x＝8与方程y+1＝0为“美好方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否为“美好方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程2x+m＝0与方程是“美好方程”，求m的值． 19．（2024秋•无为市期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 20．（2024秋•瑞金市期末）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12…第一步 3x+3﹣8x﹣4＝10x+4﹣12…第二步 3x﹣8x﹣10x＝4﹣12﹣3+4…第三步 ﹣15x＝﹣7…第四步 第五步 填空： （1）以上解题过程中从第　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ； （2）求该方程的正确解． 第5章 一元一次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025•朝阳区校级一模）等式的性质在生活中广泛应用．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（　　） A．若a＝b+5，则a+c＝b+c+5 B．若a＝b+c，则a+5＝b+c+5 C．若a＝b+5，则ac＝（b+5）c D．若a＝b+5，则 【考点】等式的性质． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据等式的基本性质1，将a＝b+5的两边同时加c即可． 【解答】解：根据等式的基本性质1，将a＝b+5的两边同时加c，得a+c＝b+c+5， ∴A符合题意，BCD不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 2．（2024秋•松北区期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．3y﹣x＝5 B．x2﹣3＝x+1 C．2a﹣3＝4a D． 【考点】一元一次方程的定义． 【答案】C 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）． 【解答】解：A、含有两个未知数，故不是一元一次方程； B、未知数的次数2，故不是一元一次方程； C、符合一元一次方程的定义； D、分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，注意掌握一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 3．（2024秋•碑林区校级期末）已知x＝﹣3是关于x的方程4x﹣3（x+m）＝5的解，那么m的值为（　　） A． B． C．8 D．﹣8 【考点】一元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】把方程的解代入得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵x＝﹣3是关于x的方程4x﹣3（x+m）＝5的解， ∴﹣12﹣3（﹣3+m）＝5， 解得m， 故选：A． 【点评】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是理解方程的解的定义． 4．（2025春•威远县校级期末）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定Max{a、b}表示a、b中的较大值，如：Max{2、4}＝4，按照这个规定，方程Max{x、﹣x}＝3x+2的解为（　　） A．﹣1 B． C．﹣1或 D．1或 【考点】解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意分情况讨论并列得对应的方程，解得x的值后并判断是否符合题意即可． 【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时， 原方程为x＝3x+2， 解得：x＝﹣1，不符合题意， 当x＜0时， 原方程为﹣x＝3x+2， 解得：x，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 5．（2025春•威远县校级期末）如果x＝﹣3是关于方程5x+m﹣10＝0的解，则m的值是（　　） A．﹣25 B．25 C．5 D．﹣5 【考点】一元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】把x＝﹣3代入方程计算即可求出m的值． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：﹣15+m﹣10＝0， 解得：m＝25， 故选：B． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值． 6．（2024秋•章贡区期末）已知x＝3是关于x的方程：4+ax＝3的解，那么a的值是（　　） A． B． C．﹣2 D． 【考点】一元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】将x＝3代入原方程，可得出4+3a＝3，解之即可得出a的值． 【解答】解：将x＝3代入原方程得：4+3a＝3， 解得：a， ∴a的值为． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 7．（2025•中原区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】设共有x人，根据物品的价格不变列出方程． 【解答】解：设共有x人， 由题意，得8x﹣3＝7x+4． 故选：B． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 8．（2025春•邓州市期末）将方程依据等式的性质变形为x＝3，其步骤是（　　） A．移项 B．合并同类项 C．去分母 D．去括号 【考点】解一元一次方程；等式的性质． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用等式的基本性质解决问题． 【解答】解：将方程等号两边现时乘以3，可变形为x＝3， 去掉了等号左边的分母，因此该步骤是：去分母， 故选：C． 【点评】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解方程的一般步骤． 9．（2024秋•红谷滩区校级期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解x＝4，则方程正确的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据小刚的解题过程即可求出a的值，代入原方程求解即可． 【解答】解：小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6， ， 2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1， 4x﹣2＝3x+3a﹣1， 4x﹣3x＝3a﹣1+2， x＝3a+1， 因为此时方程的解x＝4， 所以3a+1＝4， 解得a＝1， 所以原方程为， 2（2x﹣1）＝3（x+1）﹣6， 4x﹣2＝3x+3﹣6， 4x﹣3x＝3﹣6+2， x＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意正确求解是解题的关键． 10．（2025春•威远县校级期末）已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（　　） A．36 B．10 C．8 D．4 【考点】一元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】A 【分析】依次移项，合并同类项，系数化为1，解原方程，根据“方程解为整数”，得到列出几个关于a的一元一次方程，解之，求出a的值中找出正整数，相加求和即可得到答案． 【解答】解：ax﹣14＝x+7， 移项得：ax﹣x＝7+14， 合并同类项得：（a﹣1）x＝21， 若a＝1，则原方程可整理得：﹣14＝7，（无意义，舍去）， 若a≠1，则x， ∵解为整数， ∴x＝1或﹣1或3或﹣3或7或﹣7或21或﹣21， 则a﹣1＝21或﹣21或7或﹣7或3或﹣3或1或﹣1， 解得：a＝22或﹣20或8或﹣6或4或﹣2或2或0， 又∵a为正整数， ∴a＝22或8或4或2， 22+8+4+2＝36， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025春•南通校级期末）a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算． （1）则的值为　4　 ； （2）当时，x＝　3　 ． 【考点】解一元一次方程；代数式求值． 【专题】新定义． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，将所求运算式转化成与新运算式相同的形式，解答出结果． 【解答】解：（1）即a＝1，b＝2，c＝﹣1，d＝2， 因为， 所以2﹣（﹣2）＝4； （2）由得：10﹣4（1﹣x）＝18 所以10﹣4+4x＝18， 解得x＝3． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程的一种新的运算． 12．（2025•召陵区一模）请写出一个解为x＝3的一元一次方程　2x+5＝11　 ． 【考点】一元一次方程的解． 【专题】开放型． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，此方程必须符合以下条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的次数是1；（3）是整式方程；（4）解为3．根据等式性质，构造即可． 【解答】解：可以这样来构造方程： 例：把x＝3两边同乘2得，2x＝6，两边同时加5，得2x+5＝11； 像这样，可以构造无数个方程． 【点评】本题考查了同学们的逆向思维能力，属于结论开放性题目． 13．（2025春•文登区期末）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数是　75　 ． 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】75． 【分析】设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为（x+2），根据十位上数字与个位上数字之和为12，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入10（x+2）+x中，即可求出结论． 【解答】解：设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为（x+2）， 根据题意得：x+2+x＝12， 解得：x＝5， ∴10（x+2）+x＝10×（5+2）+5＝75， ∴这个两位数是75． 故答案为：75． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 14．（2025春•桓台县期中）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为 　　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完”，结合孩童的数量不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵每人分4个梨，多12个梨， ∴孩童有个； ∵每人分6个梨，恰好分完， ∴孩童有个． ∴根据题意可列方程． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15．（2024秋•嘉祥县期末）一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用3小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时，已知轮船在静水中的速度为30千米/时，则水流的速度为 　　 千米/时． 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】设水流的速度为x千米/时，利用航程＝航速×时间，结合甲、乙两码头的航程不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设水流的速度为x千米/时， 根据题意得：3（30+x）＝4（30﹣x）， 解得：x， ∴水流的速度为千米/时． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•凉州区期末）解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2； （2）． 【考点】解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【解答】解：（1）原方程可化为5x﹣2x+2＝x﹣2， 移项，得5x﹣2x﹣x＝﹣2﹣2， 合并同类项，得2x＝﹣4， 系数化为1，得x＝﹣2； （2）原方程可化为2（2x﹣1）+6＝3（x﹣2）， 去括号，得4x﹣2+6＝3x﹣6， 移项，得4x﹣3x＝﹣6+2﹣6， 合并同类项，得x＝﹣10． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 17．（2024秋•开福区校级期末）小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝4，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【考点】一元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】a的值为4，原方程正确的解为x＝2． 【分析】按照小李同学的方法去分母，代入x＝4后，可求出a的值，进而可得出原方程为1，再解该方程，即可得出原方程的正确解． 【解答】解：按照小李同学的方法去分母得：2x﹣1＝x+a﹣1， 将x＝4代入该方程得：2×4﹣1＝4+a﹣1， 解得：a＝4， ∴原方程为1． 去分母得：2x﹣1＝x+4﹣3， 移项、合并同类项得：x＝2． 答：a的值为4，原方程正确的解为x＝2． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 18．（2024秋•清苑区期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程4x＝8的解为x＝2，方程y+1＝0的解为y＝﹣1；2+（﹣1）＝1，所以方程4x＝8与方程y+1＝0为“美好方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否为“美好方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程2x+m＝0与方程是“美好方程”，求m的值． 【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）是“美好方程”，理由见解析； （2）m＝6． 【分析】（1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出m的值即可； 【解答】解：（1）是“美好方程”，理由如下： 解方程4x﹣（x+5）＝1，得x＝2， 解方程﹣2y﹣y＝3，得y＝﹣1， ∵x+y＝2﹣1＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”； （2）解方程2x+m＝0，得， 解方程，得y＝4， ∵关于x的方程2x+m＝0与方程是“美好方程”， ∴， ∴m＝6． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 19．（2024秋•无为市期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】设安排x人生产甲种零件，则安排（40﹣x）人生产乙种零件，根据“每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品”，可列方程求解． 【解答】解：设安排x人生产甲种零件，则安排（40﹣x）人生产乙种零件， 根据题意列方程得：2×10x＝5（40﹣x）， 解得x＝8， 40﹣8＝32， 答：安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意，正确确定等量关系是解题的关键． 20．（2024秋•瑞金市期末）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12…第一步 3x+3﹣8x﹣4＝10x+4﹣12…第二步 3x﹣8x﹣10x＝4﹣12﹣3+4…第三步 ﹣15x＝﹣7…第四步 第五步 填空： （1）以上解题过程中从第　二　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　等号左边第二个括号，去括号时符号错误　 ； （2）求该方程的正确解． 【考点】解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）二，等号左边第二个括号，去括号时符号错误； （2）x＝1． 【分析】根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【解答】解：（1）以上解题过程中从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是等号左边第二个括号，去括号时符号错误； （2）， 去分母，得3（x+1）﹣4（2x﹣1）＝2（5x+2）﹣12， 去括号，得3x+3﹣8x+4＝10x+4﹣12， 移项、合并同类项，得﹣15x＝﹣15， 将系数化为1，得x＝1． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$