专题强化01：集合与逻辑用语题型归纳【十四大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化01：集合与逻辑用语题型归纳 【知识网络】 【题型归纳】 题型一：集合的概念 题型二：元素与集合 题型三：集合中元素的特性 题型四：集合的表示方法 题型五：集合的基本关系 题型六：集合的交并补运算 题型七：集合的交并补运算求参数问题 题型八：Venn图 题型九：集合的应用 题型十：充分条件与必要条件判断 题型十一：含有量词的命题的否定 题型十二：逻辑用语的参数问题 题型十三：集合新定义 题型十四：集合与逻辑用语综合问题 【题型突破】 题型一：集合的概念 1．（2025高一上·全国）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3．（24-25高一上·山东滨州）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 题型二：元素与集合 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25高一上·全国）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型三：集合中元素的特性 7．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 8．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 9．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 题型四：集合的表示方法 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 11．（24-25高一上·江苏连云港）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 12．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 题型五：集合的基本关系 13．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 14．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 题型六：集合的交并补运算 16．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)求； (2)求. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 题型七：集合的交并补运算求参数问题 19．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·江苏常州）已知全集，不等式的解集是，集合，. (1)求实数的值； (2)求； (3)若，求的取值范围. 21．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型八：Venn图 22．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 23．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 题型九：集合的应用 25．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 26．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 题型十：充分条件与必要条件判断 28．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（2025高一上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 30．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型十一：含有量词的命题的否定 31．（25-26高一上·广西·开学考试）已知命题： ，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 32．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（2025高一·全国·专题练习）已知命题p：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 题型十二：逻辑用语的参数问题 34．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 35．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三：集合新定义 37．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 38．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 39．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件． 题型十四：集合与逻辑用语综合问题 40．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 41．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合且，集合，命题，命题. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 42．（24-25高一上·重庆·期末）已知全集为，集合，集合. (1)若，求： (2)若，且，求实数的取值范围. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·广西）已知集合，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（25-26高一上·广西·开学考试）“”是“互为邻补角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高二下·北京·学业考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下面命题正确的是（   ） A．“”的必要不充分条件是“” B．命题“若，则”的是真命题 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 9．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）下列选项不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．空集是任何集合的子集 C．任何集合至少有两个子集 D．满足方程组的点集为 10．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 11．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 12．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 13．（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 14．（25-26高一上·全国·课堂例题）若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为 . 15．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 16．（2025高一·全国·专题练习）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 四、解答题 17．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 18．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，且，求实数的取值范围． 19．（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 20．（25-26高一上·河南南阳）已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 21．（24-25高一上·江苏南通·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 22．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：集合与逻辑用语题型归纳 【知识网络】 【题型归纳】 题型一：集合的概念 题型二：元素与集合 题型三：集合中元素的特性 题型四：集合的表示方法 题型五：集合的基本关系 题型六：集合的交并补运算 题型七：集合的交并补运算求参数问题 题型八：Venn图 题型九：集合的应用 题型十：充分条件与必要条件判断 题型十一：含有量词的命题的否定 题型十二：逻辑用语的参数问题 题型十三：集合新定义 题型十四：集合与逻辑用语综合问题 【题型突破】 题型一：集合的概念 1．（2025高一上·全国）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·山东滨州）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 题型二：元素与集合 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断. 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，①错， 对于②，是任意集合的子集，②对. 对于③，集合是它本身的子集，③对. 对于④，“”是用于元素与集合的关系，④错. 对于⑤，是用于集合与集合的关系的，⑤错. 所以错误的写法有①④⑤，共3个. 故选：C. 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 6．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 题型三：集合中元素的特性 7．（2025高三·全国·专题练习）已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 8．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等与集合中元素的互异性求出参数的值，进而求出即可. 【详解】，， ，，即， ，当时，或， 当时，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 当时，，即得集合，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，， ， ， 故选：B. 9．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 题型四：集合的表示方法 10．（23-24高一上·海南省直辖县级单位）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】C 【分析】根据集合中元素满足互异性即可求解A，根据集合的描述法表示即可求BC. 【详解】对于A,根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3, 4},故A错误， 对于B, 满足的构成的集合是，故B错误， 对于C, 全体实数构成的集合是{x|x是实数},C正确， 对于D, 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是，故D错误， 故选：C 11．（24-25高一上·江苏连云港）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 12．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 题型五：集合的基本关系 13．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 14．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）即的范围小于的范围. 要使，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 题型六：集合的交并补运算 16．（23-24高一上·广东江门·期中）已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集和交集的运算可得结果. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】根据给定条件，利用补集、交集、并集的定义逐项计算判断即得. 【详解】（1）由于 所以或或. （2）方法一  ，所以或. 方法二  利用德摩根定律结合（1）得或. 18．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， ， 所以 ， ． （2）由题意得，，， 所以 ， ． 题型七：集合的交并补运算求参数问题 19．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 20．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知全集，不等式的解集是，集合，. (1)求实数的值； (2)求； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合三个二次式的关系，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合集合并集与补集的运算，即可求解； （3）根据集合交集的概念与运算，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】（1）由不等式的解集是， 可得，解得. （2）由不等式，可得，解得，即， 因为，可得或， 可得或. （3）由集合，，， 因为，可得，又因为，可得， 所以实数的取值范围为. 21．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，根据对是否为空集分情况讨论即可； （2）求出，根据并集定义求解即可. 【详解】（1）由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为. （2）由题意，， 若，则， 所以实数的取值范围为； 题型八：Venn图 22．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得 或. 故选：D 23．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 24．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 题型九：集合的应用 25．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 26．（24-25高一上·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，作出韦恩图，可得出该班学生人数. 【详解】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 27．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】C 【分析】画出韦恩图求解即可. 【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： ，解得， 所以只参加一项比赛的有人. 故选：C. 题型十：充分条件与必要条件判断 28．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合的包含关系即可求解. 【详解】当时，，满足，充分性成立； 当时，或，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 29．（2025高一上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，满足“”，但方程没有实数根，即选项B不正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 30．（25-26高一上·全国·单元测试）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举例说明由不能推出，再证明由可推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 题型十一：含有量词的命题的否定 31．（25-26高一上·广西·开学考试）已知命题： ，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 【答案】C 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 32．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词的命题的否定，把任意改为存在，否定结论即可求解. 【详解】命题“，”的否定是：，. 故选：C. 33．（2025高一·全国·专题练习）已知命题p：，，则（    ） A．：， B．：， C．：， D．：， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得解. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题p：，，则：，. 故选：D. 题型十二：逻辑用语的参数问题 34．（24-25高一上·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 35．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 36．（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 题型十三：集合新定义 37．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 38．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 39．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由笛卡尔积的定义易得结果； （2）由笛卡尔积的定义结合充要条件进行证明即可. 【详解】（1）由题意可得：， ． （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，，均有，， 由任意性可知，，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件． 题型十四：集合与逻辑用语综合问题 40．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 41．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合且，集合，命题，命题. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求得集合和， ，进而可求得； （2）根据给定条件可知集合是集合的真子集，根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，故， 又因为， 所以. （2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集， 又且， 所以（等号不同时成立），解得， 综上，实数的取值范围是. 42．（24-25高一上·重庆·期末）已知全集为，集合，集合. (1)若，求： (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或，； (2). 【分析】（1）把代入，分别解一元二次不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解. （2）求出集合，再利用集合包含关系列式求解. 【详解】（1）解不等式，得，则， 当时，或， 所以或，. （2）由（1）知或， 由，得或， 由，得， 所以实数的取值范围是. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据反例可判断两者之间的条件关系. 【详解】若，如，满足， 但不满足，充分性不成立； 若，如，满足，但不满足，必要性不成立． 所以是的既不充分也不必要条件． 故选：D. 2．（25-26高一上·广西）已知集合，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】应用集合的交运算求，即可得元素个数. 【详解】由题意可得，则有2个元素. 故选：B 3．（25-26高一上·广西·开学考试）“”是“互为邻补角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，推不出互为邻补角； 由互为邻补角，得， 则“”是“互为邻补角”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2025高二下·北京·学业考试）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可求得答案. 【详解】命题“”为存在量词命题,它的否定为全称量词命题, 即, 故选：A 5．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求出集合，再结合韦恩图求解. 【详解】由，得，而， 又全集，则，又图中阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：B 6．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到中的元素为2的倍数，中的元素为3的倍数，中的元素为6的倍数，确定集合，，之间的包含关系，分别求出各选项中等号左边的结果，即可进行判断. 【详解】根据题意得到中的元素为2的倍数，中的元素为3的倍数，中的元素为6的倍数， 所以，，， 所以，，所以；，， 故选项A，C，D正确；，例如，但，故选项B错误. 故选：B. 7．（25-26高一上·全国·课前预习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干可知，再利用集合和集合的范围即可确定的取值范围. 【详解】，，又， 则，解得，故的取值范围是． 故选：. 二、多选题 8．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下面命题正确的是（   ） A．“”的必要不充分条件是“” B．命题“若，则”的是真命题 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】对A：因为 ，但 或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对B：当时，满足，但此时不成立，所以命题“若，则”的是假命题，故B错误； 对C：当“且”时，“”成立；但当“”时，比如“，”，此时“且”不成立.所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对D：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”.所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确. 故选：AD 9．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）下列选项不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．空集是任何集合的子集 C．任何集合至少有两个子集 D．满足方程组的点集为 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义、性质及子集的定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由得或或，因，则或， 则列举法表示为，故A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，空集只有一个子集，即空集本身，故C错误； 对于D，由得，故点集为，则D错误. 故选：ACD 10．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 12．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 13．（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】 【分析】由集合的交集运算及真子集的概念可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，共3个元素，所以的真子集个数为. 故答案为：7. 14．（25-26高一上·全国·课堂例题）若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意“，使得”是真命题，求参数范围即可. 【详解】由于“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 故，则， 则实数的取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 15．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】假设两个命题均为真命题求出的取值范围，再取其补集即可. 【详解】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是或 故答案为：或 16．（2025高一·全国·专题练习）已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 【答案】 【分析】解法一：分析出，，，且，再讨论剩余元素11和13，得到，且，，且．得到答案； 解法二：利用韦恩图进行求解. 【详解】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， 四、解答题 17．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集为，集合，或求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用集合的交集、补集、并集的定义求解. 【详解】（1）由，或，得. （2）由全集为，得或，， 所以. （3）依题意，或，所以. 18．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)R (2) 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，再利用并集的定义求解. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）当时，，或， 所以R. （2）集合，或， 由，得，而，所以. 19．（2025高一·全国·专题练习）已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围. 【详解】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 20．（25-26高一上·河南南阳）已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素与集合的关系可得关于的不等式，故可求其范围； （2）根据条件关系的集合的包含关系，从而可得关于关于的不等式，故可求其范围. 【详解】（1）因为且，故，故. （2）， 因为是的必要不充分条件，故为的真子集， 而，故且即. 21．（24-25高一上·江苏南通·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）当时， 或； ∵， ∴ 或； （2）∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 22．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”． (1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”； (2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）对任意的，有． 【答案】(1)答案见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可； （2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的，从而，即可证得；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得，则，通过证明，即可得证. 【详解】（1）集合U的“完美子集类”有: ,, ,,. （2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的， 从而， 所以. （ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的，， 从而                      下证： 一方面，且或， 即； 另一方面， 或且，即 故. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$