1.5：全称量词与存在量词【八大考点+八大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

1.5：全称量词与存在量词 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点二　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【题型归纳】 题型一、全称量词命题与存在量词命题判断 【例1】．（2025高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 题型二：用全称量词活存在量词改写命题 【例2】．（24-25高一上·全国）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 题型三：命题真假的判断 【例3】．（24-25高一上·全国）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【跟踪训练1】．（23-24高一下·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国）判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3x2＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 题型四、由全称量词命题的真假求参数 【例4】．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练1】．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：由存在量词命题的真假求参数 【例5】．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏苏州）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：含有一个量词的命题的否定 【例6】（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高一上·河北衡水·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型七：含有一个量词的命题的否定的应用 【例7】．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为 . 【跟踪训练1】．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 【跟踪训练2】．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若命题 ，则p的否定是 ，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是 题型八、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 【例8】．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练1】．（20-21高一·全国）已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东江门·期中）命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·全国·单元测试）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知命题，命题，则（    ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 7．（24-25高一下·四川眉山·期末）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 9．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（25-26高一上·全国）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．若为假命题，则为真命题 12．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分条件 14．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）下列叙述正确的是（ ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．命题“，”的否定是真命题 三、填空题 15．（24-25高二下·安徽六安·期末）若命题 ，，则该命题的否定是 ． 16．（24-25高一上·全国）下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 17．（25-26高一上·全国·课前预习）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是 ． 18．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知命题“，使得”的否定形式为 . 19．（24-25高一上·全国·课后作业）设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得.上述三个命题的否定是真命题的序号是 ． 四、解答题 20．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 21．（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)有； (3)某箱产品中至少有一件次品； (4)方程有一个根是偶数； (5)使. 22．（25-26高一上·全国·课后作业）已知命题，命题 (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题只有一个为真命题，求实数的取值范围． 23．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：关于的不等式成立，命题乙：关于x的方程有两个不相等的正实数根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m的取值分别组成集合A、B. (1)求集合A、B； (2)若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5：全称量词与存在量词 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点二　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【题型归纳】 题型一、全称量词命题与存在量词命题判断 【例1】．（2025高一·全国·专题练习）下列选项中，与其他命题不同的命题是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．任何一个平行四边形是矩形 C．有些平行四边形是矩形 D．有一个平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据题中命题的含义及结构形式逐项判断即可. 【详解】选项A，C，D都是含有存在量词的存在量词命题，选项B是含有全称量词的全称量词命题. 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 题型二：用全称量词活存在量词改写命题 【例2】．（24-25高一上·全国）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的意义，改写命题. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 题型三：命题真假的判断 【例3】．（24-25高一上·全国）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在 ，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得 的实数x不存在，该命题是假命题． 【跟踪训练1】．（23-24高一下·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)存在量词命题，假命题 (6)存在量词命题，真命题 (7)存在量词命题，真命题 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用全称量词命题和存在量词命题的定义及真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数， 所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除， 所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）是全称量词命题，当时，不满足， 所以“，有”为假命题． （4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题． （7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3， 所以“有些整数只有两个正因数”为真命题． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国）判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3x2＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)假命题(2)真命题(3)假命题(4)真命题(5)假命题(6)真命题(7)真命题 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）因为是无理数，但是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）当时，不满足，所以“，有”为假命题． （4）由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6），有，因此存在量词命题“，”是真命题． （7）由于存在整数3只有正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． 题型四、由全称量词命题的真假求参数 【例4】．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 【跟踪训练1】．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由命题为真命题，即不等式在上恒成立， 当，可得，所以. 故选：B. 题型五：由存在量词命题的真假求参数 【例5】．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 【跟踪训练1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判别式列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】由于命题“，使”是假命题， 所以， 解得. 故选：B 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏苏州）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 题型六：含有一个量词的命题的否定 【例6】（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在性量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，原命题的否定为： . 故选：C 【跟踪训练1】（24-25高一上·河北衡水·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得出正确选项. 【详解】命题“，”的否定， 即把存在变为任意，然后否定结论，即，. 故选：D 题型七：含有一个量词的命题的否定的应用 【例7】．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】， 【分析】由命题为假命题，可得命题为真命题，根据恒成立问题即可求出实数的取值范围. 【详解】若命题为假命题，则命题为真命题， 即对恒成立，所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：， 【跟踪训练1】．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】根据题意，可得为真命题，从而求得的范围. 【详解】因为命题为假命题，所以命题为真命题， ，， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若命题 ，则p的否定是 ，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据命题的否定及其真假即可得到答案. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题， 则p的否定是“”， 若命题p为假命题，则其否定为真命题，则，解得. 故答案为：；. 题型八、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 【例8】．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解. （2）由题意得，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意可得方程有解， 所以，即，解得，所以． （2）因为是的必要条件，所以， 又因为为非空集合，且， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 【跟踪训练1】．（20-21高一·全国）已知集合，且. (1)若命题是真命题，求m的取值范围； (2)若命题是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，再由集合间的包含关系求解即可； （2）由条件得到，再由集合间的包含关系求解即可； 【详解】（1）由于命题是真命题， 所以，所以， 解得， （2）q为真，则，因为，所以. 所以， 解得. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【详解】（1）当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. （2）因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）下列四个命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题，解方程或不等式即可判断选项中命题的真假． 【详解】选项A，因为，可得，即A是真命题，所以A正确； 选项B，易知当时，不是整数，即不存在，所以B为假命题，所以B错误； 选项C，易知当时，，因此C为假命题，所以C错误； 选项D，解不等式可得，显然不存在，使得，可得D为假命题，所以D错误． 故选：A． 2．（24-25高一上·广东江门·期中）命题：“，”的否定是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题：“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：A 3．（25-26高一上·全国·单元测试）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定概念可得答案. 【详解】由题可得原命题的否定为“”. 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中，是真命题的是（   ） A．所有梯形的对角线相等 B． C．存在一个自然数小于0 D． 【答案】D 【分析】根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假. 【详解】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误； 当时，，B错误； 所有的自然数均大于或等于0，C错误； 当，时，，D正确. 故选：D 5．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 【答案】C 【分析】根据各项描述判断命题的类型并写出对应的否定命题，进而判断真假，即可得. 【详解】A，B：原命题均为全称量词命题，其否定是存在量词命题，不符合题意； C：原命题为存在量词命题，否定是，是全称量词命题， 又，故为真命题，符合题意； D：原命题为存在量词命题，否定是所有整数都是质数，是假命题，不符合题意． 故选：C 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知命题，命题，则（    ） A．p是假命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是假命题 【答案】B 【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式判断命题真假，得到答案. 【详解】因为，所以或，解得或，所以命题是真命题， 因为，所以命题是假命题， 故选：B. 7．（24-25高一下·四川眉山·期末）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意. 故选：D. 8．（2025·吉林·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】对于命题，时，， 所以，为假命题，为真命题， 对于命题，，解得，或， 所以，，为真命题，为假命题， 所以和都是真命题. 故选：C 9．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题为假命题则它的否定为真命题，由二次函数的性质得到判别式小于0，建立不等式求得实数的取值范围. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题的否定“，”是真命题， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 10．（25-26高一上·全国）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 【答案】AC 【分析】根据存在量词和全称量词命题的定义即可求解. 【详解】，又，故当时，等式成立，故命题是存在量词命题，是真命题； 能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题是全称量词命题，是真命题． 故选：AC 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．若为假命题，则为真命题 【答案】CD 【分析】根据命题的否定的定义判断A；举例判断BC；结合命题和其的否定的真假性判断D. 【详解】对于A，全称量词命题的否定是存在量词命题， 则命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，当时，满足，但， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，当时，不成立， 因此命题“”是假命题，故C正确； 对于D，由命题及其否定一定一真一假可知，D正确． 故选：CD. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【答案】AD 【分析】解法一：根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断B即可；根据ACD原命题的否定是全称量词命题，再判断原命题的否定是否为真命题进行判断即可. 解法二：存在量词与全称量词命题一真一假，只需找选项中是存在量词命题，且为假命题的即可． 【详解】解法一：对于A，是存在量词命题， 其否定为：，即，是全称量词命题，且为真命题； 对于B，所有的正方形都是矩形是全称量词命题，其否定为存在量词命题； 对于C，是存在量词命题， 其否定为：，，即，因为恒成立，故其是假命题； 对于D，至少有一个实数，使是存在量词命题， 其否定为：任意实数，都有，因为，所以不存在使得，故其为真命题． 解法二：存在量词与全称量词命题一真一假，只需找选项中是存在量词命题，且为假命题的即可． 只有ACD是存在量词命题，且A中，所以A为假命题， C中恒成立，所以C为真命题， D中任意实数，都有，所以D为假命题． 故选：AD． 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．的充要条件是 C． D．是的充分条件 【答案】AD 【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，D，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C． 【详解】命题“”的否定是“”，A对； 当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错； 当时，，C错； 由可得，所以是的充分条件，D对. 故选：AD. 14．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）下列叙述正确的是（ ） A．， B．命题“，”的否定是“，或” C．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．命题“，”的否定是真命题 【答案】BD 【分析】通过将变形成可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D. 【详解】对于A：因为，故A不正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对于C：由“且”，得，可以推得出“”，故“且”是“”的充分条件，故C错误； 对D：命题“，”的否定为：“，”，显然，则命题“，”为真命题，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 15．（24-25高二下·安徽六安·期末）若命题 ，，则该命题的否定是 ． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定得解. 【详解】由存在量词的否定可知， ， 故答案为： 16．（24-25高一上·全国）下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【分析】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误． 【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 17．（25-26高一上·全国·课前预习）若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题设是真命题，利用判别式符号列不等式求参数范围. 【详解】原命题的否定是“”，且是真命题， 则，即，解得. 故的取值范围是. 故答案为： 18．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知命题“，使得”的否定形式为 . 【答案】，使得. 【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论即可. 【详解】命题“，使得”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定为，使得. 故答案为：，使得. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得.上述三个命题的否定是真命题的序号是 ． 【答案】①② 【分析】举特例，根据元素与集合关系判断各项命题是否为真即可. 【详解】根据题意，设，则A与B之间不存在包含关系． 因为且，所以①②是假命题； 由， 若，即对于，都有， 若且不存在包含关系，则必，使， 所以③是真命题． 综上，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题． 故答案为：①② 四、解答题 20．（25-26高一上·全国·课后作业）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【详解】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． 21．（25-26高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)有； (3)某箱产品中至少有一件次品； (4)方程有一个根是偶数； (5)使. 【答案】(1)存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交； (2)有； (3)某箱产品都是正品； (4)方程的每一个根都不是偶数； (5)有. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据全称量词命题、存在量词命题的否定分别为特称命题、全称命题，依次写出各命题的否定即可. 【详解】（1）“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”； （2）“有”的否定是“有”； （3）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是合格品”； （4）“方程有一个根是偶数”的否定是“方程的每一个根都不是偶数”； （5）“使”的否定是“有”. 22．（25-26高一上·全国·课后作业）已知命题，命题 (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题只有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分离常数法、判别式求得为真命题时实数的取值范围； （2）根据“真假”，或“假真”求得实数的取值范围. 【详解】（1）若为真命题，则对任意，恒成立，所以； 若为真命题，则，解得或； 若都是真命题，则实数应同时满足上述条件，即． 综上，当都为真命题时，实数的取值范围为． （2）当为真命题，为假命题时，，解得； 当为假命题，为真命题时，，解得． 综上，当只有一个为真命题时，实数的取值范围为或． 23．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）分类即可求解. 【详解】（1）若命题为真命题， 则， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：关于的不等式成立，命题乙：关于x的方程有两个不相等的正实数根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m的取值分别组成集合A、B. (1)求集合A、B； (2)若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)A，且； (2)或或. 【分析】（1）解绝对值不等式可得集合A，注意到，据此结合题意可得B； （2）由题意命题甲、乙一真一假，然后结合（1）可得答案. 【详解】（1） ，即A； 注意到，又方程有两个不相等的正实根， 则且，即且； 故A，且； （2）由题命题甲、乙一真一假， 由（1），当命题甲为假时，或；当命题乙为假时，或； 则当甲真乙假时，； 当甲假乙真时，或； 综上：当命题甲、乙中有且仅有一个是真命题时，或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$