7.4三角函数应用（题型专练）数学苏教版2019必修第一册

7.4 三角函数应用 题型一 确定振幅、相位、周期等参数 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）函数与函数具有相同的（   ） A．振幅 B．频率 C．相位 D．初相 2.（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 4．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知一正弦电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在一个周期内，电流不超过30A的时长为 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 6．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）， (1)运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． (2)写出函数的振幅，最小正周期，初相． 题型二 应用问题中变量的解析式 1．（24-25高一下·江西·期中）如图，某摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点处进舱，转动后距离地面的高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川达州·期中）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为： 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 5．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在直角坐标系中，已知圆是以原点为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆上，以为始点，沿逆时针方向匀速运动，每秒转一圈，则该质点的纵坐标关于时间（单位:秒）的函数解析式是 . 6．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 ． 7．（2025高一·全国·专题练习）如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为 ． 题型三 几何中三角函数模型 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 2．（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 题型四 三角函数在生产生活中的应用 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 3．（20-21高一上·云南昆明·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一下·江西宜春·期中）某卖场去年1至 12月份销售某款饮品的数量 （单位：万件）与月份x近似满足函数，已知在上单调，且对任意的，都有 ，若，则该卖场去年销售该款饮品的月销量不低于 65万件的月份有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型五 三角函数在物理学中的应用 1．（2024高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 3．（多选）（24-25高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 4．（多选）（2025·河南开封·二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 5．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 6．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 7．（21-22高一下·北京·期中）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．    ①；②；③；④． 则，两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） 题型一 三角函数的综合应用问题 1．（23-24高一下·安徽·开学考试）近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.    (1)求的解析式； (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，弹簧挂着的小球上下振动.设小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离与时间之间的函数表达式是，，作出这个函数的大致图象，并回答下列问题： (1)小球开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次？ (4)每秒钟小球往复振动多少次？ 3．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 1．（多选）（20-21高一下·湖南长沙·开学考试）如图，正方形的长为，为边中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上为减函数 C． D．图象的对称轴是 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h. 3．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 5．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米． (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 6．（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4 三角函数应用 题型一 确定振幅、相位、周期等参数 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）函数与函数具有相同的（   ） A．振幅 B．频率 C．相位 D．初相 【答案】B 【分析】先求出函数的周期，根据振幅、频率、初相的定义，即可求出结论. 【详解】函数的振幅为3；周期，则频率为；相位为；初相为； 函数的振幅为2；周期，则频率为；相位为；初相为； 所以两个函数的频率相同. 故选：B. 2.（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 3．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的频率为周期的倒数，结合正弦函数周期的定义即得答案. 【详解】因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4， 所以， 则. 故选：D. 4．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知一正弦电流（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．在一个周期内，电流不超过30A的时长为 【答案】ABD 【分析】由图象可得A正确；由周期公式可得B正确；由图象可得C错误；令可得D正确； 【详解】对于A，由图可知，故A正确； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C，由，得，得． 因为，所以，故C错误； 对于D，由，得， 得，得， 所以在一个周期内，电流不超过30A的时长为，故D正确； 故选：ABD. 5．（24-25高一下·上海·阶段练习）声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 【答案】 【分析】由，得到，求得，得到或，又由时，求得，此时是函数的一个周期，不符合图象，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数的图象过点，可得， 即，可得，即，即， 因为，所以为的倍数，所以或， 当时，可得， 则， 此时是函数的一个周期，不符合图象； 当时，可得， 则 此时是函数的一个周期，符合函数的图象，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）， (1)运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． (2)写出函数的振幅，最小正周期，初相． 【答案】(1)答案见解析 (2)振幅为2，最小正周期为8，初相为 【分析】（1）先确定“五点”，进而画出图象即可； （2）根据函数解析式及其各量的物理意义求解即可. 【详解】（1）列表如下： 1 3 5 7 0 0 2 0 0 在图中描出这五个点，并连线得到图象，如下图： 由可知，振幅为2，最小正周期为，初相为. 题型二 应用问题中变量的解析式 1．（24-25高一下·江西·期中）如图，某摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点处进舱，转动后距离地面的高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题中信息求出、、、的值，即可得出函数的解析式. 【详解】设，由题意可得，解得， 函数的最小正周期为，则， 因为游客从最低点处进舱，可取， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一下·四川达州·期中）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出观览车的角速度，再求出对应的角，根据三角函数的定义可的坐标，从而可求. 【详解】观览车的角速度为， 设，其中， 则，故，故， 故点的纵坐标为， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）点是半径的圆周上的点它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点的纵坐标关于时间的函数关系式为： 【答案】，. 【分析】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为，求出的值，时，射线可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式. 【详解】设点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为， 由题意可得，， 时，射线可视角的终边，则,. 故答案为：，. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【答案】， 【分析】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【详解】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 5．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在直角坐标系中，已知圆是以原点为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆上，以为始点，沿逆时针方向匀速运动，每秒转一圈，则该质点的纵坐标关于时间（单位:秒）的函数解析式是 . 【答案】 【分析】依题意设，，根据周期求出，再读出初相与，即可得解. 【详解】依题意设，， 由于每秒转一圈，故最小正周期为，则， 由于圆半径为，故，又初相为，故， 所以. 故答案为： 6．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在半径为2圆心为O的圆周上，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度匀速转动，则点M的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】求出时刻点M所在射线为终边的角，再利用正弦函数的定义求解. 【详解】依题意，以射线为终边的角， 时刻点M所在射线为终边的角为， 由三角函数定义得. 故答案为：. 7．（2025高一·全国·专题练习）如图，点为作简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处（点处）时开始计时，则物体相对平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系为 ． 【答案】（） 【分析】由题可设，再求相关参数即可. 【详解】设， 则，，所以，即． 又函数过点，所以，得，． 故（）． 故答案为：  ． 题型三 几何中三角函数模型 1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 2．（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 题型四 三角函数在生产生活中的应用 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 2．（24-25高一下·安徽·阶段练习）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 3．（20-21高一上·云南昆明·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 4．（23-24高一下·江西宜春·期中）某卖场去年1至 12月份销售某款饮品的数量 （单位：万件）与月份x近似满足函数，已知在上单调，且对任意的，都有 ，若，则该卖场去年销售该款饮品的月销量不低于 65万件的月份有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】利用最大值与最小值求出，再由单调性和周期公式求出，代入最值求出，最后令解出适合的即可. 【详解】由题意可得，， 又在上单调，且对任意的，都有 ， 所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以， 所以， 解得， 因为， 所以，即有5个月， 故选：B. 题型五 三角函数在物理学中的应用 1．（2024高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为（    ） A． B． C．1 s D． 【答案】D 【分析】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【详解】由题意得，， 故函数的周期为，，可得， 令，解得， 故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D. 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 3．（多选）（24-25高一下·山东临沂·期中）某弹簧振子在简谐运动过程中，振子位移关于时间的函数解析式为，则（    ） A．周期为 B．初相是 C．该振子离开平衡位置的最大距离是20 D．当时，振子第一次到达平衡位置 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数的性质，分别对周期、初相、振子离开平衡位置的最大距离以及振子第一次到达平衡位置的时间进行分析求解. 【详解】在函数中，，则周期，所以A选项正确. 在函数中，初相，所以B选项错误. 对于正弦函数，表示振子离开平衡位置的最大距离. 在函数中，，则振子离开平衡位置的最大距离是，所以C选项正确. 振子到达平衡位置时，，即，则（）. 解这个方程可得： ， 因为，当时，，所以当时，振子第一次到达平衡位置，D选项正确. 故选：ACD. 4．（多选）（2025·河南开封·二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 【答案】4 【分析】根据题意有被动轮和主动轮同时转动，转动时间相同，据此可以得到周期，由此可得两点再次同时回到初始位置的时间. 【详解】设主动轮、被动轮的周期分别为，则， 故，所以，故需要经过4s，同时回到起点． 故答案为： 6．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【分析】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 7．（21-22高一下·北京·期中）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由，两种不同的声波合成得到的，，的数学模型分别记为和，满足．已知，两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．    ①；②；③；④． 则，两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） 【答案】②③ 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx的函数的最小正周期、三角函数在生活中的应用 【分析】由4个函数的周期和的周期之间的关系，结合函数图象并应用特值法排除，即可得. 【详解】由、、、的最小正周期依次为， 由图知的最小正周期为2，则或， 对于，有，与图象不符， 综上，，即为②③的组合. 故答案为：②③ 题型一 三角函数的综合应用问题 1．（23-24高一下·安徽·开学考试）近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.    (1)求的解析式； (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可； （2）根据题中条件建立不等式，解出即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点， 设为，则， 由题意得，，， 解得， 所以. 注：写成也给分.    （2）令，则， 即， 所以， 解得. 当时，，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，弹簧挂着的小球上下振动.设小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离与时间之间的函数表达式是，，作出这个函数的大致图象，并回答下列问题： (1)小球开始振动（即）时的位置在哪里？ (2)小球最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次？ (4)每秒钟小球往复振动多少次？ 【答案】(1)图象见解析，相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离 (2) (3)2秒 (4)次 【分析】利用正弦型函数的物理意义逐一解答各小题即可得解. 【详解】（1）的图象如图， 因为， 所以当时，， 则小球开始振动（即）时的位置相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离. （2）对于，振幅为， 所以小球最高点和最低点与平衡位置的距离都是； （3）对于，， 所以，即经过2秒小球往复振动一次； （2） 因为，所以每秒钟小球往复振动次. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求，然后代点的坐标求； （2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解. 【详解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 1．（多选）（20-21高一下·湖南长沙·开学考试）如图，正方形的长为，为边中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上为减函数 C． D．图象的对称轴是 【答案】AC 【分析】求出当时，函数的解析式，可判断A选项的正误；利用的单调性可判断B选项的正误；利用对称性可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，设交于点， ，所以，， ，，A选项正确； 对于B选项，当时，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数在上单调递增，B选项错误； 对于C选项，取的中点，连接， 设射线与正方形的边的交点为，作点关于直线的对称点， 则，所以，， 将射线绕点按顺时针方向旋转扫过正方形的面积为，由对称性可知， 因为，即，C选项正确； 对于D选项，由C选项可知，，则， 所以，， 所以，函数的图象不关于直线对称，D选项错误. 故选：AC. 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h. 【答案】 【分析】根据的最大值和最小值，结合最大温差，即可求得；令，求解三角不等式，即可求得降温的时长. 【详解】对，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，又，故，解得； 令，即，，又，令， 则或，解得， 则一天中需要降温的时长为：小时. 故答案为：；. 3．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】当时，求出的长，利用三角形的面积公式可判断①；利用函数的单调性可判断②；推导出，可判断③. 【详解】设交正方形于点，如图所示： 对于①，当时，因为，则， ,故①正确； 对于②，不妨设， 则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即， 所以，， 因为即，所以，，故②错误； 对于③，根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积， 所以，表示正方形的面积，即， 故当时，则，，且， 所以，成立，故③正确. 故答案为：①③. 5．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米． (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或. (2). 【分析】（1）①由题意可得，；②根据题意，得，解方程即可. （2）由题意得，当时，恒成立，解不等式即可求解. 【详解】（1）①由题意得， ②由题意，， 即，化简得， 则或， 解得或 又由于，所以或. （2）由（1）得，， 由题意得，当时，恒成立， 即，化简得， 故，解得， 所以，即，解得 由于，则，因此. 6．（23-24高一下·上海·期中）一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$