专题2.7用坐标方法解决几何问题（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题2.7 用坐标方法解决几何问题 教学目标 1、掌握用坐标法解决几何问题的方法； 2、掌握求轨迹方程的方法 教学重难点 1、重点：用坐标法解决几何问题的方法； 2、难点：求轨迹方程； 知识点01 用坐标法解决几何问题 根据题意建立直角坐标系，借助坐标系把形与数结合起来，将几何问题转化为代数问题，并用代数运算进行解决。 【即学即练1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的平面直角坐标系，证明：(1)；(2)． 知识点02 轨迹方程 1 求轨迹方程的一般方法： (1). 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 (2). 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 (3). 代入法(相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x，y)，用(x，y)表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 (4).几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 2求轨迹方程的注意事项： 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 【即学即练2-1】(24-25高二上·安徽合肥·期中)已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【即学即练2-2】(24-25高二上·上海·课堂例题)已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 题型01 求轨迹方程 【典例1-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知等腰的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是(   ) A． B． C． D． 【典例1-2】(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点，若点是以为直径的圆上的动点，且点关于点的对称点的轨迹满足方程，则(    ) A． B． C． D． 【典例1-3】(24-25高二上·上海·课堂例题)已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 【变式1-1】(24-25高二上·全国·课后作业)平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则(   ) A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 【变式1-3】(24-25高二上·全国·课后作业)平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 【变式1-4】(24-25高二上·安徽合肥·期中)已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【变式1-5】(25-26高三上·河北保定·开学考试)已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 【变式1-6】(24-25高二上·广东广州·期中)数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数(，)的点M的轨迹是圆，已知两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程为 ；若圆C：上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为 【变式1-7】(24-25高二上·福建三明·期末)已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程；(2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【变式1-8】(2025高三·全国·专题练习)如图所示，已知圆，在圆上任取一点，以OQ为边逆时针作正三角形OQR，求点的轨迹方程． 题型02 坐标法 【典例2-1】(24-25高二上·江苏南通·期中)如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为(   ) A． B． C． D． 【典例2-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过(   ) A．米 B．米 C．米 D．米 【典例2-3】(24-25高二上·江苏无锡·期中)在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 【变式2-1】（2023高一上·浙江台州·专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且满足，则点在运动过程中所形成的图形的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二上·湖北荆州·阶段练习）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2-3】（2025·上海杨浦·三模）已知的，则的面积的取值范围是 ． 【变式2-4】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，为中点，则的取值范围为 .    【变式2-5】(24-25高二上·全国·课后作业)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水 时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度(为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM()方向以速度进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积 . 【变式2-6】（24-25高二上·江苏无锡·期中）在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 题型03 韦达定理的应用 【典例3-1】(24-25高二上·河南洛阳·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程；(2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【典例3-2】(24-25高二上·陕西西安·阶段练习)如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，(在上方)，直线与圆交于，(在上方)．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：；②猜想和的大小关系，并证明． 【典例3-3】(2024高三·全国·专题练习)如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点． (1)若直线的斜率为1，求的值；(2)若两条切线与轴分别交于点，求的最小值． 【变式3-1】(24-25高二下·上海崇明·期末)已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【变式3-2】(24-25高二上·河南洛阳·期中)已知圆的圆心在轴上，点在圆上，当的坐标为时，到直线的距离最大. (1)求直线被圆截得的弦长； (2)经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点. ①求证：为定值；②已知，若，求直线的方程. 【变式3-3】(24-25高二上·江苏徐州·期中)已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；(2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 题型04 定点定值问题 【典例4-1】(24-25高二上·上海·阶段练习)已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；(2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标；(3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【典例4-2】(2024·江西南昌·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是(   ) A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【典例4-3】(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知圆，直线.则以下几个结论正确的有(    ) A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【变式4-1】(24-25高二上·北京顺义·期中)已知圆：与直线相切． (1)求出；(2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围；(3)若过点做两条互相垂直的直线交圆于，两点，判断直线是否恒过定点，若存在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【变式4-2】(24-25高二上·江苏扬州·阶段练习)已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 一、单选题 1.(22-23高二上·全国·课后作业)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为(    ) A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 2.(2025·山东·二模)直线与圆交于两点，，则为(    ) A． B． C． D． 3.(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点，且，记中点为，则的最大值为(    ) A．5 B． C． D． 4.(24-25高二上·湖南长沙·阶段练习)已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为(    ) A． B． C．1 D．2 5.(24-25高二上·河北邢台·阶段练习)已知点，直线与直线交于点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.(24-25高三下·河北·开学考试)已知圆A，B是圆上的两个动点，O为坐标原点， ;则的最小值为(    ) A． B． C． D．1 7.(24-25高二上·江苏无锡·期中)在平面直角坐标系xOy中，设，点P满足，动点Q满足，当时，点P的纵坐标为(    ) A． B． C． D． 8.(21-22高三上·江苏南京·开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是(    ) A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 二、多选题 12.(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则(   ) A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 13.(24-25高二上·江苏·阶段练习)下列说法正确的有(    ) A．直线过定点 B．圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C．若圆与圆有唯一公切线，则 D．圆上存在两个点到直线的距离为2 14.(24-25高二上·福建漳州·期中)已知，圆，点为圆上一动点，且点为线段AP的中点，则(   ) A．的取值范围为 B．点的轨迹方程为 C．直线AP的斜率的最大值为 D．当点在圆上时，点的横坐标为 三、填空题 12.(24-25高二上·北京·阶段练习)已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为 ，的面积的最大值为 . 13.(24-25高二上·全国·课后作业)下列序号中点的轨迹是圆(或圆的一部分)的有 ． ①在平面直角坐标系中，以坐标原点为起点的所有单位向量的终点； ②所有到直线l的距离等于定长的点；③以线段AB为斜边的所有直角三角形的直角顶点． 14.(2024·西藏拉萨·一模)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点，距离之比为定值(且)的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内(包含边界)运动，且满足，则动点的轨迹长度为 . 四、解答题 15.(24-25高二下·四川眉山·开学考试)已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程；(2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 16.(24-25高二下·安徽·开学考试)在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点. (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 17.(24-25高二上·山东·期中)已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 18.(24-25高二上·湖北·阶段练习)已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 19.(24-25高二上·云南临沧·阶段练习)已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；(2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 用坐标方法解决几何问题 教学目标 1、掌握用坐标法解决几何问题的方法； 2、掌握求轨迹方程的方法 教学重难点 1、重点：用坐标法解决几何问题的方法； 2、难点：求轨迹方程； 知识点01 用坐标法解决几何问题 根据题意建立直角坐标系，借助坐标系把形与数结合起来，将几何问题转化为代数问题，并用代数运算进行解决。 【即学即练1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的平面直角坐标系，证明：(1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、直角坐标系中的基本公式的应用 【分析】(1)建系设坐标应用距离公式证明等式即可；(2)应用两点间距离公式证明即可. 【详解】(1)以的直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．    设两点的坐标分别为．由两点间距离公式得，．所以． (2)因为点是的中点，所以点的坐标为，即． 由两点间距离公式得．所以． 知识点02 轨迹方程 1 求轨迹方程的一般方法： (1). 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 (2). 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 (3). 代入法(相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x，y)，用(x，y)表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 (4).几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 2求轨迹方程的注意事项： 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 【即学即练2-1】(24-25高二上·安徽合肥·期中)已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】(限制条件写成或也可以)【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】转化为三点共线，以及，即可列式求解. 【详解】设，，，由三点共线，则①， 且，，所以，即②， 联立①②，消去，为，，即， 由图可知，，所以，整理为， 故答案为：(限制条件写成或也可以) 【即学即练2-2】(24-25高二上·上海·课堂例题)已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案. 【详解】设，因，则. 因，，则重心坐标为. 设，则，则. 故重心轨迹方程为：.故答案为：. 题型01 求轨迹方程 【典例1-1】(24-25高二上·全国·课后作业)已知等腰的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、轨迹问题——圆 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设，由题意，，因为是以为底边的等腰三角形， 于是有，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为(去掉，两点)，故选：C. 【典例1-2】(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点，若点是以为直径的圆上的动点，且点关于点的对称点的轨迹满足方程，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系【分析】求出以为直径的圆的方程，由两圆的圆心关于对称即可求解. 【详解】记以为直径的圆为圆，在方程中，， 记该方程表示的圆为圆．由，得圆的方程为， 整理得． 圆，圆心．依题意可知，圆与圆关于点中心对称， 因为关于对称的点为，所以圆的圆心为，所以，得． 故选:D. 【典例1-3】(24-25高二上·上海·课堂例题)已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案. 【详解】设，因，则.因，，则重心坐标为. 设，则，则. 故重心轨迹方程为：.故答案为：. 【变式1-1】(24-25高二上·全国·课后作业)平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】设，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为.故选：C. 【变式1-2】(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则(   ) A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于A，设，由，根据距离公式化简得到结果；对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，到轴上的最大距离为圆的半径，进而根据三角形面积公式计算；对于C，直线恒过点，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大；对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算． 【详解】对于A，设，由，得， 即，即点的轨迹是圆，A正确； 对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，则面积的最大值为，B正确； 对于C，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大，和间的距离为，即到距离的最大值为，C错误； 对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时， 易知，，则，D正确．故选：ABD.    【变式1-3】(24-25高二上·全国·课后作业)平面直角坐标系中，已知点，圆O：与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点．若线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、坐标法的应用——直线与圆的位置关系【分析】根据垂径定理得出，设，由向量垂直列出等式即可得出方程，再根据M在圆O的内部，联立两圆方程即可求得范围 【详解】连接，设点，∵M是弦的中点，∴， 又∵，，∴，即， 联立，解得或， 又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是， 故答案为：． 【变式1-4】(24-25高二上·安徽合肥·期中)已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】(限制条件写成或也可以)【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】转化为三点共线，以及，即可列式求解. 【详解】设，，，由三点共线，则①， 且，，所以，即②， 联立①②，消去，为，，即， 由图可知，，所以，整理为， 故答案为：(限制条件写成或也可以) 【变式1-5】(25-26高三上·河北保定·开学考试)已知点是圆上的两个动点，为原点，点共线，点为的中点，则点的轨迹长度为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、轨迹问题——圆 【分析】利用圆的性质得，进而可求得点的轨迹方程，联立圆的方程，求得两圆交点，再求出圆心角，即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 则，又是的中点，则，不妨设， 又，则，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，且在圆内的部分，如图所示(劣弧)， 由，消得，解得，代入，解得， 所以，连接，易知， 又，则，所以，由圆的对称性知， 则，所以点的轨迹长度为，故答案为：. 【变式1-6】(24-25高二上·广东广州·期中)数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数(，)的点M的轨迹是圆，已知两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程为 ；若圆C：上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为 【答案】;【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆 【分析】根据两点间的距离公式可得到结果；根据两圆之间的位置关系可得到结果. 【详解】设，则， 因为，所以，化简可得， 即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 因为圆C：上存在满足条件的点M，则圆C与圆有公共点，则， 两圆心之间的距离为，即， 所以，半径r的取值范围为，故答案为：；. 【变式1-7】(24-25高二上·福建三明·期末)已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的标准方程；(2)若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【答案】(1);(2)或．【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数【分析】(1)根据题干条件列出等式，化简即可得到结果.(2)首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 【详解】(1)由题知，设点，则，所以， 即，整理得，所以曲线C的标准方程为． (2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：，与C的交点坐标为，， 此时弦长等于，符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设曲线C的圆心到直线l的距离为d， 由(1)知曲线C的圆心为，所以， 因为曲线C截l所得弦长等于，所以，解得． 所以，解得．所以直线l的方程为：． 综上，直线l的方程为：或． 【变式1-8】(2025高三·全国·专题练习)如图所示，已知圆，在圆上任取一点，以OQ为边逆时针作正三角形OQR，求点的轨迹方程． 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数的三角表示【分析】视坐标平面为复平面，设Q，R对应的复数分别为，则，然后利用复数的三角表示及复数模的几何意义求解轨迹方程. 【详解】视坐标平面为复平面，设Q，R对应的复数分别为，则， 由题设得，代入，得， ，即，点的轨迹方程为． 题型02 坐标法 【典例2-1】(24-25高二上·江苏南通·期中)如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令，解方程排除B. 【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误； 对于B：令，可得，解得或，不合题意；故选：A. 【典例2-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过(   ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C【难度】0.85【知识点】坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O为圆心，易得半圆的方程为，， 因为B在半圆上，且轴，所以， 即．故车辆的最大高度应不超过米．故选：C. 【典例2-3】(24-25高二上·江苏无锡·期中)在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 【答案】【难度】0.4【知识点】平面向量共线定理的推论、轨迹问题——圆、用基底表示向量 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得，再建立平面直角坐标系，求出点到边的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在中，D是AB的中点，E在边AC上，， ，令，则， 又点共线，于是，解得，则， 的面积，由，得， 以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，点，设， 则，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除圆与轴的交点外)， 则点到边的距离的最大值为，所以的面积的最大值为.故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用平面向量求得，再借助阿氏圆求出最大距离是解题的关键. 【变式2-1】（2023高一上·浙江台州·专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且满足，则点在运动过程中所形成的图形的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、轨迹问题——圆 【分析】由余弦定理可得，以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，再根据直接法可得点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系，进而可得点在运动轨迹及其长度. 【详解】由已知，，则，即， 设中点为，则，且， 如图建立平面直角坐标系，则，，，设， 由，则， 化简可得，即点在以为圆心，为半径的圆上， 则、在圆上， 令，则，，即圆与轴交于，两点，， 且，及所以点在内的轨迹为， 其长度为，故选：B. 【变式2-2】（22-23高二上·湖北荆州·阶段练习）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】建立直角坐标系，利用可得点的轨迹方程，再利用圆的性质及三角形面积公式即得. 【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系， 则，设，由，所以， 两边平方并整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 则当到(轴)的距离最大时面积的最大，此时的面积是.故选：C. 【变式2-3】（2025·上海杨浦·三模）已知的，则的面积的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆 【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到的面积的取值范围. 【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，. 因为，所以，化简得， 则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）. 则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积. 又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为.故答案为： 【变式2-4】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，为中点，则的取值范围为 .    【答案】【难度】0.65【知识点】几何图形中的计算、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，结合题中条件确定的范围即可. 【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设，又，则在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设在第一象限， 则，整理得且， 又，结合图象知，，则， 当时，取最大值为，则，即的取值范围为， 故答案为：. 【变式2-5】(24-25高二上·全国·课后作业)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水 时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度(为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM()方向以速度进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积 . 【答案】【难度】0.65【知识点】由方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离【分析】建立直角坐标系，设，，由求得，由此求得圆的面积的值； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，， 由，即，则， 整理得，所以点M在以为圆心，为半径的圆上及圆的内部， 所以.故答案为： 【变式2-6】（24-25高二上·江苏无锡·期中）在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 【答案】【难度】0.4【知识点】用基底表示向量、轨迹问题——圆、平面向量共线定理的推论 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得，再建立平面直角坐标系，求出点到边的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在中，D是AB的中点，E在边AC上，， ，令， 则，又点共线，于是，解得， 则，的面积， 由，得，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 点，设，则， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除圆与轴的交点外）， 则点到边的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为.故答案为： 题型03 韦达定理的应用 【典例3-1】(24-25高二上·河南洛阳·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程；(2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1);(2);(3)证明见解析【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、坐标法的应用——直线与圆的位置关系【分析】(1)利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解；(2)代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解；(3)首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【详解】(1)设，因为，所以， 即，整理得，所以曲线的轨迹方程为． (2)曲线的圆心到直线的距离，所以． (3)证明：设． 联立得，． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则， 即，解得，所以点在直线上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 【典例3-2】(24-25高二上·陕西西安·阶段练习)如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，(在上方)，直线与圆交于，(在上方)．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：；②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】(1)，;(2)①证明见解析；②，证明见解析【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、求直线与圆交点的坐标、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】(1)联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． (2)①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【详解】(1)当，，，时， 圆，直线，由解得或，故，； 直线，由解得或，故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即，所以． (2)①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得，所以. ②猜测，证明如下：设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 【典例3-3】(2024高三·全国·专题练习)如图，已知圆为坐标原点，过点作直线交圆于点，过点分别作圆的切线，两条切线相交于点． (1)若直线的斜率为1，求的值；(2)若两条切线与轴分别交于点，求的最小值． 【答案】(1);(2)【难度】0.65【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、过圆上一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦【分析】(1)根据弦长公式即可求解，(2)根据垂直满足的斜率关系，结合点斜式方程，可得，，即可得求解. 【详解】(1)直线l为，圆的半径，圆心到直线的距离，所以. (2)设直线l为, 联立与可得， 设,则， ，故的斜率为，故直线的方程为， 令，， 同理可得， 则. 当时，最小值为.此时直线l为，. 【变式3-1】(24-25高二下·上海崇明·期末)已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)；(2).【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】(1)将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； (2)联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】(1)由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足.所以，. (2)由题意，联立可得，设， 则，解得，根据韦达定理可得， 则，所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 【变式3-2】(24-25高二上·河南洛阳·期中)已知圆的圆心在轴上，点在圆上，当的坐标为时，到直线的距离最大. (1)求直线被圆截得的弦长； (2)经过原点，且斜率为的直线与圆交于，两点. ①求证：为定值；②已知，若，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②.【难度】0.65【知识点】已知点到直线距离求参数、由圆心(或半径)求圆的方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦【分析】(1)当到直线距离最大时，与垂直，可求出圆心的坐标，从而可以求出圆的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再由可得到弦长； (2)设直线的方程为，与圆的方程联立，可得到关于的一元二次方程，及根与系数关系．对于①，由代入根与系数关系可得到定值；对于②，可化为，代入根与系数关系即可求出，从而得到答案． 【详解】(1)由题意，设圆心， 当的坐标为，，，， ，，即半径为3.圆的标准方程为. 圆心到直线的距离为，所求弦长为. (2)设直线的方程为，与圆的方程联立，可得，显然，， ，. ①为定值； ② ， ,,直线的方程为. 【变式3-3】(24-25高二上·江苏徐州·期中)已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；(2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 【答案】(1);(2)或.【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、点与圆的位置关系求参数、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】(1)利用两点距离公式设点坐标化简计算即可； (2)假设存在，设线设点，利用圆的性质得，联立直线与圆方程利用韦达定理计算参数即可. 【详解】(1)设，则， 整理得； (2)设存在， 联立圆C方程有，整理得， 则，则，此时弦PQ为直径的圆过原点， 即， 即，符合题意；即或. 题型04 定点定值问题 【典例4-1】(24-25高二上·上海·阶段练习)已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；(2)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标；(3)直线交圆于、两点，若直线、的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)或;(2);(3)证明见解析；定值为【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)根据题意，求得圆的方程为，分类直线的斜率不存在和斜率存在，结合圆的弦长公式，即可求解；(2)当直线的斜率不存在时，根据直线的斜率之积为，求得，联立方程组，此时方程组无解；当直线的斜率存在时，设直线，利用斜率公式，列出方程求得，联立方程组，利用根与系数的关系，代入求得，进而得出直线过定点.(3)设直线，联立方程组，求得，同理求得点，求得，即可得证. 【详解】(1)因为圆的圆心坐标为，且该圆经过点， 可得，即圆的半径为，所以圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 因为，圆的半径为，可得圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式，可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. (2)解：当直线的斜率不存在时，设， 因为直线的斜率之积为，且，可得，即， 又因为点在圆上，可得，联立方程组，此时方程组无解，(舍去)； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且， 由，整理得， 联立方程组，整理得， 所以，代入上式，可得， 整理得，所以直线的方程为，可得直线的方程为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点. (3)设直线，联立方程组，整理得， 所以点的坐标为， 同理可得：点的坐标为， 所以，所以直线的斜率为定值. 【典例4-2】(2024·江西南昌·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是(   ) A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆、圆内接三角形的面积【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设，则， ，综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，其周长为长度为，正确. 故选：ABD 【典例4-3】(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知圆，直线.则以下几个结论正确的有(    ) A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】直线交点系方程及应用、直线与圆中的定点定值问题、求点到直线的距离【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.，不管为何值，满足方程，即直线过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确.故选：ABD 【变式4-1】(24-25高二上·北京顺义·期中)已知圆：与直线相切． (1)求出；(2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围；(3)若过点做两条互相垂直的直线交圆于，两点，判断直线是否恒过定点，若存在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1);(2);(3)过定点，定点为【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)根据相切结合点到直线的距离公式运算求解即可； (2)分析可知当与圆相切(为切点)时，取到最大值，可得，运算求解即可； (3)当且仅当是圆O的直径时，条件成立，即可得定点. 【详解】(1)由题意可知：圆的圆心为，半径为， 因为圆心与直线相切，所以. (2)因为圆心与直线的距离，可知圆与直线相离， 由题意可知：当与圆相切(为切点)时，取到最大值，此时，且， 则，可得，则， 因为点为直线上，则， 可得，整理可得，解得， 所以的取值范围为. (3)因为均在圆O上，且， 可知当且仅当是圆O的直径时，上述条件成立，所以直线过定点. 【变式4-2】(24-25高二上·江苏扬州·阶段练习)已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则该定值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】直线与圆中的定点定值问题、圆的弦长与中点弦 【分析】利用同解方程可求圆的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的值，故可求定值. 【详解】设圆的方程为，令，则，其解为的横坐标， 故该方程与同解，故， 又圆过，故，故， 故，故圆的方程为：. 其标准方程为：， 若定直线的斜率不存在，则可得定直线为：，此时截得的弦长为： ， 无论取何值，弦长总不是常数， 设定直线为即， 圆心到直线的距离， 故弦长为， 若弦长为定值，则且， 故，此时弦长为，故答案为：. 一、单选题 1.(22-23高二上·全国·课后作业)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为(    ) A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 【答案】C【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】建立合适的平面直角坐标系，设，根据以及向量数量积的坐标形式求解出满足的关系式，即可判断出轨迹形状. 【详解】因为点是两个定点，不妨设， 以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，    设，，，所以，， 由得：，即，所以点C的轨迹为圆.故选：C. 2.(2025·山东·二模)直线与圆交于两点，，则为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交——韦达定理及应用 【分析】设，联立方程组得，由平面向量数量积运算列出方程求解即可． 【详解】设，由得，，则， ， 由得，，解得：，故选：B． 3.(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点，且，记中点为，则的最大值为(    ) A．5 B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、轨迹问题——圆 【分析】结合题意由中点坐标公式得到，再由得到点的轨迹方程，然后判断点在圆外，最后得到的最值为长加上半径即可； 【详解】设的中点，因为，所以，即． 又，所以，则，化简得， 故点的轨迹方程是，圆心，半径． 又，则点在圆外，故最大值为．故选：D. 4.(24-25高二上·湖南长沙·阶段练习)已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、由一般式方程判断直线的垂直、轨迹问题——圆 【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点的轨迹，再设，结合辅助角公式求出即可； 【详解】由题意可得直线恒过定点，恒过定点， 且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点在以线段为直径的圆上运动， ，设，则， 所以， 所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为.故选：D. 5.(24-25高二上·河北邢台·阶段练习)已知点，直线与直线交于点，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值(范围) 【分析】由题意确定直线与互相垂直，得到点轨迹，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，直线与互相垂直， 当时，，直线与互相垂直， 且直线经过定点，直线经过定点，所以. 设，则，即， 则点在以点为圆心，5为半径的圆(挖去与)上， 所以的最大值为， 最小值为.故的取值范围是，故选：C 6.(24-25高三下·河北·开学考试)已知圆A，B是圆上的两个动点，O为坐标原点， ;则的最小值为(    ) A． B． C． D．1 【答案】D【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值(范围) 【分析】设AB的中点为C，则，由知C的轨迹是以O为圆心为半径的圆，故将问题转化为求的最小值即可. 【详解】设AB的中点为C，因为所以 所以点C在以O为圆心为半径的圆上，所以;故选：D. 7.(24-25高二上·江苏无锡·期中)在平面直角坐标系xOy中，设，点P满足，动点Q满足，当时，点P的纵坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】由题意，设，，点的轨迹是，由得点的轨迹，由得，联立计算即可求解. 【详解】由题意，，设，则，化简得， 所以点的轨迹是以圆心为，半径为的圆， 设，由，得，化简得， 故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 由，得，代入， 得，联立，解得，即点的纵坐标为.故选：A 8.(21-22高三上·江苏南京·开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是(    ) A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】C【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、判断圆与圆的位置关系、轨迹问题——圆、求点到直线的距离 【分析】对A：设点，由两点距离公式代入化简判断；对B：根据两点间距离公式求点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断. 【详解】对A：设点，∵，则，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点，∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；故选：C. 二、多选题 12.(2025高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系中，已知，，，直线l：，动点满足，则(   ) A．点的轨迹是圆 B．面积的最大值为3 C．点到距离的最大值为2 D．的最大值为 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于A，设，由，根据距离公式化简得到结果；对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，到轴上的最大距离为圆的半径，进而根据三角形面积公式计算；对于C，直线恒过点，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大；对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算． 【详解】对于A，设，由，得， 即，即点的轨迹是圆，A正确； 对于B，在圆上运动，其圆心在轴上，则面积的最大值为，B正确； 对于C，当直线与过点和的直线垂直时，点到直线的距离最大，和间的距离为，即到距离的最大值为，C错误； 对于D，设圆心为C，则当直线PM与圆C相切时，最大，此时，易知，，则，D正确．故选：ABD. 13.(24-25高二上·江苏·阶段练习)下列说法正确的有(    ) A．直线过定点 B．圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C．若圆与圆有唯一公切线，则 D．圆上存在两个点到直线的距离为2 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】当时，可得直线定点判断A正确；设，由中点坐标公式得到点的坐标，代入圆方程化简可判断B正确；由可得C错误；求出圆心到直线的距离，再结合圆上的点到直线的最大距离和最小距离可得D正确； 【详解】对于A，当时，，所以直线过定点，故A正确； 对于B，设，由题意可得点的坐标为， 代入圆方程可得，即点的轨迹方程为，故B正确； 对于C，圆，圆， 因为两圆有唯一的公切线，所以两圆相内切，所以， 即，解得，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为， 因为，所以圆上存在两个点到直线的距离为2，故D正确； 故选：ABD. 14.(24-25高二上·福建漳州·期中)已知，圆，点为圆上一动点，且点为线段AP的中点，则(   ) A．的取值范围为 B．点的轨迹方程为 C．直线AP的斜率的最大值为 D．当点在圆上时，点的横坐标为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程、轨迹问题——圆 【分析】利用中位线的性质结合圆的定义可判定B，根据点与圆的位置关系可判定A，利用直线与圆的位置关系计算可判定C，根据两圆的位置关系可判定D. 【详解】 取的中点，连接，易知当不在横轴上时，， 当P在横轴上时，若时，仍有； 若时，仍有， 所以Q轨迹为以B为圆心，1为半径的圆上，其轨迹方程为，故B正确； 所以，即A正确； 显然当与圆O相切时斜率取得最值，不妨设切线方程为， 则圆心O到切线的距离为， 所以直线AP的斜率的最大值为，故C错误； 两圆方程作差得其公共弦方程为，所以Q在圆O上时，即在两圆的公共弦上， 所以其横坐标为，故D正确.故选：ABD 三、填空题 12.(24-25高二上·北京·阶段练习)已知点和点，若点满足，则点的轨迹方程为 ，的面积的最大值为 . 【答案】;【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆 【分析】首先设，利用两点间距离公式表示，即可求解轨迹方程，再求圆上点到距离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】设，则，整理为， 点到的距离的最大值为2，所以的面积的最大值为.故答案为：；3 13.(24-25高二上·全国·课后作业)下列序号中点的轨迹是圆(或圆的一部分)的有 ． ①在平面直角坐标系中，以坐标原点为起点的所有单位向量的终点； ②所有到直线l的距离等于定长的点；③以线段AB为斜边的所有直角三角形的直角顶点． 【答案】①③【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、轨迹问题——圆、求点到直线的距离 【分析】根据圆的定义：圆可以看做是所有到定点的距离等于定长的点的集合可对①判断；根据两平行直线间距离相等可对②判断；由圆的性质可知直径所对圆周角为直角可对③判断. 【详解】以原点为起点的所有单位向量的终点到原点的距离等于1，①正确； 到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行的直线，②错误； 直角顶点的轨迹是以为直径的圆周(不包含点，)，③正确.故答案为：①③. 14.(2024·西藏拉萨·一模)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点，距离之比为定值(且)的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内(包含边界)运动，且满足，则动点的轨迹长度为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】建立平面直角坐标系，利用距离关系求得点的轨迹，求出圆心角，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，，设，因为，即， 整理得.所以动点的轨迹为以为圆心4为半径的圆的一部分. 设圆与线段交于点，与线段交于点， 因为在中，，，所以， 所以，所以点的轨迹长度为.故答案为： 四、解答题 15.(24-25高二下·四川眉山·开学考试)已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程；(2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 【答案】(1)，;(2)【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】(1)求出圆的半径，即可求圆C的标准方程； (2)设，则由题意可得，化简可得结论． 【详解】(1)由题意，圆心为，过点，则半径， 所以圆C的标准方程为； (2)设，则由题意可得， 化简可得 16.(24-25高二下·安徽·开学考试)在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点. (1)若点为的中点，求动点的轨迹的方程； (2)过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1);(2)或【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】(1)根据圆的定义可得动点的轨迹的方程； (2)分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】(1)由题意得，圆，故，所以， 故动点的轨迹的方程为. (2)因为直线被曲线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为1. 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，故，解得，故 综上，直线的方程为或. 17.(24-25高二上·山东·期中)已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析【难度】0.65 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)根据中垂线的性质求出方程，联立，求出圆心，根据两点间的距离公式求出半径即可得；(2)方法一，根据圆的切线性质得以M为圆心，以、为半径的圆的方程，和圆C联立求出公共弦所在直线，再根据点斜式求出定点；方法二，根据直径求出以M为圆心，以、为半径的圆的方程，和圆C联立求出公共弦所在直线，再根据点斜式求出定点；方程三，根据圆的切线性质得，，根据数量积求出公共弦所在直线方程，再根据点斜式求出定点. 【详解】(1)由，可得，的中点，， 所以，线段的中垂线斜率为1， 所以线段的中垂线方程为：， 联立可得，圆心C点坐标为，圆C的半径， 所以圆C的标准方程为：. (2)依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，可知，，    所以，， 所以，以M为圆心，以、为半径的圆的方程为：， 联立，两式作差并化简得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点(3,0). 另解1：依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、， 可知，，，则点A，B在以为直径的圆上， 由点，可知为直径的圆的方程为， 联立，可得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点(3，0). 另解2：依题意，设点，，，因为与圆C相切，则， 而，所以，即;整理得， 而，则， 因为与圆C相切，则， 而，所以，即;整理得， 而，则， 所以点A，B都在直线上，即直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点(3,0). 18.(24-25高二上·湖北·阶段练习)已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作曲线的切线，求切线的方程. 【答案】(1);(2)或 【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】(1)设，根据题中几何关系得，再利用两点间距离公式从而可求解. (2)由(1)求出圆心，半径，设出直线方程，再结合直线与圆相切从而可求解. 【详解】(1)设，由题意得，即，化简得， 所以动点的轨迹的方程为. (2)由(1)知化简为标准方程为，圆心为，半径， 当斜率不存在时，，此时直线与圆相切； 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，因为直线与圆相切， 所以，解得，所以直线的方程为； 综上，切线方程为或. 19.(24-25高二上·云南临沧·阶段练习)已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；(2)若为圆上异于、的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】(1);(2)证明见解析【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)设、，根据平面向量的坐标运算得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程；(2)设，则，求出直线、的方程，可求出点、的坐标，然后利用两点间的距离公式可计算出为定值. 【详解】(1)根据题意，、，设、，则，， 由于，所以， 则，得，故， 又为圆上，所以，化简得， 故点的轨迹方程为. (2)设，则， 直线方程是，代入，得，即， 直线方程是，代入，得，即， 所以， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 14 页 专题 2.7 用坐标方法解决几何问题 教学目标 1、掌握用坐标法解决几何问题的方法； 2、掌握求轨迹方程的方法 教学重难点 1、重点：用坐标法解决几何问题的方法； 2、难点：求轨迹方程； 根据题意建立直角坐标系，借助坐标系把形与数结合起来，将几何问题转化为代数问题，并用代数运算进 行解决。 【即学即练 1】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知∆ABC是直角三角形，斜边 BC的中点为M ，建立适当的 平面直角坐标系，证明：(1) 2 2 2AB AC BC  ；(2) 1 2 AM BC ． 第 2 页 共 14 页 1 求轨迹方程的一般方法： (1). 待定系数法：如果动点 P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆)的定义，则可先设出轨迹方程，再 根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 (2). 直译法：如果动点 P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P满足的等量关 系易于建立，则可以先表示出点 P所满足的几何上的等量关系，再用点 P的坐标(x，y)表示该等量关系式， 即可得到轨迹方程。 (3). 代入法(相关点法)：如果动点 P的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该 点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出 P(x，y)，用(x，y)表示出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐标代入 已知曲线方程，即可得到动点 P的轨迹方程。 (4).几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法， 列出几何式，再代入点的坐标较简单。 2求轨迹方程的注意事项： 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某些解为坐标的点不在 轨迹上)，又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)，出现增解则要舍去，出现丢解， 则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 【即学即练 2-1】(24-25 高二上·安徽合肥·期中)已知圆  2 2: 2 1Q x y   ，P是 y轴上的动点，直线 ,PA PB分 别与圆Q相切于点 ,A B．若M 为 AB中点，则点M 的轨迹方程为 ． 【即学即练2-2】(24-25高二上·上海·课堂例题)已知∆ABC，  2,0A  ，  0, 2B  ，第三个顶点C在曲线 23 1y x  上移动，则∆ABC的重心的轨迹方程是 ． 题型 01 求轨迹方程 【典例 1-1】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知等腰∆ABC的底边 BC对应的顶点是  4,2A ，底边的一个端点 是  3,5B ，则底边另一个端点C的轨迹方程是( ) A．    2 24 2 10x y    B．    2 24 2 10x y    C．      2 24 2 10 3, 5x y x x      D．      2 24 2 10 3, 5x y x x      【典例 1-2】(24-25 高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点      0, 3 , 2, , 4,3A B a C ，若点 P 是以 AB为直径的圆上的动点，且点 P关于点C的对称点的轨迹满足方程 2 2 18 12 113 0x y x y     ，则 a  ( ) 第 3 页 共 14 页 A． 3 3 B． 3 3  C． 3 D． 3 【典例 1-3】(24-25 高二上·上海·课堂例题)已知∆ABC，  2,0A  ，  0, 2B  ，第三个顶点 C在曲线 23 1y x  上移动，则∆ABC的重心的轨迹方程是 ． 【变式 1-1】(24-25 高二上·全国·课后作业)平面上一动点 P满足： 2 2| | 6PM PN  且    1,0 , 1,0M N ，则 动点 P的轨迹方程为( ) A． 2 2( 1) 3x y   B． 2 2( 1) 3x y   C． 2 2 2x y  D． 2 2 3x y  【变式 1-2】(2025 高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知 ( )1,0A ，  2,0M  ，  2,0N ，直线 l： 1y kx  ，动点 P满足 3PM PN ，则( ) A．点 P的轨迹是圆 B． PMN 面积的最大值为 3 C．点A到 l距离的最大值为 2 D． sin PMN 的最大值为 1 3 【变式 1-3】(24-25 高二上·全国·课后作业)平面直角坐标系 xOy中，已知点  2,4P ，圆 O： 2 2 4x y  与 x轴 的正半轴交于点 Q，过点 P的直线 l与圆 O交于不同的两点 ,A B．若线段 AB的中点为 M，则点 M的轨迹 方程为 ． 【变式 1-4】(24-25 高二上·安徽合肥·期中)已知圆  2 2: 2 1Q x y   ， P是 y轴上的动点，直线 ,PA PB分别 与圆Q相切于点 ,A B．若M 为 AB中点，则点M 的轨迹方程为 ． 【变式 1-5】(25-26 高三上·河北保定·开学考试)已知点 ,A B是圆 2 2 8 12 0C x y y   ： 上的两个动点，O为 原点，点 , ,A B O共线，点D为 AB的中点，则点D的轨迹长度为 ． 【变式 1-6】(24-25 高二上·广东广州·期中)数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两 个定点 A，B距离之比是常数 ( 0  ， 1  )的点 M的轨迹是圆，已知两定点 ( 2,0)A  ， (2,0)B ，动点 M满 足 | | 2 | |MA MB ，则点 M的轨迹方程为 ；若圆 C： 2 2 2( 1) ( 1)x y r    上存在满足条件的点 M， 则半径 r的取值范围为 【变式 1-7】(24-25 高二上·福建三明·期末)已知 O为坐标原点，动点 M到两个定点  0,0O ，  3,0A 的距离的 比为 1 2 ，记动点 M的轨迹为曲线 C． (1)求曲线 C的标准方程；(2)若直线 l过点  2,2B  ，曲线 C截 l所得弦长等于 2 3，求直线 l的方程． 第 4 页 共 14 页 【变式 1-8】(2025 高三·全国·专题练习)如图所示，已知圆 2 2: ( 2) 1C x y   ，在圆C上任取一点Q，以 OQ 为边逆时针作正三角形 OQR，求点 R的轨迹方程． 题型 02 坐标法 【典例 2-1】(24-25 高二上·江苏南通·期中)如图，是某心形二次曲线C，则C的方程可能为( ) A． 2 2 1x y x y   B． 2 2 1x y x y   C． 2 2 1x y x y   D． 2 2 1x y x y   【典例 2-2】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶， 隧道截面是半径为 4 米的半圆，若行驶车辆的宽度为 2.5 米，则车辆的最大高度应不超过( ) A． 39 4 米 B． 39 4 米 C． 39 2 米 D． 13 4 米 第 5 页 共 14 页 【典例 2-3】(24-25 高二上·江苏无锡·期中)在∆ABC中，D是 AB的中点，E在边 AC上， 2AE EC ，CD与 BE交于点 F，若 AC=6， 3FB FC ，则∆ABC的面积的最大值为 【变式 2-1】（2023 高一上·浙江台州·专题练习）如图，在∆ABC中， 120BAC  ， 4AB AC  ，点M 是∆ABC 内部一点，且满足 2 2 23BM CM AM  ，则点M 在运动过程中所形成的图形的长是（ ） A． 8 3 π 9 B． 4 3 π 9 C． 4 3 D．2 3 【变式 2-2】（22-23 高二上·湖北荆州·阶段练习）若平面内两定点 A，B间的距离为 2，动点 P满足 | | 2 | | PA PB  ， 则 PAB 面积的最大值是（ ） A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 【变式 2-3】（2025·上海杨浦·三模）已知∆ABC的 2, 2AB AC BC  ，则∆ABC的面积的取值范围是 ． 【变式 2-4】（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）如图， ABCV 中， 6AB  ， 2AC BC ，D为 AB中点，则 tan BDC 的取值范围为 . 【变式 2-5】(24-25 高二上·全国·课后作业)树林的边界是直线 l(如图 CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水 时发现了一只狼，兔子和狼分别位于 l的垂线 AC上的 A点和 B点处，  AB BC a (a为正常数)，若兔子 沿 AD方向以速度2 (  为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段 BM(M AD )方向以速度  进行追击，若狼 到达 M处的时间不多于兔子到达 M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的 点)的区域面积  S a  . 【变式 2-6】（24-25 高二上·江苏无锡·期中）在∆ABC中，D是 AB的中点，E在边 AC上， 2AE EC ，CD 与 BE交于点 F，若 AC=6， 3FB FC ，则∆ABC的面积的最大值为 第 6 页 共 14 页 题型 03 韦达定理的应用 【典例 3-1】(24-25 高二上·河南洛阳·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两 定点距离之比为常数 ( 0k k  且 1)k  的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系 中， (1,0), (4,0)N M ，动点Q满足 2 QM QN  ，设动点Q的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程；(2)若直线 1 0x y   与曲线C交于 ,A B两点，求 AB ； (3)若曲线C与 x轴的交点为 ,E F，直线 : 1l x my  与曲线C交于 ,G H 两点，直线 EG与直线 FH 交于点D， 证明：点D在定直线上． 【典例 3-2】(24-25 高二上·陕西西安·阶段练习)如图，已知圆M 的方程为  22 2x y b r   ，直线 x my 与圆 M 交于  1 1C x y， ，  2 2D x y， (C在上方)，直线 x ny 与圆M 交于  3 3E x y， ，  4 4F x y， ( E在上方)．原点 O在圆M 内．设CF交 x轴于点 P， ED交 x轴于点Q． (1)当 0b  ， 5r  ， 1 2 m   ， 2n  时，分别求线段OP和OQ的长度； (2)①求证： 3 41 2 1 2 3 4 y yy y y y y y   ；②猜想 OP 和 OQ 的大小关系，并证明． 第 7 页 共 14 页 【典例 3-3】(2024 高三·全国·专题练习)如图，已知圆  2 2: 10 16 0, 4,0 ,M x x y Q O    为坐标原点，过点Q 作直线 l交圆M 于点 A B、 ，过点 A B、 分别作圆M 的切线，两条切线相交于点 P． (1)若直线 l的斜率为 1，求 AB 的值；(2)若两条切线 PA PB、 与轴 y分别交于点 S T、 ，求 ST 的最小值． 【变式 3-1】(24-25 高二下·上海崇明·期末)已知圆 :C 2 2 2 0x y x t    ，直线 :l 2 0x y  ． (1)若直线 l与圆C相切，求实数 t的值； (2)直线 l与圆C相交于A、 B两点，且 1OA OB     ，求圆C的半径 r． 第 8 页 共 14 页 【变式 3-2】(24-25 高二上·河南洛阳·期中)已知圆C的圆心在 y轴上，点 P在圆上，当 P的坐标为 9 17, 5 5       时， P到直线3 4 12 0x y   的距离最大. (1)求直线 4 3 8 0x y   被圆C截得的弦长； (2)经过原点，且斜率为  0k k  的直线 l与圆C交于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点. ①求证： 1 2 1 1 y y  为定值；②已知  1,2Q ，若 2 2 22QA QB  ，求直线 l的方程. 【变式 3-3】(24-25 高二上·江苏徐州·期中)已知两定点  2,0A ，  0,2B ，动点 M满足 2 2 22MA MB  ，其 轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C的方程；(2)是否存在斜率为 1 的直线 l，使得以 l被曲线 C截得的弦 PQ为直径的圆过原点， 若存在，求出直线 l的方程，若不存在说明理由. 第 9 页 共 14 页 题型 04 定点定值问题 【典例 4-1】(24-25 高二上·上海·阶段练习)已知圆C的圆心坐标为 (3,0)C ，且该圆经过点 (0,4)A . (1)若点 B也在圆C上，且弦 AB长为 8，求直线 AB的方程；(2)直线 l交圆C于M 、N两点，若直线 AM 、AN 的斜率之积为 2，求证：直线 l过一个定点，并求出该定点坐标；(3)直线 l交圆C于M 、N两点，若直线 AM、 AN的斜率之和为 0，求证：直线 l的斜率是定值，并求出该定值. 【典例 4-2】(2024·江西南昌·模拟预测)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的动弦 AB，圆 2 2 2 2 8C :( x a ) ( y )    ，则下列选项正确的是( ) A．当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时，则实数 a的取值范围为[ 3,5] B． 1ABC 的面积最大值为 1 C．若原点O始终在动弦 AB上，则OA OB   不是定值 D．若动点 P满足四边形OAPB为矩形，则点 P的轨迹长度为 2 3π 【典例 4-3】(24-25 高二上·江苏泰州·期中)已知圆    2 2: 1 2 25C x y    ，直线 : 3 1 0l mx y m    .则以下 几个结论正确的有( ) A．直线 l恒过定点 (3,1) B．圆C被 y轴截得的弦长为 4 6 C．点C到直线 l的距离的最大值是 2 5 D．直线 l被圆C截得的弦长最短时，直线 l的方程为 2 5 0x y   【变式 4-1】(24-25 高二上·北京顺义·期中)已知圆O：  2 2 2 0x y r r   与直线 2 2 5 0x y   相切． (1)求出 r；(2)设点  0 0,N x y 为直线 3y x   上一动点，若在圆O上存在点 P，使得 60ONP  ，求 0x 的 取值范围；(3)若过点  0,2A 做两条互相垂直的直线交圆O于 B，C两点，判断直线 BC是否恒过定点，若存 在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 第 10 页 共 14 页 【变式 4-2】(24-25 高二上·江苏扬州·阶段练习)已知二次函数    2 2 3 4 11y x m x m m     R 与 x轴交于 ,A B两点，点  1,3C ，圆G过 , ,A B C 三点，存在一条定直线 l被圆G截得的弦长为定值，则该定值 为 . 1.(22-23 高二上·全国·课后作业)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ·AC BC   =2，则点 C的轨迹为( ) A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 2.(2025·山东·二模)直线 : 2l y kx  与圆 2 2: 4O x y  交于 ,A B两点， 2OA OB     ，则 k为( ) A． 3 B． 3 C． 1 3 D． 1 3.(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系 xOy中，已知点      ,0 , 0, , 5,5A a B b D ，且 10AB  ，记 AB 中点为C，则 CD 的最大值为( ) A．5 B．5 2 5 C．5 2 D．5 2 5 4.(24-25 高二上·湖南长沙·阶段练习)已知 ,A B两点的坐标分别为    0,1 , 1,0A B ，两条直线 1 : 1 0l mx y   和  2 : 1 0l x my m    R 的交点为 P，则 AP BP 的最大值为( ) A． 2 2 B． 2 C．1 D．2 5.(24-25 高二上·河北邢台·阶段练习)已知点  4,11M ，直线 1 : 3 4 0l x my m    与直线 2 : 2 5 0l mx y m    交于点 P，则 PM 的取值范围是( ) A．  10,18 B． 13,18 C． 8,18 D． 8,13 6.(24-25 高三下·河北·开学考试)已知圆 2 2 3C x y ： ，A，B是圆上的两个动点，O为坐标原点，∠��� = 60°, �( − 2,0);则 PA PB   的最小值为( ) A． 32 2  B． 1 2 C． 3 2 D．1 7.(24-25 高二上·江苏无锡·期中)在平面直角坐标系 xOy中，设    1,1 , 1,5A B ，点 P满足 · 1PA PB     ，动点 第 11 页 共 14 页 Q满足 2 2 18AQ BQ    ，当 3OQ OP   时，点 P的纵坐标为( ) A． 10 9 B． 10 3 C． 4 3 D． 2 3 3 8.(21-22 高三上·江苏南京·开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平 面内到两个定点A、B的距离之比为定值 ( 1)   的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy中， ( 2,0)A  ， (4,0)B .点 P满足 | | 1 | | 2 PA PB  ， 设点 P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是( ) A．C的方程为 2 2( 4) 16x y   B．在C上存在点D，使得D到点 (1,1)的距离为 3 C．在C上存在点M ，使得 | | 2 | |MO MA D．C上的点到直线3 4 13 0x y   的最小距离为 1 12.(2025 高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知 ( )1,0A ，  2,0M  ，  2,0N ，直线 l： 1y kx  ， 动点 P满足 3PM PN ，则( ) A．点 P的轨迹是圆 B． PMN 面积的最大值为 3 C．点A到 l距离的最大值为 2 D． sin PMN 的最大值为 1 3 13.(24-25 高二上·江苏·阶段练习)下列说法正确的有( ) A．直线 2 1 0x my   过定点 1 ,0 2      B．圆 2 2 36x y  上的动点 P与定点  4,0Q 所连线段的中点M 的轨迹方程为  2 22 9x y   C．若圆 2 21 : 2 3 0O x y y    与圆 2 2 2 : 6 10 0O x y x y m     有唯一公切线，则 25m  D．圆  22 1 4x y   上存在两个点到直线 2 0x y   的距离为 2 14.(24-25 高二上·福建漳州·期中)已知  3,0A ，圆 2 2: 4O x y  ，点 P为圆O上一动点，且点Q为线段 AP 的中点，则( ) A． OQ 的取值范围为 1 5, 2 2      B．点Q的轨迹方程为 2 23 1 2 x y       C．直线 AP的斜率的最大值为 3 2 D．当点Q在圆O上时，点Q的横坐标为 7 4 12.(24-25 高二上·北京·阶段练习)已知点 ( )1,0A 和点  4,0B ，若点 P满足 2PB PA ，则点 P的轨迹方程 第 12 页 共 14 页 为 ， PAB 的面积的最大值为 . 13.(24-25 高二上·全国·课后作业)下列序号中点的轨迹是圆(或圆的一部分)的有 ． ①在平面直角坐标系中，以坐标原点为起点的所有单位向量的终点； ②所有到直线 l 的距离等于定长的点；③以线段 AB 为斜边的所有直角三角形的直角顶点． 14.(2024·西藏拉萨·一模)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B距离之比为定值 ( 0  且 1  )的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动 点 P在边长为 6 的正方形 ABCD内(包含边界)运动，且满足 | | 2 | |PA PB ，则动点 P的轨迹长度为 . 15.(24-25 高二下·四川眉山·开学考试)已知圆 C的圆心为  3,0C ，且过点  1, 5 .A (1)求圆 C的半径及标准方程；(2)若 O为坐标原点，点  ,P x y 满足 2PO PC ，求点 P的轨迹方程. 16.(24-25 高二下·安徽·开学考试)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C的方程为 2 22 4 11 0x x y y     ，点 P 为圆C上一点. (1)若点Q为CP的中点，求动点Q的轨迹的方程； (2)过坐标原点O的直线 l被曲线截得的弦长为 2 3，求直线 l的方程. 第 13 页 共 14 页 17.(24-25 高二上·山东·期中)已知圆 C过点  4,2P ，  6,0Q ，圆心 C在直线 2 4 0x y   上. (1)求圆 C的标准方程. (2)若 M为 y轴上的一个动点，过 M作圆 C的两条切线MA、MB，切点为 A、B，求证：直线 AB过定点. 18.(24-25 高二上·湖北·阶段练习)已知动点M 到定点  0,0O 的距离与到定点  3,0A 的距离之比为 12 . (1)求动点M 的轨迹Γ的方程；(2)过点  1,2P 作曲线Γ的切线 l，求切线 l的方程. 第 14 页 共 14 页 19.(24-25 高二上·云南临沧·阶段练习)已知圆 2 2: 16C x y  分别与 x、y轴正半轴交于A、B两点，P为圆C 上的动点. (1)若线段 AP上有一点Q，满足 2AQ QP   ，求点Q的轨迹方程；(2)若 P为圆C上异于A、B的动点，直线 AP 与 y轴交于点M ，直线BP与 x轴交于点 N，求证： AN BM 为定值. 第 1 页 共 35 页 专题 2.7 用坐标方法解决几何问题 教学目标 1、掌握用坐标法解决几何问题的方法； 2、掌握求轨迹方程的方法 教学重难点 1、重点：用坐标法解决几何问题的方法； 2、难点：求轨迹方程； 根据题意建立直角坐标系，借助坐标系把形与数结合起来，将几何问题转化为代数问题，并用代数运算进 行解决。 【即学即练 1】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知∆ABC是直角三角形，斜边 BC的中点为M ，建立适当的 平面直角坐标系，证明：(1) 2 2 2AB AC BC  ；(2) 1 2 AM BC ． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、直角坐标系中的基本公式的应用 【分析】(1)建系设坐标应用距离公式证明等式即可；(2)应用两点间距离公式证明即可. 【详解】(1)以Rt ABC△ 的直角边 ,AB AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设 ,B C两点的坐标分别为    ,0 , 0,b c ．由两点间距离公式得 2 2 2 2| | ( 0) (0 0)AB b b     ， 第 2 页 共 35 页 2 2 2 2 2 2 2 2 2| | (0 0) (0 ) ,| | ( 0) (0 )AC c c BC b c b c           ．所以 2 2 2AB AC BC  ． (2)因为点M 是 BC的中点，所以点M 的坐标为 0 0, 2 2 b c       ，即 , 2 2 b c      ． 由两点间距离公式得 2 2 2 2 2 2 2 21(0 ) ( 0) , 0 0 2 2 2 b cBC b c b c AM b c                      ．所以 1 2 AM BC ． 1 求轨迹方程的一般方法： (1). 待定系数法：如果动点 P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆)的定义，则可先设出轨迹方程，再 根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 (2). 直译法：如果动点 P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P满足的等量关 系易于建立，则可以先表示出点 P所满足的几何上的等量关系，再用点 P的坐标(x，y)表示该等量关系式， 即可得到轨迹方程。 (3). 代入法(相关点法)：如果动点 P的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该 点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出 P(x，y)，用(x，y)表示出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐标代入 已知曲线方程，即可得到动点 P的轨迹方程。 (4).几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线，角平分线的性质等)，可以用几何法， 列出几何式，再代入点的坐标较简单。 2求轨迹方程的注意事项： 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某些解为坐标的点不在 轨迹上)，又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)，出现增解则要舍去，出现丢解， 则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 【即学即练 2-1】(24-25 高二上·安徽合肥·期中)已知圆  2 2: 2 1Q x y   ，P是 y轴上的动点，直线 ,PA PB分 别与圆Q相切于点 ,A B．若M 为 AB中点，则点M 的轨迹方程为 ． 【答案】   2 27 1 2 4 16 x y x        (限制条件写成 2x  或 3 2 2 x  也可以)【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】转化为 , ,P M Q三点共线，以及 2QM QP QA ，即可列式求解. 【详解】设  ,M x y ，  0,P a ，  2,0Q ，由 , ,P M Q三点共线，则 2 2 y a x    ①， 且QA PA ， AB PQ ，所以 2QM QP QA ，即  2 2 22 4 1x y a     ②， 联立①②，消去 a，为     2 2 2 2 42 4 1 2 yx y x             ，     4 2 2 2 12 2 42 yx y x      ，即   22 12 2 4 yx x        ， 由图可知， 2x  ，所以   2 12 2 2 yx x      ，整理为 2 27 1 4 16 x y       ，  2x  故答案为：   2 27 1 2 4 16 x y x        (限制条件写成 2x  或 3 2 2 x  也可以) 第 3 页 共 35 页 【即学即练2-2】(24-25高二上·上海·课堂例题)已知∆ABC，  2,0A  ，  0, 2B  ，第三个顶点C在曲线 23 1y x  上移动，则∆ABC的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 29 12 3y x x   【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设  23 1,C x x  ，由题可得重心坐标为： 22 13 , x x      ，后由横纵坐标间关系可得答案. 【详解】设  ,C x y ，因 23 1y x  ，则  23 1,C x x  . 因  2,0A  ，  0, 2B  ，则重心坐标为 22 13 , x x      . 设 2 3 x t  ，则 3 2x t  ，则  22 21 3 2 1 9 12 3x t t t       . 故重心轨迹方程为： 29 12 3y x x   .故答案为： 29 12 3y x x   . 题型 01 求轨迹方程 【典例 1-1】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知等腰∆ABC的底边 BC对应的顶点是  4,2A ，底边的一个端点 是  3,5B ，则底边另一个端点C的轨迹方程是( ) A．    2 24 2 10x y    B．    2 24 2 10x y    C．      2 24 2 10 3, 5x y x x      D．      2 24 2 10 3, 5x y x x      【答案】C【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、轨迹问题——圆 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设  ,C x y ，由题意，    2 23 4 5 2 10AB      ，因为∆ABC是以 BC为底边的等腰三角形， 于是有 10CA AB  ，即点C的轨迹是以A为圆心， 10为半径的圆， 又点A， B，C构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点  3,5B 及点 B关于点A对称的点  5, 1 ， 所以点C的轨迹方程为    2 24 2 10x y    (去掉  3,5 ，  5, 1 两点)，故选：C. 【典例 1-2】(24-25 高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，已知点      0, 3 , 2, , 4,3A B a C ，若点 P 是以 AB为直径的圆上的动点，且点 P关于点C的对称点的轨迹满足方程 2 2 18 12 113 0x y x y     ，则 a  ( ) 第 4 页 共 35 页 A． 3 3 B． 3 3  C． 3 D． 3 【答案】D【难度】0.65【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆、二元二次方程表示 的曲线与圆的关系【分析】求出以 AB为直径的圆的方程，由两圆的圆心关于  4,3C 对称即可求解. 【详解】记以 AB为直径的圆为圆D，在方程 2 2 18 12 113 0x y x y     中， 2 2( 18) ( 12) 4 113 16 0       ， 记该方程表示的圆为圆 E．由    0, 3 , 2,A B a ，得圆D的方程为        0 2 3 0x x y y a      ， 整理得  2 2 2 3 3 0x y x a y a      ． 圆 2 2: 18 12 113 0E x y x y     ，圆心  9,6E ．依题意可知，圆D与圆 E关于点C中心对称， 因为  9,6E 关于  4,3C 对称的点为  1,0 ，所以圆D的圆心为  1,0D  ，所以 3 0 2 a   ，得 3a   ． 故选:D. 【典例 1-3】(24-25 高二上·上海·课堂例题)已知∆ABC，  2,0A  ，  0, 2B  ，第三个顶点 C在曲线 23 1y x  上移动，则∆ABC的重心的轨迹方程是 ． 【答案】 29 12 3y x x   【难度】0.65【知识点】求平面轨迹方程 【分析】设  23 1,C x x  ，由题可得重心坐标为： 22 13 , x x      ，后由横纵坐标间关系可得答案. 【详解】设  ,C x y ，因 23 1y x  ，则  23 1,C x x  .因  2,0A  ，  0, 2B  ，则重心坐标为 22 13 , x x      . 设 2 3 x t  ，则 3 2x t  ，则  22 21 3 2 1 9 12 3x t t t       . 故重心轨迹方程为： 29 12 3y x x   .故答案为： 29 12 3y x x   . 【变式 1-1】(24-25 高二上·全国·课后作业)平面上一动点 P满足： 2 2| | 6PM PN  且    1,0 , 1,0M N ，则 动点 P的轨迹方程为( ) A． 2 2( 1) 3x y   B． 2 2( 1) 3x y   C． 2 2 2x y  D． 2 2 3x y  【答案】C【难度】0.85【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】设  ,P x y ，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得. 【详解】设  ,P x y ，由 2 2 6PM PN  ，所以 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y     6， 整理得 2 2 2x y  ，即动点 P的轨迹方程为 2 2 2x y  .故选：C. 【变式 1-2】(2025 高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知 ( )1,0A ，  2,0M  ，  2,0N ，直线 l： 1y kx  ，动点 P满足 3PM PN ，则( ) A．点 P的轨迹是圆 B． PMN 面积的最大值为 3 C．点A到 l距离的最大值为 2 D． sin PMN 的最大值为 1 3 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、判断直线与圆的位置关系 第 5 页 共 35 页 【分析】对于 A，设  ,P x y ，由 3PM PN ，根据距离公式化简得到结果；对于 B， P在圆上运动，其圆 心在 x轴上，P到 x轴上的最大距离为圆的半径，进而根据三角形面积公式计算；对于 C，直线 l恒过点  0,1 ， 当直线 l与过点  1,0 和  0,1 的直线垂直时，点  1,0A 到直线 l的距离最大；对于 D，设圆心为 C，则当直线 PM与圆 C相切时， PMN 最大，此时 PM PC ，在直角三角形中计算 sin PMN ． 【详解】对于 A，设  ,P x y ，由 3PM PN ，得    2 22 22 3 2x y x y     ， 即 2 25 9 2 4 x y       ，即点 P的轨迹是圆，A 正确； 对于 B，P在圆 2 25 9 2 4 x y       上运动，其圆心在 x轴上，则 PMN 面积的最大值为 1 3 3 2 2 MN   ，B 正确； 对于 C，当直线 l与过点  1,0 和  0,1 的直线垂直时，点  1,0A 到直线 l的距离最大，  1,0 和  0,1 间的距离 为 2，即A到 l距离的最大值为 2，C 错误； 对于 D，设圆心为 C，则当直线 PM与圆 C相切时， PMN 最大，此时 PM PC ， 易知 5 92 2 2 MC    ， 3 2 PC  ，则 1sin 3 PC PMN MC    ，D正确．故选：ABD. 【变式 1-3】(24-25 高二上·全国·课后作业)平面直角坐标系 xOy中，已知点  2,4P ，圆 O： 2 2 4x y  与 x轴 的正半轴交于点 Q，过点 P的直线 l与圆 O交于不同的两点 ,A B．若线段 AB的中点为 M，则点 M的轨迹 方程为 ． 【答案】    2 2 6 81 2 5 2,5 5x y x y             【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、坐标法的应用——直 线与圆的位置关系【分析】根据垂径定理得出MO MP ，设  ,M x y ，由向量垂直列出等式即可得出方程， 再根据 M在圆 O的内部，联立两圆方程即可求得范围 【详解】连接OM ，设点  ,M x y ，∵M是弦 AB的中点，∴MO MP ， 又∵  ,OM x y  ，  2, 4PM x y    ，∴    2 4 0x x y y    ，即 2 2 2 4 0x y x y    ， 联立 2 2 2 2 4 2 4 0 x y x y x y         ，解得 2 0 x y    或 6 5 8 5 x y        ， 又∵M在圆 O的内部，∴点 M的轨迹方程是    2 2 6 81 2 5 2, 5 5 x y x y            ， 故答案为：    2 2 6 81 2 5 2,5 5x y x y             ． 第 6 页 共 35 页 【变式 1-4】(24-25 高二上·安徽合肥·期中)已知圆  2 2: 2 1Q x y   ， P是 y轴上的动点，直线 ,PA PB分别 与圆Q相切于点 ,A B．若M 为 AB中点，则点M 的轨迹方程为 ． 【答案】   2 27 1 2 4 16 x y x        (限制条件写成 2x  或 3 2 2 x  也可以)【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】转化为 , ,P M Q三点共线，以及 2QM QP QA ，即可列式求解. 【详解】设  ,M x y ，  0,P a ，  2,0Q ，由 , ,P M Q三点共线，则 2 2 y a x    ①， 且QA PA ， AB PQ ，所以 2QM QP QA ，即  2 2 22 4 1x y a     ②， 联立①②，消去 a，为     2 2 2 2 42 4 1 2 yx y x             ，     4 2 2 2 12 2 42 yx y x      ，即   22 12 2 4 yx x        ， 由图可知， 2x  ，所以   2 12 2 2 yx x      ，整理为 2 27 1 4 16 x y       ，  2x  故答案为：   2 27 1 2 4 16 x y x        (限制条件写成 2x  或 3 2 2 x  也可以) 【变式 1-5】(25-26 高三上·河北保定·开学考试)已知点 ,A B是圆 2 2 8 12 0C x y y   ： 上的两个动点，O为 原点，点 , ,A B O共线，点D为 AB的中点，则点D的轨迹长度为 ． 【答案】 4 3  【难度】0.65【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、轨迹问题——圆 【分析】利用圆的性质得CD OD ，进而可求得点D的轨迹方程，联立圆C的方程，求得两圆交点    3,3 , 3,3F G ，再求出圆心角 2π3FEG  ，即可求解. 【详解】圆 2 2: 8 12 0C x y y    的标准方程为  22 4 4x y   ， 则  0,4C ，又D是 AB的中点，则CD OD ，不妨设  ,D x y ， 又    , 4 , ,CD x y OD x y     ，则  2 4 0x y y   ，即  22 2 4x y   ， 第 7 页 共 35 页 所以点D的轨迹是以  0,2E 为圆心，半径为 2的圆，且在圆C内的部分，如图所示(劣弧FG )， 由 2 2 2 2 8 12 0 4 0 x y y x y y          ，消 x得 4 12 0y   ，解得 3y  ，代入 2 2 4 0x y y   ，解得 3x   ， 所以    3,3 , 3,3F G ，连接 , , ,EF EG OF OG，易知 3tan 33GOx   ， 又 π0, 2 GOx       ，则 π 3 GOx  ，所以 π 6 GOC  ，由圆的对称性知 π 3 GOF  ， 则 2π 3 FEG  ，所以点D的轨迹长度为 2π 4π2 3 3   ，故答案为： 4π 3 . 【变式 1-6】(24-25 高二上·广东广州·期中)数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两 个定点 A，B距离之比是常数 ( 0  ， 1  )的点 M的轨迹是圆，已知两定点 ( 2,0)A  ， (2,0)B ，动点 M满 足 | | 2 | |MA MB ，则点 M的轨迹方程为 ；若圆 C： 2 2 2( 1) ( 1)x y r    上存在满足条件的点 M， 则半径 r的取值范围为 【答案】  2 26 32x y   ; 2,9 2  【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——圆 【分析】根据两点间的距离公式可得到结果；根据两圆之间的位置关系可得到结果. 【详解】设  ,M x y ，则    2 22 22 , 2MA x y MB x y      ， 因为 | | 2 | |MA MB ，所以    2 22 22 2 2x y x y      ，化简可得 2 212 4 0x x y    ， 即  2 26 32x y   ，所以点M 的轨迹是以  6,0N 为圆心， 4 2 为半径的圆； 因为圆 C： 2 2 2( 1) ( 1)x y r    上存在满足条件的点 M，则圆 C与圆 N有公共点，则 4 2 4 2r CN r    ， 两圆心之间的距离为    2 26 1 0 1 5 2    CN ，即 4 2 5 2 4 2r r    ， 所以 2 9 2r  ，半径 r的取值范围为 2,9 2  ，故答案为：   2 26 32x y   ； 2,9 2   . 【变式 1-7】(24-25 高二上·福建三明·期末)已知 O为坐标原点，动点 M到两个定点  0,0O ，  3,0A 的距离的 比为 1 2 ，记动点 M的轨迹为曲线 C． (1)求曲线 C的标准方程；(2)若直线 l过点  2,2B  ，曲线 C截 l所得弦长等于 2 3，求直线 l的方程． 【答案】(1)  2 21 4x y   ;(2) 2x   或3 4 2 0x y   ．【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的 第 8 页 共 35 页 弦长求方程或参数【分析】(1)根据题干条件列出等式，化简即可得到结果.(2)首先假设斜率不存在，判断是 否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 【详解】(1)由题知，设点  ,M x y ，则   2 2 2 2 1 23 MO x y MA x y      ，所以   2 2 2 2 1 43 x y x y     ， 即  22 2 24 4 3x y x y    ，整理得 2 2 2 3 0x y x    ，所以曲线 C的标准方程为  2 21 4x y   ． (2)若直线 l的斜率不存在，则直线 l的方程为： 2x   ，与 C的交点坐标为  2, 3  ，  2, 3 ， 此时弦长等于 2 3，符合题意． 若直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为：  2 2y k x   ，设曲线 C的圆心到直线 l的距离为 d， 由(1)知曲线 C的圆心为( )1,0- ，所以 2 2 2 2 2 1 1 k k k d k k         ， 因为曲线 C截 l所得弦长等于 2 3，所以 22 3 2 4 d  ，解得 1d  ． 所以 2 2 1 1 k k    ，解得 3 4 k   ．所以直线 l的方程为：3 4 2 0x y   ． 综上，直线 l的方程为： 2x   或3 4 2 0x y   ． 【变式 1-8】(2025 高三·全国·专题练习)如图所示，已知圆 2 2: ( 2) 1C x y   ，在圆C上任取一点Q，以 OQ 为边逆时针作正三角形 OQR，求点 R的轨迹方程． 【答案】 2 2( 1) ( 3) 1x y    【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、与复数模相关的轨迹(图形)问题、 复数的三角表示【分析】视坐标平面为复平面，设 Q，R对应的复数分别为 ,Q Rz z ，则 2 1Qz   ，然后利用 复数的三角表示及复数模的几何意义求解轨迹方程. 【详解】视坐标平面为复平面，设 Q，R对应的复数分别为 ,Q Rz z ，则 2 1Qz   ， 由题设得 π πcos i sin 3 3Q R z z                 ，代入 2 1Qz   ，得 π πcos isin 2 1 3 3R z                  ， π π2 cos i sin 1 3 3R z        ，即 (1 3i) 1Rz    ，点 R的轨迹方程为 2 2( 1) ( 3) 1x y    ． 题型 02 坐标法 【典例 2-1】(24-25 高二上·江苏南通·期中)如图，是某心形二次曲线C，则C的方程可能为( ) 第 9 页 共 35 页 A． 2 2 1x y x y   B． 2 2 1x y x y   C． 2 2 1x y x y   D． 2 2 1x y x y   【答案】A【难度】0.85【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】利用排除法，根据对称性排除 CD，令 1x  ，解方程排除 B. 【详解】显然图象关于 y轴对称，即把 x换成 x 方程不变，可知 CD 错误； 对于 B：令 1x  ，可得 2 0y y  ，解得 1y   或 0y  ，不合题意；故选：A. 【典例 2-2】(24-25 高二上·全国·课后作业)已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶， 隧道截面是半径为 4 米的半圆，若行驶车辆的宽度为 2.5 米，则车辆的最大高度应不超过( ) A． 39 4 米 B． 39 4 米 C． 39 2 米 D． 13 4 米 【答案】C【难度】0.85【知识点】坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O为圆心，易得半圆的方程为  2 2 16 0x y y   ，  2.5,0A ， 因为 B在半圆上，且 BA x 轴，所以 2 216 2.5 9.75By    ， 即 39 2B y  ．故车辆的最大高度应不超过 39 2 米．故选：C. 【典例 2-3】(24-25 高二上·江苏无锡·期中)在∆ABC中，D是 AB的中点，E在边 AC上， 2AE EC ，CD与 BE交于点 F，若 AC=6， 3FB FC ，则∆ABC的面积的最大值为 【答案】12 3【难度】0.4【知识点】平面向量共线定理的推论、轨迹问题——圆、用基底表示向量 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得 3 3 FE FC ，再建立平面直角坐标系，求 出点 F 到边 AC的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在∆ABC中，D是 AB的中点，E在边 AC上， 2AE EC ， 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 BE BC CE BC CA BA BC BD BC                 ，令 BE BF   ，则 2 2 3 3 BF BD BC        ， 又点 , ,C F D共线，于是 2 2 1 3 3    ，解得 4 3   ，则 1 3 3 3 FE FB FC  ， ∆ABC的面积 3 12ABC BCE FCES S S    ，由 6AC  ，得 2CE  ， 第 10 页 共 35 页 以直线CE为 x轴，线段CE的中垂线为 y轴建立平面直角坐标系，点 ( 1,0), (1,0)C E ，设 ( , )F x y ， 则 2 2 2 23( 1) 3 ( 1)x y x y     ，整理得 2 2( 2) 3x y   ， 因此点F 的轨迹是以 (2,0)为圆心， 3为半径的圆(除圆与 x轴的交点外)， 则点 F 到边 AC的距离的最大值为 3，所以∆ABC的面积的最大值为 112 2 3 12 3 2     .故答案为：12 3 【点睛】关键点点睛：利用平面向量求得 3 3 FE FC ，再借助阿氏圆求出最大距离是解题的关键. 【变式 2-1】（2023 高一上·浙江台州·专题练习）如图，在∆ABC中， 120BAC  ， 4AB AC  ，点M 是∆ABC 内部一点，且满足 2 2 23BM CM AM  ，则点M 在运动过程中所形成的图形的长是（ ） A． 8 3 π 9 B． 4 3 π 9 C． 4 3 D．2 3 【答案】B【难度】0.65【知识点】余弦定理解三角形、轨迹问题——圆 【分析】由余弦定理可得 BC = 4 3，以 BC中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，再根据直接法可得点M 的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系，进而可得点M 在运动轨迹及其长度. 【详解】由已知 120BAC  ， 4AB AC  ，则 2 2 2 2 cos 48BC AB AC AB AC BAC       ，即 BC = 4 3， 设BC中点为O，则OA BC ，且 2OA  ， 如图建立平面直角坐标系，则  0,2A ，  2 3,0B  ，  2 3,0C ，设  ,M x y ， 由 2 2 23BM CM AM  ，则      2 2 22 2 22 3 2 3 3 2x y x y x y                     ， 化简可得   2 24 3 162 3 3 x y           ，即点M 在以 4 3 , 2 3 E        为圆心， 4 3 3 为半径的圆上， 则A、 B在圆上， 令 0y  ，则 1 2 3x   ， 2 2 3 3 x   ，即圆与 x轴交于 B，D两点， 2 3 ,0 3 D        ， 且 4 3 3 AD EA ED   ，及 π 3 DAE  所以点M 在∆ABC内的轨迹为AD， 第 11 页 共 35 页 其长度为 4 3 π 4 3 π 3 3 9   ，故选：B. 【变式 2-2】（22-23 高二上·湖北荆州·阶段练习）若平面内两定点 A，B间的距离为 2，动点 P满足 | | 2 | | PA PB  ， 则 PAB 面积的最大值是（ ） A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】建立直角坐标系，利用 | | 2PA PB  可得点 P的轨迹方程，再利用圆的性质及三角形面积公式即得. 【详解】以经过 ,A B的直线为 x轴，线段 AB的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系， 则    1,0 , 1,0A B ，设  ,P x y ，由 | | 2PA PB  ，所以     2 2 2 2 1 2 1 x y x y      ， 两边平方并整理得  2 23 8x y   ，所以点 P的轨迹为以  3,0 为圆心， 2 2 为半径的圆， 则当 P到 AB ( x轴)的距离最大时 PAB 面积的最大，此时 PAB 的面积是 1 2 2 2 2 2 2    .故选：C. 【变式 2-3】（2025·上海杨浦·三模）已知∆ABC的 2, 2AB AC BC  ，则∆ABC的面积的取值范围是 ． 【答案】 40 3      ， 【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆 【分析】以A为坐标原点 AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，设出点C坐标，根据 2AC BC 列等式， 即可得到C的轨迹.再求点C到 AB的距离范围即可得到∆ABC的面积的取值范围. 【详解】以A为坐标原点 AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系，设  ,C x y ，    0,0 , 2,0A B . 因为 2AC BC ，所以  22 2 22 2x y x y    ，化简得 2 28 16 3 9 x y       ， 则点C的轨迹为以 8 ,0 3       为圆心，半径为 4 3 的圆（除去两点  4 ,0 , 4,0 3       ）. 则点C到直线 AB的最大距离即为半径 4 3 ，此时三角形 ABC的面积 1 4 4 2 3 3 S AB   . 第 12 页 共 35 页 又点C到直线 AB的距离可趋近于0，所以三角形 ABC的面积的取值范围为 40, 3      .故答案为： 40, 3      【变式 2-4】（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）如图， ABCV 中， 6AB  ， 2AC BC ，D为 AB中点，则 tan BDC 的取值范围为 . 【答案】 40, 3      【难度】0.65【知识点】几何图形中的计算、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】以D为坐标原点， AB所在的直线为 x轴， AB的中垂线为 y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 结合题中条件确定 tan yBDC x   的范围即可. 【详解】以D为坐标原点， AB所在的直线为 x轴， AB的中垂线为 y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则  3,0A  ，  0,0D ，  3,0B ， 设  ,C x y ，又 2AC BC ，则C在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设C在第一象限， 则    2 22 23 2 3x y x y     ，整理得  2 25 16x y   且 0y  ， 又 tan yBDC x   ，结合图象知， tan 0BDC  ，则 22 2 2 2 2 10 9 1 1tan 9 10 1y x xBDC x x x x               ， 当 1 5 9x  时， 2tan BDC 取最大值为 16 9 ，则 40 tan 3 BDC   ，即 tan BDC 的取值范围为 40, 3      ， 故答案为： 40, 3      . 【变式 2-5】(24-25 高二上·全国·课后作业)树林的边界是直线 l(如图 CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水 时发现了一只狼，兔子和狼分别位于 l的垂线 AC上的 A点和 B点处，  AB BC a (a为正常数)，若兔子 沿 AD方向以速度2 (  为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段 BM(M AD )方向以速度  进行追击，若狼 到达 M处的时间不多于兔子到达 M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的 点)的区域面积  S a  . 【答案】   24 π 0 9 a a  【难度】0.65【知识点】由方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离【分析】建立 直角坐标系，设 (0, 2 ), (0, )A a B a ， ( , )M x y ，由 2 BM AM    求得 2 2 2 2 4 3 9 a ax y       ，由此求得圆的面积 ( )s a 的值； 第 13 页 共 35 页 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设  0,2A a ，  0,B a ，  M x y， ， 由 2   BM AM ，即    2 22 22 2x y a x y a     ，则    2 22 24 4 2x y a x y a     ， 整理得 2 2 2 2 4 3 9 a ax y       ，所以点 M在以 20, 3 a      为圆心， 2 3 a 为半径的圆上及圆的内部， 所以     2 22 4 ππ 0 3 9 a aS a a        .故答案为：   24 π 0 9 a a  【变式 2-6】（24-25 高二上·江苏无锡·期中）在∆ABC中，D是 AB的中点，E在边 AC上， 2AE EC ，CD 与 BE交于点 F，若 AC=6， 3FB FC ，则∆ABC的面积的最大值为 【答案】12 3【难度】0.4【知识点】用基底表示向量、轨迹问题——圆、平面向量共线定理的推论 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得 3 3 FE FC ，再建立平面直角坐标系，求 出点 F 到边 AC的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在∆ABC中，D是 AB的中点，E在边 AC上， 2AE EC ， 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 BE BC CE BC CA BA BC BD BC                 ，令 BE BF   ， 则 2 2 3 3 BF BD BC        ，又点 , ,C F D共线，于是 2 2 1 3 3    ，解得 4 3   ， 则 1 3 3 3 FE FB FC  ， ABCV 的面积 3 12ABC BCE FCES S S    ， 由 6AC  ，得 2CE  ，以直线CE为 x轴，线段CE的中垂线为 y轴建立平面直角坐标系， 点 ( 1,0), (1,0)C E ，设 ( , )F x y ，则 2 2 2 23( 1) 3 ( 1)x y x y     ， 整理得 2 2( 2) 3x y   ，因此点 F 的轨迹是以 (2,0)为圆心， 3为半径的圆（除圆与 x轴的交点外）， 则点 F 到边 AC的距离的最大值为 3， 所以∆ABC的面积的最大值为 112 2 3 12 3 2     .故答案为：12 3 题型 03 韦达定理的应用 【典例 3-1】(24-25 高二上·河南洛阳·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两 第 14 页 共 35 页 定点距离之比为常数 ( 0k k  且 1)k  的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系 中， (1,0), (4,0)N M ，动点Q满足 2 QM QN  ，设动点Q的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程；(2)若直线 1 0x y   与曲线C交于 ,A B两点，求 AB ； (3)若曲线C与 x轴的交点为 ,E F，直线 : 1l x my  与曲线C交于 ,G H 两点，直线 EG与直线 FH 交于点D， 证明：点D在定直线上． 【答案】(1) 2 2 4x y  ;(2) 14 ;(3)证明见解析【难度】0.65【知识点】轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、 坐标法的应用——直线与圆的位置关系【分析】(1)利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解；(2)代入 直线与圆相交的弦长公式，即可求解；(3)首先直线 l与圆C的方程联立，并利用坐标表示直线 EG和 FH 的 方程，并利用韦达定理表示 0 0 2 2 x x   ，即可求解交点坐标， 【详解】(1)设  ,Q x y ，因为 2 QM QN  ，所以 2 2| | 4 | |QM QN ， 即 2 2 2 2( 4) 4 ( 1)x y x y      ，整理得 2 2 4x y  ，所以曲线C的轨迹方程为 2 2 4x y  ． (2)曲线C的圆心到直线 1 0x y   的距离 2 2 1 2 21 ( 1) d     ，所以 2 2 12 2 4 14 2 AB r d     ． (3)证明：设      1 1 2 2 0 0, , , , ,G x y H x y D x y ． 联立 2 2 1, 4, x my x y      得  2 21 2 3 0m y my    ，  2 2 1 2 1 22 22 3Δ 4 12 1 0, ,1 1 mm m y y y y m m           ． 设    2,0 , 2,0E F ，所以直线 EG的方程为  1 1 2 2 yy x x    ，直线 FH 的方程为  2 2 2 2 yy x x    ． 因为直线 EG与直线 FH 交于点D，所以     1 0 0 1 2 0 0 2 2 , 2 2 , 2 yy x x yy x x           则     2 10 2 1 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 12 2 2 2 3 3 y myx y x my y y y y x x y my y my y y              1 12 2 2 1 12 2 3 2 11 1 1 3 3 33 3 1 1 m m my y m m m m my y m m                 ， 即 0 0 2 1 2 3 x x    ，解得 0 4x   ，所以点D在直线 4x   上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示 0 0 2 2 x x   . 【典例 3-2】(24-25 高二上·陕西西安·阶段练习)如图，已知圆M 的方程为  22 2x y b r   ，直线 x my 与圆 第 15 页 共 35 页 M 交于  1 1C x y， ，  2 2D x y， (C在上方)，直线 x ny 与圆M 交于  3 3E x y， ，  4 4F x y， ( E在上方)．原点 O在圆M 内．设CF交 x轴于点 P， ED交 x轴于点Q． (1)当 0b  ， 5r  ， 1 2 m   ， 2n  时，分别求线段OP和OQ的长度； (2)①求证： 3 41 2 1 2 3 4 y yy y y y y y   ；②猜想 OP 和 OQ 的大小关系，并证明． 【答案】(1) 5 3 OP  ， 5 3 OQ  ;(2)①证明见解析；② OP OQ ，证明见解析【难度】0.65 【知识点】直线两点式方程及辨析、求直线与圆交点的坐标、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】(1)联立直线与圆的方程，可求出 , , ,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF和 ED的方程，并求它们与 x轴的交点坐标，可得OP和OQ的长度． (2)①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测 OP OQ ， 分别求出点 P和点Q的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【详解】(1)当 0b  ， 5r  ， 1 2 m   ， 2n  时， 圆 2 2: 5M x y  ，直线 1: 2 CD x y  ，由 2 2 5 1 2 x y x y        解得 1 2 x y     或 1 2 x y     ，故  1,2C  ，  1, 2D  ； 直线 : 2EF x y ，由 2 2 5 2 x y x y      解得 2 1 x y    或 2 1 x y      ，故  2,1E ，  2, 1F   ． 所以直线 1 2: 2 1 1 2 y xCF      ，令 0y  得 5 3 x   ，即 5 ,0 3 P      ； 直线 1 2: 2 1 1 2 y xED      ，令 0y  得 5 3 x  ，即 5 ,0 3 Q      ，所以 5 3 OP OQ  ． (2)①由原点O在圆内，知 2 2b r , 由  22 2x y b r x my       得    2 2 2my y b r   ，即  2 2 2 21 2 0m y by b r     ， 则 1y ， 2y 是上述方程的两个解，由根与系数的关系得 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 by y m b ry y m         ， 同理可得 3 4 2 2 2 3 4 2 2 1 1 by y n b ry y n          ，所以 3 41 2 2 2 1 2 3 4 2y yy y b y y y y b r     . 第 16 页 共 35 页 ②猜测 OP OQ ，证明如下：设点  ,0P p ，  ,0Q q ， 因为 , ,C P F三点共线，所以 4 1 4 1 0 0y y x p x p      ，解得 4 1 1 4 1 4 x y x yp y y    ， 又因为点C在直线 x my 上，所以 1 1x my ，点 F 在直线 x ny 上，所以 4 4x ny ， 所以  1 44 1 1 4 1 4 1 4 y y n mny y my yp y y y y      ， 同理因为 , ,E Q D三点共线，可得  2 3 2 3 y y n m q y y    , 由①可知 3 41 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1y yy y y y y y y y y y y y y y           2 3 2 34 1 1 4 1 4 2 3 1 4 2 3 0y y y yy y y y y y y y y y y y         ， 所以      1 4 2 3 2 31 4 1 4 2 3 1 4 2 3 0 y y n m y y n m y yy yp q n m y y y y y y y y                 ,即 p q  ， 所以 OP OQ 成立． 【典例 3-3】(2024 高三·全国·专题练习)如图，已知圆  2 2: 10 16 0, 4,0 ,M x x y Q O    为坐标原点，过点Q 作直线 l交圆M 于点 A B、 ，过点 A B、 分别作圆M 的切线，两条切线相交于点 P． (1)若直线 l的斜率为 1，求 AB 的值；(2)若两条切线 PA PB、 与轴 y分别交于点 S T、 ，求 ST 的最小值． 【答案】(1) 34 ;(2) 2 2【难度】0.65【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、过圆上一点的 圆的切线方程、圆的弦长与中点弦【分析】(1)根据弦长公式即可求解，(2)根据垂直满足的斜率关系，结合 点斜式方程，可得 1 4 5Sy my   ， 2 4 5Ty my   ，即可得 29 8S TST y y m    求解. 【详解】(1)直线 l为 4y x  ，圆 2 2: 10 16 0M x x y    的半径 3r  ，圆心 (5,0)M 到直线的距离 | 5 4 | 2 22 d   ，所以 2 2| | 2 34AB r d   . (2)设直线 l为 4x my  , 联立 4x my  与 2 2: 10 16 0M x x y    可得  2 21 2 8 0m y my    ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ,则 1 2 1 22 2 2 8, 1 1 my y y y m m        ， 1 1 5 MA yk x   ，故 PA的斜率为 1 1 5x y   ，故直线 PA的方程为  1 1 1 1 5xy x x y y      ， 令 0x  ，  112 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 165 16 4 55 5S myxy mx x x x yy y y yy y           ， 第 17 页 共 35 页 同理可得 2 4 5Ty my   ， 则  21 2 1 22 1 1 2 1 2 1 2 44 4 4 4S T y y y yy yST y y y y y y y y         2 2 2 2 2 2 324 1 1 9 8 8 1 m m m m m           . 当 0m  时， | |ST 最小值为 2 2 .此时直线 l为 4x   ， ( 4,0)P  . 【变式 3-1】(24-25 高二下·上海崇明·期末)已知圆 :C 2 2 2 0x y x t    ，直线 :l 2 0x y  ． (1)若直线 l与圆C相切，求实数 t的值； (2)直线 l与圆C相交于A、 B两点，且 1OA OB     ，求圆C的半径 r． 【答案】(1) 1 5 t  ；(2) 2r  .【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、由标准方程确定圆心和半径、由 直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】(1)将圆C的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； (2)联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得 1t   ，即可得解. 【详解】(1)由圆C的一般方程 2 2 2 0x y x t    可得标准方程  2 21 1x y t    ，则1 0t  ，即 1t  . 所以圆心  1,0C 到直线 :l 2 0x y  的距离 2 2 2 0 2 5 52 1 d     ， 因为直线 l与圆C相切，所以 2 41 5 d t   ，解得 1 5 t  ，满足 1t  .所以， 1 5 t  . (2)由题意，联立 2 2 2 2 0 0x y x y x t        可得 25 2 0x x t   ，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 则 4 20 0t    ，解得 1 5 t  ，根据韦达定理可得 1 2 1 2 2 , 5 5 tx x x x   ， 则    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 5x x y y xO x x x x xA tO B            ，所以 1t   ，满足 1 5 t  . 所以，圆C的半径 r满足 2 1 2r t   ，故 2r  . 【变式 3-2】(24-25 高二上·河南洛阳·期中)已知圆C的圆心在 y轴上，点 P在圆上，当 P的坐标为 9 17, 5 5       时， P到直线3 4 12 0x y   的距离最大. (1)求直线 4 3 8 0x y   被圆C截得的弦长； (2)经过原点，且斜率为  0k k  的直线 l与圆C交于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点. ①求证： 1 2 1 1 y y  为定值；②已知  1,2Q ，若 2 2 22QA QB  ，求直线 l的方程. 【答案】(1) 4 2 ；(2)①证明见解析；② y x .【难度】0.65【知识点】已知点到直线距离求参数、由圆心(或 半径)求圆的方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦【分析】(1)当 P到直线 3 4 12 0x y   距离最大时，PC与3 4 12 0x y   垂直，可求出圆心C的坐标，从而可以求出圆的方程，然 后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 4 3 8 0x y   的距离d，再由 2 22l r d  可得到弦长； 第 18 页 共 35 页 (2)设直线 l的方程为  0y kx k  ，与圆的方程联立，可得到关于 y的一元二次方程，及根与系数关系．对 于①，由 1 2 1 2 1 2 1 1  y y y y y y    代入根与系数关系可得到定值；对于②，        2 2 2 22 2 1 1 2 21 2 1 2QA QB x y x y         可化为    21 2 1 2 1 22 2 1 2 11 4 2 1 10y y y y y y k k k                         ，代入根与系数关系即可求出 k，从而得到答案． 【详解】(1)由题意，设圆心  0,C a ， 当 P的坐标为 9 17, 5 5       ， 17 17 55 9 9 5 PC a ak      ， 17 5 3 1 9 4 a          ， 1a  ，  0,1C ， 3PC  ，即半径为 3.圆C的标准方程为  22 1 9x y   . 圆心到直线 4 3 8 0x y   的距离为  22 3 8 1 4 3      ，所求弦长为 2 22 3 1 4 2  . (2)设直线 l的方程为  0y kx k  ，与圆的方程联立，可得 22 11 2 8 0y y k         ，显然， 0  ， 2 1 2 2 2 2 2 1 11 ky y k k      ， 2 1 2 2 2 8 8 1 11 ky y k k      . ① 1 2 1 2 1 2 1 1 1 4 y y y y y y       为定值； ②        2 2 2 2 2 21 1 2 21 2 1 2QA QB x y x y                2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 4 10x x x x y y y y            2 21 2 1 22 1 21 4 10y y y y k k                     21 2 1 2 1 22 2 1 2 11 4 2 1 10y y y y y y k k k                          2 2 4 84 26 221 11 1 k k k        ， 2 4 4 411 k k      , 1k  ,直线 l的方程为 y x . 【变式 3-3】(24-25 高二上·江苏徐州·期中)已知两定点  2,0A ，  0,2B ，动点 M满足 2 2 22MA MB  ，其 轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C的方程；(2)是否存在斜率为 1 的直线 l，使得以 l被曲线 C截得的弦 PQ为直径的圆过原点， 若存在，求出直线 l的方程，若不存在说明理由. 【答案】(1)    2 21 1 9x y    ;(2) : 1 2 2l y x    或 1 2 2y x    .【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、点与圆的位置关系求参数、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】(1)利用两点距离公式设点坐标化简计算即可； (2)假设存在，设线设点，利用圆的性质得 0OP OQ    ，联立直线与圆方程利用韦达定理计算参数即可. 第 19 页 共 35 页 【详解】(1)设  ,M x y ，则    2 22 2 2 22 2 22MA MB x y x y        ， 整理得    2 21 1 9x y    ； (2)设存在    1 1 2 2: , , , ,l y x b P x y Q x y   ， 联立圆 C方程有     2 21 1 9x y y x b          ，整理得 2 22 2 2 7 0x bx b b     ， 则    2 2 1 2 2 1 2 Δ 2 4 2 2 7 0 2 7 2 b b b x x b b bx x                 ，则  2 3 2,2 3 2b   ，此时弦 PQ为直径的圆过原点， 即     21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 2OP OQ x x y y x x b x b x x x b b x x              2 22 22 7 2 2 2 7b b bb b b      ， 即 1 2 2b   ，符合题意；即 : 1 2 2l y x    或 1 2 2y x    . 题型 04 定点定值问题 【典例 4-1】(24-25 高二上·上海·阶段练习)已知圆C的圆心坐标为 (3,0)C ，且该圆经过点 (0,4)A . (1)若点 B也在圆C上，且弦 AB长为 8，求直线 AB的方程；(2)直线 l交圆C于M 、N两点，若直线 AM 、AN 的斜率之积为 2，求证：直线 l过一个定点，并求出该定点坐标；(3)直线 l交圆C于M 、N两点，若直线 AM、 AN的斜率之和为 0，求证：直线 l的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1) 0x  或7 24 96 0x y   ;(2) ( 6, 12)  ;(3)证明见解析；定值为 3 4  【难度】0.65【知识点】直线过 定点问题、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)根据题意，求得圆C的方程为 2 2( 3) 25x y   ，分类直线 AB的斜率不存在和斜率存在，结合 圆的弦长公式，即可求解；(2)当直线 l的斜率不存在时，根据直线 ,AM AN 的斜率之积为 2，求得 2 216 2b a  ， 联立方程组，此时方程组无解；当直线 l的斜率存在时，设直线 :MN y kx t  ，利用斜率公式，列出方程求 得 2 2 1 2 1 2( 2) ( 4)( ) ( 4) 0k x x k t x x t       ，联立方程组，利用根与系数的关系，代入求得 26 tk   ，进而 得出直线 l过定点.(3)设直线 : 4AM y kx  ，联立方程组，求得 2 2 2 6 8 4 6 4( , ) 1 1 k k kM k k       ，同理求得点 第 20 页 共 35 页 2 2 2 6 8 4 6 4( , ) 1 1 k k kN k k       ，求得 3 4MN k   ，即可得证. 【详解】(1)因为圆C的圆心坐标为 (3,0)C ，且该圆经过点 (0,4)A ， 可得 5AC  ，即圆的半径为 = 5r ，所以圆C的方程为 2 2( 3) 25x y   ， 当直线 AB的斜率不存在时，此时直线 AB的方程为 0x  ，此时 8AB  ，符合题意； 当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 4y kx  ， 因为 8AB  ，圆的半径为 = 5r ，可得圆心到直线 AB的距离为3， 由点到直线的距离公式，可得 2 3 4 3 1 k k    ，解得 7 24 k   ， 所以直线 AB的方程为 74 ( 0) 24 y x    ，即7 24 96 0x y   ， 综上可得，直线 AB的方程为 0x  或7 24 96 0x y   . (2)解：当直线 l的斜率不存在时，设 ( , ), ( , )M a b N a b ， 因为直线 ,AM AN 的斜率之积为 2，且 (0,4)A ，可得 4 4 2b b a a      ，即 2 216 2b a  ， 又因为点 ( , )M a b 在圆C上，可得 2 2( 3) 25a b   ，联立方程组   2 2 2 2 16 2 3 25 b a a b        ，此时方程组无解，(舍去)； 当直线 l的斜率存在时，设直线MN的方程为 y kx t  ，且 1 1 2 2( , ), ( , )M x kx t N x kx t  ， 由 1 2 1 2 4 4 2AM AN kx t kx tk k x x         ，整理得 2 21 2 1 2( 2) ( 4)( ) ( 4) 0k x x k t x x t       ， 联立方程组  2 23 25 y kx t x y       ，整理得 2 2 2( 1) (2 6) 16 0k x kt x t      ， 所以 2 1 2 1 22 2 (2 6) 16, 1 1 kt tx x x x k k         ，代入上式，可得 2 2 2 2( 2)( 16) ( 4)( 2 6) ( 4) (1 ) 0k t k t kt t k          ， 整理得 2 6 tk   ，所以直线 l的方程为 ( 2) 6 ty x t   ，可得直线 l的方程为 ( 6) (12 6 ) 0t x x y    ， 联立方程组 6 0 12 6 0 x x y      ，解得 6, 12x y    ，所以直线 l恒过定点 ( 6, 12)  . (3)设直线 : 4AM y kx  ，联立方程组  2 2 4 3 25 y kx x y       ，整理得 2 2(1 ) (6 8 ) 0k x k x    ， 所以点M 的坐标为 2 2 2 6 8 4 6 4( , ) 1 1 k k k k k       ， 同理可得：点 N的坐标为 2 2 2 6 8 4 6 4( , ) 1 1 k k k k k       ， 所以 3 4 M N MN M N y yk x x      ，所以直线 l的斜率为定值 3 4  . 第 21 页 共 35 页 【典例 4-2】(2024·江西南昌·模拟预测)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的动弦 AB，圆 2 2 2 2 8C :( x a ) ( y )    ，则下列选项正确的是( ) A．当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时，则实数 a的取值范围为[ 3,5] B． 1ABC 的面积最大值为 1 C．若原点O始终在动弦 AB上，则OA OB   不是定值 D．若动点 P满足四边形OAPB为矩形，则点 P的轨迹长度为 2 3π 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题—— 圆、圆内接三角形的面积【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数 a的范围判断 A，根据三角形面积结 合正弦函数可求出面积最大值判断 B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求 解判断 C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点 P的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断 D. 【详解】对于 A，圆 2 21 : ( 1) 2C x y   的圆心为  1,0 ，半径为 2， 圆 2 22 2 8C :( x a ) ( y )    的圆心为  , 2a ，半径为 2 2 ， 当圆 1C 和圆 2C 存在公共点时， 1 22 2 2 2 2 2C C    ， 所以 222 ( 1) 2 3 2a    ，解得 3 5a   ，所以实数 a的取值范围为[ 3,5] ，正确； 对于 B， 1ABC 的面积为 1 1 1 1 2 2 sin sin 1 2ABC S AC B AC B        ， 当 1 π 2 AC B  时， 1ABC 的面积有最大值为 1，正确； 对于 C，当弦 AB垂直 x轴时，    0, 1 , 0,1A B ，所以  0 1 1 1OA OB         ， 当弦 AB不垂直 x轴时，设弦 AB所在直线为 y kx ， 与圆 2 2 1 : ( 1) 2C x y   联立得，  2 21 2 1 0k x x    ， 设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )，则 1 2 2 1 1 x x k    ，    2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 211 1 11OA OB x x y y x x k x x k x x k k                 ，综上 1OA OB     ，恒为定值，错误； 对于 D，设  0 0,P x y ，OP中点 0 0,2 2 x y      ，该点也是 AB中点，且 2 20 0AB OP x y   ， 又 2 2 0 02 2 1 2 4 x yAB             ，所以 2 2 2 20 0 0 02 2 12 4 x y x y              ， 化简得  2 20 01 3x y   ，所以点 P的轨迹为以  1,0 为圆心，半径为 3的圆，其周长为长度为 2 3π，正确. 故选：ABD 【典例 4-3】(24-25 高二上·江苏泰州·期中)已知圆    2 2: 1 2 25C x y    ，直线 : 3 1 0l mx y m    .则以下 几个结论正确的有( ) A．直线 l恒过定点 (3,1) B．圆C被 y轴截得的弦长为 4 6 第 22 页 共 35 页 C．点C到直线 l的距离的最大值是 2 5 D．直线 l被圆C截得的弦长最短时，直线 l的方程为 2 5 0x y   【答案】ABD【难度】0.65【知识点】直线交点系方程及应用、直线与圆中的定点定值问题、求点到直线的 距离【分析】首先变形直线 l求定点，将 0x  代入圆C的方程，求圆与 y轴的交点，即可判断 B，结合定点， 利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断 CD. 【详解】A.  : 3 1 0l m x y    ，不管m为何值， 3, 1x y  满足方程，即直线 l过定点  3,1 ，故 A 正确； B.当 0x  时，  21 2 25y   ，解得： 1 2 2 6y   ， 2 2 2 6y   ，所以弦长为 1 2 4 6y y  ，故 B 正确； C.圆心  1,2C 到直线 l的距离的最大值是圆心与定点  3,1 的距离    2 21 3 2 1 5    ，故 C 错误； D.设直线 l的定点  3,1P ，当点 P为弦的中点时，此时弦长最短，即CP l ， 2 1 1 1 3 2CP k     ，所以直线 l的 斜率为 2，所以直线 l的方程为  1 2 3y x   ，即 2 5 0x y   ，故 D 正确.故选：ABD 【变式 4-1】(24-25 高二上·北京顺义·期中)已知圆O：  2 2 2 0x y r r   与直线 2 2 5 0x y   相切． (1)求出 r；(2)设点  0 0,N x y 为直线 3y x   上一动点，若在圆O上存在点 P，使得 60ONP  ，求 0x 的 取值范围；(3)若过点  0,2A 做两条互相垂直的直线交圆O于 B，C两点，判断直线 BC是否恒过定点，若存 在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) 2r  ;(2) 9 15 9 15,6 6        ;(3)过定点，定点为  0,0O 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)根据相切结合点到直线的距离公式运算求解即可； (2)分析可知当 NP与圆O相切( P为切点)时， ONP 取到最大值，可得 43ON  ，运算求解即可； (3)当且仅当 BC是圆 O的直径时，条件成立，即可得定点. 【详解】(1)由题意可知：圆O的圆心为  0,0O ，半径为 r， 因为圆心O与直线 2 2 5 0x y   相切，所以 0 0 2 5 2 5 r     . (2)因为圆心O与直线 3 0x y   的距离 0 0 3 3 2 2 22 d      ，可知圆O与直线 3 0x y   相离， 由题意可知：当 NP与圆O相切( P为切点)时， ONP 取到最大值，此时OP NP ，且 60ONP  ， 则 2 3sin 2 OP ONP ON ON     ，可得 4 3 ON  ，则 2 20 0 16 3 x y  ， 因为点  0 0,N x y 为直线 3y x   上，则 0 0 3y x   ， 第 23 页 共 35 页 可得  220 0 163 3 x x    ，整理可得 20 06 18 11 0x x   ，解得 0 9 15 9 15 6 6 x   ， 所以 0x 的取值范围为 9 15 9 15, 6 6        . (3)因为  0,2 , ,A B C均在圆 O上，且 AB AC ， 可知当且仅当 BC是圆 O的直径时，上述条件成立，所以直线 BC过定点  0,0O . 【变式 4-2】(24-25 高二上·江苏扬州·阶段练习)已知二次函数    2 2 3 4 11y x m x m m     R 与 x轴交于 ,A B两点，点  1,3C ，圆G过 , ,A B C 三点，存在一条定直线 l被圆G截得的弦长为定值，则该定值 为 . 【答案】 13【难度】0.4【知识点】直线与圆中的定点定值问题、圆的弦长与中点弦 【分析】利用同解方程可求圆G的方程，根据利用垂径定理可求弦长，根据弦长为定值可求斜率和截距的 值，故可求定值. 【详解】设圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，令 0y  ，则 2 0x Dx F   ，其解为 ,A B的横坐标， 故该方程与  2 2 3 4 11 0x m x m     同解，故 2 3, 4 11D m F m     ， 又圆过  1,3C ，故10 3 0D E F    ，故10 2 3 3 4 11 0m E m      ， 故 3 1E m  ，故圆G的方程为：  2 2 (2 3) 3 1 4 11 0x y m x m y m        . 其标准方程为： 2 2 23 3 1 13 13 13 2 2 2 4 2 2 x m y m m m                  ， 若定直线的斜率不存在，则可得定直线为： x t ，此时截得的弦长为： 2 2 2 213 13 13 3 9 13 3 13 32 ( ) 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 m m t m m t m t                        ， 无论 t取何值，弦长总不是常数， 设定直线为 y kx b  即 0kx y b   ， 圆心到直线的距离 2 3 1 3 2 2 2 1 mk m b k          ， 故弦长为 2 2 2 3 1 3 2 2 213 13 132 4 2 2 1 mk m b m m k              2 2 2 3 1 3 2 213 13 132 4 2 2 1 k b k m m m k               ， 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 13 13 13 3 12 2 22 2 4 2 2 1 2 1 1 kk k m b km m m b k k k                              若弦长为定值，则 2 2 3 13 2 4 1 k k       且 2 3 3 1 1322 2 1 2 k k b k            ， 故 2 11, 3 3 k b   ，此时弦长为 169 13 362 1342 1 9    ，故答案为： 13 . 第 24 页 共 35 页 1.(22-23 高二上·全国·课后作业)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ·AC BC   =2，则点 C的轨迹为( ) A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 【答案】C【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】建立合适的平面直角坐标系，设      , 0, ,, 0 ,A aC x B ay  ，根据 2AC BC    以及向量数量积的坐标 形式求解出 ,x y满足的关系式，即可判断出轨迹形状. 【详解】因为点 ,A B是两个定点，不妨设 2AB a ， 以 AB所在直线为 x轴，线段 AB的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系， 设  ,0A a ，  ,0B a ，  ,C x y ，所以  ,AC x a y   ，  ,BC x a y   ， 由 2AC BC    得：    2 2x a x a y    ，即 2 2 2 2x y a   ，所以点 C的轨迹为圆.故选：C. 2.(2025·山东·二模)直线 : 2l y kx  与圆 2 2: 4O x y  交于 ,A B两点， 2OA OB     ，则 k为( ) A． 3 B． 3 C． 1 3 D． 1 【答案】B【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交——韦达定理及应用 【分析】设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，联立方程组得 1 2 1 2,x x y y ，由平面向量数量积运算列出方程求解即可． 【详解】设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由 2 2 2 4 y kx x y      得，( )2 21 4 0k x kx+ + = ，则 1 2 1 22 4 , 0 1 kx x x x k + = - = + ， ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 42 2 2 4 1 ky y kx kx k x x k x x k - = + + = + + + = + ， 由 2OA OB     得，�1�2 + �1�2 = 4−4�2 �2+1 =− 2，解得：k =± 3，故选：B． 3.(24-25高二上·全国·课后作业)在平面直角坐标系 xOy中，已知点      ,0 , 0, , 5,5A a B b D ，且 10AB  ，记 AB 中点为C，则 CD 的最大值为( ) A．5 B．5 2 5 C．5 2 D．5 2 5 【答案】D【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、轨迹问题——圆 【分析】结合题意由中点坐标公式得到 ,2 2 a bC      ，再由 10AB  得到点C的轨迹方程，然后判断点D在圆O外， 最后得到 CD 的最值为 DO 长加上半径即可； 【详解】设 AB的中点  ,C x y ，因为    ,0 , 0,A a B b ，所以 ,2 2 a bC      ，即 2 , 2a x b y  ． 又 10AB  ，所以 22 100 a b ，则 2 2(2 ) (2 ) 100x y  ，化简得 2 2 25x y  ， 第 25 页 共 35 页 故点C的轨迹方程是 2 2 25x y  ，圆心  0,0O ，半径 = 5r ． 又 5 2 5DO   ，则点D在圆O外，故 CD 最大值为5 2 5 ．故选：D. 4.(24-25 高二上·湖南长沙·阶段练习)已知 ,A B两点的坐标分别为    0,1 , 1,0A B ，两条直线 1 : 1 0l mx y   和  2 : 1 0l x my m    R 的交点为 P，则 AP BP 的最大值为( ) A． 2 2 B． 2 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、求含 sinx(型)函数的值域和最值、由一般式方程判断直 线的垂直、轨迹问题——圆 【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点 P的轨迹，再设 ABP   ，结合辅助角公式求出即可； 【详解】由题意可得直线 1 : 1 0l mx y   恒过定点  0,1A ， 2 : 1 0l x my   恒过定点  1,0B ， 且两直线的斜率之积为 1 ，所以两直线相互垂直，所以点 P在以线段 AB为直径的圆上运动， 2AB  ，设 ABP   ，则 2 cos , 2 sinAP BP   ， 所以 π2 cos 2 sin 2sin 4 AP BP            ， 所以当 π 4   时，即 0m  时， AP BP 取得最大值 2，此时点 P的坐标为  1,1 .故选：D. 5.(24-25 高二上·河北邢台·阶段练习)已知点  4,11M ，直线 1 : 3 4 0l x my m    与直线 2 : 2 5 0l mx y m    交于点 P，则 PM 的取值范围是( ) A．  10,18 B． 13,18 C． 8,18 D． 8,13 【答案】C【难度】0.65 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值(范围) 【分析】由题意确定直线 1l 与 2l 互相垂直，得到 P点轨迹，即可求解. 【详解】由题意可知，当 0m  时，直线 1l 与 2l 互相垂直， 当 0m  时， 1 1m m     ，直线 1l 与 2l 互相垂直， 且直线 1l 经过定点  4,3A  ，直线 2l 经过定点  2, 5B  ，所以 0PA PB    . 第 26 页 共 35 页 设  ,P x y ，则      4 2 3 5 0x x y y        ，即 2 2( 1) ( 1) 25x y    ， 则点 P在以点  1, 1  为圆心，5为半径的圆(挖去  4, 5  与 (2,3) )上， 所以 PM 的最大值为 2 2(4 1) (11 1) 5 13 5 18       ， 最小值为 2 2(4 1) (11 1) 5 13 5 8       .故 PM 的取值范围是 8,18 ，故选：C 6.(24-25 高三下·河北·开学考试)已知圆 2 2 3C x y ： ，A，B是圆上的两个动点，O为坐标原点，∠��� = 60°, �( − 2,0);则 PA PB   的最小值为( ) A． 32 2  B． 1 2 C． 3 2 D．1 【答案】D【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值(范围) 【分析】设 AB的中点为 C，则 2PA PB PC     ，由 60AOB  知 C的轨迹是以 O为圆心 3 2 ， 为半径的圆， 故将问题转化为求 PC  的最小值即可. 【详解】设 AB的中点为 C，因为 60AOB  o，所以 3 33 2 2 OC    ， 所以点 C在以 O为圆心 3 2 ， 为半径的圆上，所以 �� + �� = 2�� ≥ 2 × (2 − 3 2 ) = 1;故选：D. 7.(24-25 高二上·江苏无锡·期中)在平面直角坐标系 xOy中，设    1,1 , 1,5A B ，点 P满足 · 1PA PB     ，动点 Q满足 2 2 18AQ BQ    ，当 3OQ OP   时，点 P的纵坐标为( ) A． 10 9 B． 10 3 C． 4 3 D． 2 3 3 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】由题意，设 ( , )Q x y ， 0 0( , )P x y ，点 P的轨迹是 2 20 0( 3) 5x y   ，由 2 2 18AQ BQ    得点Q的轨迹 2 2( 3) 4x y   ，由 3OQ OP   得 2 20 0 4( 1) 9 x y   ，联立 2 20 0( 3) 5x y   计算即可求解. 【详解】由题意， 1PA PB     ，设 0 0( , )P x y ，则 0 0 0 0( 1, 1) ( 1, 5) 1x y x y       ，化简得  220 0 3 4x y   ， 所以点 P的轨迹是以圆心为 (0,3)，半径为 5 的圆， 设 ( , )Q x y ，由 2 2 18AQ BQ    ，得 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 5) 18x y x y        ，化简得 2 2( 3) 4x y   ， 故点Q的轨迹是以 (0,3)为圆心，2 为半径的圆. 第 27 页 共 35 页 由 3OQ OP   ，得 0 0 3 3 x x y y    ，代入 2 2( 3) 4x y   ， 得 2 20 0 4( 1) 9 x y   ，联立  220 0 3 4x y   ，解得 0 10 9 y  ，即点 P的纵坐标为 10 9 .故选：A 8.(21-22 高三上·江苏南京·开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平 面内到两个定点A、B的距离之比为定值 ( 1)   的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy中， ( 2,0)A  ， (4,0)B .点 P满足 | | 1 | | 2 PA PB  ， 设点 P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是( ) A．C的方程为 2 2( 4) 16x y   B．在C上存在点D，使得D到点 (1,1)的距离为 3 C．在C上存在点M ，使得 | | 2 | |MO MA D．C上的点到直线3 4 13 0x y   的最小距离为 1 【答案】C【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、判断圆与圆的位置关系、轨迹问题——圆、求点到直线的距离 【分析】对 A：设点  ,P x y ，由两点距离公式代入化简判断；对 B：根据两点间距离公式求点 (1,1)到圆上 的点的距离的取值范围，由此分析判断；对 C：设点  ,M x y ，求点 M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分 析判断；对 D：结合点到直线的距离公式求得 C上的点到直线3 4 13 0x y   的最大距离，由此分析判断. 【详解】对 A：设点  ,P x y ，∵ 12 PA PB  ，则     2 2 2 2 2 1 24 x y x y      ，整理得  2 24 16x y   ， 故 C的方程为  2 24 16x y   ，故 A 正确； 对 B：  2 24 16x y   的圆心  1 4,0C  ，半径为 1 4r  ， ∵点 (1,1)到圆心  1 4,0C  的距离    2 21 1 4 1 0 26d      ， 则圆上一点到点 (1,1)的距离的取值范围为 1 1 1 1, 26 4, 26 4d r d r        ， 而  3 26 4, 26 4   ，故在 C上存在点 D，使得 D到点 (1,1)的距离为 9，故 B 正确； 对 C：设点  ,M x y ，∵ 2MO MA ，则  22 2 22 2x y x y    ，整理得 2 28 16 3 9 x y       ， ∴点 M的轨迹方程为 2 28 16 3 9 x y       ，是以 2 8 ,0 3 C      为圆心，半径 2 4 3 r  的圆， 又 1 2 1 2 4 8 3 3 C C r r    ，则两圆内含，没有公共点，∴在 C上不存在点 M，使得 2MO MA ，C 不正确； 对 D：∵圆心  1 4,0C  到直线3 4 13 0x y   的距离为     2 22 3 4 4 0 13 5 3 4 d          ， ∴C上的点到直线3 4 13 0x y   的最小距离为 2 1 1d r  ，故 D正确；故选：C. 第 28 页 共 35 页 12.(2025 高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，已知 ( )1,0A ，  2,0M  ，  2,0N ，直线 l： 1y kx  ， 动点 P满足 3PM PN ，则( ) A．点 P的轨迹是圆 B． PMN 面积的最大值为 3 C．点A到 l距离的最大值为 2 D． sin PMN 的最大值为 1 3 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于 A，设  ,P x y ，由 3PM PN ，根据距离公式化简得到结果；对于 B， P在圆上运动，其圆 心在 x轴上，P到 x轴上的最大距离为圆的半径，进而根据三角形面积公式计算；对于 C，直线 l恒过点  0,1 ， 当直线 l与过点  1,0 和  0,1 的直线垂直时，点  1,0A 到直线 l的距离最大；对于 D，设圆心为 C，则当直线 PM与圆 C相切时， PMN 最大，此时 PM PC ，在直角三角形中计算 sin PMN ． 【详解】对于 A，设  ,P x y ，由 3PM PN ，得    2 22 22 3 2x y x y     ， 即 2 25 9 2 4 x y       ，即点 P的轨迹是圆，A 正确； 对于 B，P在圆 2 25 9 2 4 x y       上运动，其圆心在 x轴上，则 PMN 面积的最大值为 1 3 3 2 2 MN   ，B 正确； 对于 C，当直线 l与过点  1,0 和  0,1 的直线垂直时，点  1,0A 到直线 l的距离最大，  1,0 和  0,1 间的距离 为 2，即A到 l距离的最大值为 2，C 错误； 对于 D，设圆心为 C，则当直线 PM与圆 C相切时， PMN 最大，此时 PM PC ，易知 5 92 2 2 MC    ， 3 2 PC  ，则 1sin 3 PC PMN MC    ，D正确．故选：ABD. 13.(24-25 高二上·江苏·阶段练习)下列说法正确的有( ) A．直线 2 1 0x my   过定点 1 ,0 2      B．圆 2 2 36x y  上的动点 P与定点  4,0Q 所连线段的中点M 的轨迹方程为  2 22 9x y   第 29 页 共 35 页 C．若圆 2 21 : 2 3 0O x y y    与圆 2 2 2 : 6 10 0O x y x y m     有唯一公切线，则 25m  D．圆  22 1 4x y   上存在两个点到直线 2 0x y   的距离为 2 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、由 圆的位置关系确定参数或范围 【分析】当 0y  时， 1 2 x   可得直线定点判断 A 正确；设  1 1,M x y ，由中点坐标公式得到点 P的坐标，代 入圆方程化简可判断 B 正确；由 1 2 1 2OO r r  可得 C 错误；求出圆心到直线的距离，再结合圆上的点到直 线的最大距离和最小距离可得 D 正确； 【详解】对于 A，当 0y  时， 1 2 x   ，所以直线过定点 1 ,0 2      ，故 A 正确； 对于 B，设  1 1,M x y ，由题意可得点 P的坐标为  1 12 4,2x y ， 代入圆方程可得  2 21 12 4 4 36x y   ，即点M 的轨迹方程为   2 22 9x y   ，故 B 正确； 对于 C，圆  221 : 1 4O x y   ，圆     2 2 2 : 3 5 34O x y m     ， 因为两圆有唯一的公切线，所以两圆相内切，所以 1 2 1 2OO r r  ， 即    2 20 3 1 5 2 34 m      ，解得 15m   ，故 C 错误； 对于 D，圆心到直线的距离为 0 1 2 2 21 1     ， 所以圆上的点到直线的最大距离为 22 2  ，最小距离为 22 2  ， 因为 2 22 2 2 2 2     ，所以圆  22 1 4x y   上存在两个点到直线 2 0x y   的距离为 2，故 D 正确； 故选：ABD. 14.(24-25 高二上·福建漳州·期中)已知  3,0A ，圆 2 2: 4O x y  ，点 P为圆O上一动点，且点Q为线段 AP 的中点，则( ) A． OQ 的取值范围为 1 5, 2 2      B．点Q的轨迹方程为 2 23 1 2 x y       C．直线 AP的斜率的最大值为 3 2 D．当点Q在圆O上时，点Q的横坐标为 7 4 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】定点到圆上点的最值(范围)、由直线与圆的位置关系求参数、相交圆 的公共弦方程、轨迹问题——圆 【分析】利用中位线的性质结合圆的定义可判定 B，根据点与圆的位置关系可判定 A，利用直线与圆的位置 关系计算可判定 C，根据两圆的位置关系可判定 D. 【详解】 第 30 页 共 35 页 取OA的中点 3 ,0 2 B      ，连接 BQ，易知当 P不在横轴上时， 1/ / 1 2 BQ OP BQ OP   ， 当 P在横轴上时，若  2,0P 时 5 ,0 2 Q      ，仍有 1 1 2 BQ OP  ； 若  2,0P  时 1 ,0 2 Q      ，仍有 1 1 2 BQ OP  ， 所以 Q轨迹为以 B为圆心，1 为半径的圆上，其轨迹方程为 2 23 1 2 x y       ，故 B 正确； 所以 1 1OB OQ OB    ，即 A 正确； 显然当 AP与圆 O相切时斜率取得最值，不妨设切线方程为  3y k x  ， 则圆心 O 到切线的距离为 2 3 2 52 51 k d k k      ， 所以直线 AP的斜率的最大值为 2 5 5 ，故 C 错误； 两圆方程作差得其公共弦方程为 7 4 x  ，所以 Q在圆 O上时，即在两圆的公共弦上， 所以其横坐标为 7 4 ，故 D 正确.故选：ABD 12.(24-25 高二上·北京·阶段练习)已知点 ( )1,0A 和点  4,0B ，若点 P满足 2PB PA ，则点 P的轨迹方程 为 ， PAB 的面积的最大值为 . 【答案】 2 2 4x y  ;3【难度】0.85【知识点】轨迹问题——圆 【分析】首先设  ,P x y ，利用两点间距离公式表示 2PB PA ，即可求解轨迹方程，再求圆上点到 AB距 离的最大值，即可求解面积的最大值. 【详解】设  ,P x y ，则    2 22 24 2 1x y x y     ，整理为 2 2 4x y  ， 点 P到 AB的距离的最大值为 2，所以 PAB 的面积的最大值为 1 4 1 2 3 2     .故答案为： 2 2 4x y  ；3 13.(24-25 高二上·全国·课后作业)下列序号中点的轨迹是圆(或圆的一部分)的有 ． ①在平面直角坐标系中，以坐标原点为起点的所有单位向量的终点； ②所有到直线 l 的距离等于定长的点；③以线段 AB 为斜边的所有直角三角形的直角顶点． 【答案】①③【难度】0.85【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、轨迹问题——圆、求点到直线的距离