6.2 角（第2课时 补角、余角）（教学课件）数学苏科版2024七年级上册

第六章 平面图形的初步认识 6.2 角 第2课时 补角、余角 学 习 目 标 1 2 在情境中理解补角、余角等概念，掌握同角（或等角）的补角相等、同角（或等角）的余角相等． 经历“观察、操作—探索、猜想—推理（有条理地表达）”的过程，发展空间观念和推理能力． 问题情境 这是我们常用的一副三角板，三角板中各个角的度数分别是多少？ 每块三角板上的两个锐角有怎样的数量关系？ 两个锐角的和为90°． 问题情境 分别把一副三角板摆成如图的位置，∠α与∠β有怎样的数量关系？ α β α β ∠α＋∠β＝90° ∠α＋∠β＝180° 概念引入 如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角(supplementary angle)，简称互补． 例如，∠α＝150°，∠β＝30°，则∠α和∠β互为补角． 概念引入 如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角(complementary angle)，简称互余． 例如，∠α＝70°，∠β＝20°，则∠α和∠β互为余角． 知识精讲 1. 互补 (余)只与数量有关，与位置无关，是成对出现的． 2. 一个角的补 (余)角可以有多个． 3. 互余的两个角均为锐角，但不能同时小于45°； 任何一个小于平角的角都有补角，但只有锐角才有余角． 4．锐角与钝角互补． ( ) 概念辨析 2．如果∠1＋∠2＋∠3＝90°，那么∠1、∠2、∠3互为余角． ( ) × × × 1．90°的角叫余角，180°的角叫补角． ( ) × 3．互为余角、互为补角的两个角一定有公共顶点． ( ) 5．一个角的补角必定是钝角． ( ) × 判断对错： 探索交流 如果∠α与∠β互为补角，∠α与∠γ互为补角，那么∠β与∠γ有怎样的数量关系？ 因为∠α与∠β互为补角，即∠α＋∠β＝180°， 所以∠β＝180°－∠α． 同理，∠γ＝180°－∠α． 所以∠β＝∠γ． 如果∠α与∠β互为余角，∠α与∠γ互为余角，那么∠β与∠γ有怎样的数量关系？ 因为∠α与∠β互为余角，即∠α＋∠β＝90°， 所以∠β＝90°－∠α． 同理，∠γ＝90°－∠α． 所以∠β＝∠γ． 归纳总结 同角（等角）的补角相等． 符号语言： ∵∠1与∠ 2互余(补)， ∠1与∠3互余(补)， ∴∠2＝∠3． 同角（等角）的余角相等． ∵∠1与∠ 2互余(补)， ∠3与∠4互余(补)，∠1＝∠3， ∴∠2＝∠4． 典例分析 例2 已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°．求∠α，∠β的大小． 解：根据题意，得∠β＝∠α＋30°． 因为∠α与∠β互为补角，即∠α＋∠β＝180°， 所以∠α＋(∠α＋30°)＝180°. 所以∠α＝75°，∠β＝75°＋30°＝105°． 典例分析 变式 已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x，则这个角的补角为 (180°－x)，余角为(90°－x). 根据题意，得(180°－x)－3(90°－x)＝10°， 解这个方程，得x＝50. 所以这个角的度数为50°. 在解决余角、补角的关系等问题时，一般先用未知数表示出所求角的度数，再列方程求解. 新知巩固 1．已知∠α＝73°．求∠α的补角和余角． 解：∠α的补角＝180°－73°＝107°． ∠α的余角＝90°－73°＝17°． 2．如果∠α是锐角，那么它的补角和余角之间有怎样的数量关系？ 解：180°－∠α－(90°－∠α)＝90°， 它的补角比它的余角大90°． 新知巩固 3．如图，∠AOC与∠COB互为余角，∠COB与∠BOD互为余角， ∠BOC＝52°．求∠AOD的大小． O A C B D 解：因为∠AOC与∠COB互为余角， ∠COB与∠BOD互为余角， 所以∠AOC＝∠BOD＝90°－∠BOC ＝90°－52°＝38°． 所以∠AOD＝∠AOC＋∠BOC＋∠BOD ＝38°＋52°＋38°＝128°． 新知巩固 4．如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠ 1＋∠ 2＝180°. 找出图中与∠2相等的角， 并说明理由． 解：∠3，∠4，∠6 . 理由如下： 因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠3＝∠2 . 因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°， 所以∠4＝∠2 . 因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°， 所以∠2＝∠6. 所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6 . O A C B D E F 1 3 4 5 2 6 能力提升 1.（1） 如图①，将一副直角三角尺的直角顶点重合在点O处. ① ∠AOD与∠BOC的数量关系是 　∠AOD＝∠BOC　； ② ∠AOC与∠BOD的数量关系是 　∠AOC＋∠BOD＝180°　. ∠AOD＝∠BOC　 ∠AOC＋∠BOD＝180°　 能力提升 （2） 若将这副直角三角尺按如图②所示的方式摆放，使三角尺的直角顶点重合在点O处．∠AOD与∠BOC有什么数量关系？∠AOC与∠BOD又有什么数量关系？请分别说明理由． 解：∠AOD＝∠BOC．理由如下： 因为∠AOB＝∠DOC＝90°， 所以∠AOB－∠BOD＝∠DOC－∠BOD， 即 ∠AOD＝∠BOC. 　 ∠AOC＋∠BOD＝180°．理由如下： 因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠BOD＝∠DOC－∠BOC， 所以∠AOC＋∠BOD＝∠AOB＋∠BOC＋（∠DOC－∠BOC） 　　　　　　　　　 ＝∠AOB＋∠BOC＋∠DOC－∠BOC ＝∠AOB＋∠DOC＝90°＋90°＝180°. 能力提升 2. 如图，点O为直线AB上一点， ∠AOC＝∠DOE＝90°. O A C B D E 1 2 3 4 (1) 图中互余的角有几对？各是哪些？ 解：(1) 因为点O为直线AB上一点, 所以∠BOC＋∠AOC＝180°. 因为∠AOC＝90°， 所以∠1＋∠2＝90°，∠BOC＝90°. 所以∠3＋∠4＝90°. 又因为∠DOE＝90°， 所以∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°. 所以图中互余的角有4对， 分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4. 能力提升 2. 如图，点O为直线AB上一点， ∠AOC＝∠DOE＝90°. (2)图中互补的角有几对？各是哪些？ 解：(2)由已知，得∠1＋∠BOD＝180°， ∠4＋∠AOE＝180°. 由(1)易知∠1＝∠3，∠2＝∠4 . 所以∠3＋∠BOD＝180°，∠2＋∠AOE＝180°. 又因为∠AOC＋∠BOC＝180°， ∠AOC＋∠DOE＝180°，∠DOE ＋∠BOC＝180°， 所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD， ∠2和∠AOE， ∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE和∠BOC . O A C B D E 1 2 3 4 课堂小结 补角、余角 定义 如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角，简称互补． 如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角，简称互余． 性质 同角（等角）的补角相等． 同角（等角）的余角相等． $$