第四章 图形的平移与旋转件课 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学上册

3　中心对称 知识点1 中心对称 1．定义：在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转______后， 能与另一个图形_____，那么就说这两个图形关于这个点成___ _______，这个点叫做_________． 2．性质： (1)成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过_________，且 被_________平分； 180° 重合 中 心对称 对称中心 对称中心 对称中心 (2)成中心对称的两个图形，其对应线段互相_____(或在同一条 直线上)且_____； (3)成中心对称的两个图形是_______． 平行 相等 全等形 知识点2 中心对称图形 1．定义：在平面内，把一个图形绕某个点旋转______，如果旋转 前后的图形互相_____，那么这个图形叫做_____________，这个 点叫它的_________． 【拓展】常见的中心对称图形：线段、平行四边形、长方形、菱形、 正方形、圆、边数为偶数的正多边形．除线段外，其他图形的中心 对称性会在后续学习中进一步了解． 2．性质：中心对称图形上的每一对对应点连成的线段都被_______ ___平分． 180° 重合 中心对称图形 对称中心 对称中 心 【注意】 1．利用这一性质可以确定中心对称图形的对称中心； 2．中心对称图形一定是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形． 知识点3 成中心对称与中心对称图形的区别 1．成中心对称是指___个图形之间的形状关系(全等)和位置关系． 2．中心对称图形是指___个具有特殊形状的图形． 两 一 知识点4 中心对称(图形)的作图 中心对称(图形)的作图题，关键是作出图形的各个关键点关于 对称中心的对应点，然后依次连接即可． 考点1 成中心对称的定义和性质 典例1 如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE. 求证：FD＝BE. 思路导析 由成中心对称的性质，得BO＝DO，AO＝CO，由等式的性质，得FO＝EO，再证明△FOD≌△EOB，由全等三角形的性质，得DF＝BE. 证明：∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AF＝CE， ∴AO－AF＝CO－CE， ∴FO＝EO， 变式 如图，△AGB与△CGD关于点G成中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AF＝CE. 求证：BF＝DE. 证明：∵△AGB与△CGD关于点G成中心对称， ∴△AGB≌△CGD， ∴AG＝CG，BG＝DG， ∵AF＝CE， ∴AF－EF＝CE－EF， ∴AE＝CF， ∵AG＝CG， ∴AG－AE＝CG－CF， 即EG＝FG， ∵∠BGF＝∠DGE，BG＝DG， ∴△BGF≌△DGE(SAS)， ∴BF＝DE. 考点2 成中心对称的作图 典例2 如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′. 思路导析 利用“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分”逐一找到各关键点的对应点，再连接各对应点即可． 解：如图所示， ①连接AO并延长到A′，使OA′＝OA，得到点A的对应点A′； ②同理，作出点B，C，D的对应点B′，C′，D′； ③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′即为所求作． 变式 画出与两个图形关于点O成中心对称的两个图形． 解：如图即为所求作． 考点3 中心对称图形 典例3 [2025·泰安期末]我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．如下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A．①③ B．②③④ C．②③ D．②④ 思路导析 根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行作答，结合选项所给图形进行判断即可． 变式 [2024·西藏]下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) 考点4 平面直角坐标系中的成中心对称 典例4 如图，在平面直角坐标系中，M(－2，3)，N(－3，1)，G(－1，2)，将△MNG向右平移4个单位长度，得到△M1N1G1. (1)画出△MNG关于x轴对称的△M2N2G2； (2)将△MNG绕原点O旋转180°，画出旋转后的△M3N3G3； (3)在△M1N1G1，△M2N2G2，△M3N3G3中， 与 成中心对称，对称中心的坐标是 ． 思路导析 (1)作点M，N，G关于x轴的对称点M2，N2，G2，顺次连接即可； (2)将M，N，G绕点O旋转180°，得到点M3，N3，G3，顺次连接即可； (3)画出△M1N1G1，由图象，得M1M3，N1N3和G1G3相交于点(2，0)，且被(2，0)平分，根据中心对称图形的定义即可解答． 解：(1)如图，△M2N2G2即为所求作； (2)如图，△M3N3G3即为所求作； (3)连接M1M3，N1N3和G1G3， 由图，得△M1N1G1与△M3N3G3呈中心对称， ∴对称中心为(2，0)． 故答案为：△M1N1G1，△M3N3G3，(2，0). 变式 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)，△ABC和△A1B1C1关于点D成中心对称． (1)画出对称中心D，点D的坐标为 ； (2)画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2并标明对应字母； (3)画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3并标明对应字母． 解：(1)如图，D点坐标(－3，－1)； 故答案为：(－3，－1)； (2)如图，△A2B2C2即为所求作； (3)如图，△A3B3C3即为所求作. 考点5 设计中心对称图形 典例5 用所给的四块长方形的瓷砖(如图1所示)铺设一个中心对称图形，请把你设计的图形画在如图2所示的10×10网格中(要求以点O为对称中心)． 思路导析 解决此类问题时，可将基本图形放置在固定位置，然后通过将基本图形适当旋转一定的角度，或对基本图形进行轴对称等变换，构造中心对称图形． 解：本题具有开放性，答案不唯一． 变式 图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 解：(1)如图1； (2)如图2； (3)如图3. 1．[2024·辽宁]纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 2．[2024·凉山州]点P(a，－3)关于原点对称的点是P′(2，b)，则a＋b的值是( ) A．1 B．－1 C．－5 D．5 3．如图所示，所有的小正方形都全等，在图中①②③④的某一 位置补上一个小正方形，使它与原来7个小正方形组成的图形是 中心对称图形，这个位置是___． ③ 4．如图，将△ABC绕点C(0，－1)旋转180°得到△A′B′C，若 点A的坐标为(－4，－3)，则点A′的坐标为_______． (4，1) 5．已知点A(a，b)和点B(m，n)关于原点对称，且a＋b＝2，则 m＋n的值等于____． －2 在△FOD和△EOB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(FO＝EO，,∠FOD＝∠EOB，,DO＝BO，)) ∴△FOD≌△EOB(SAS)， ∴DF＝BE. $$第四章 图形的平移与旋转 1　图形的平移 第1课时　平移的概念和性质 知识点1 平移 在平面内，将一个图形沿_________移动___________，图形的这 种变化称为平移． 某个方向 一定的距离 【注意】 平移具有两个要素：平移的方向和平移的距离． 知识点2 平移的性质 (1)平移只改变图形的_____，不改变图形的_____和_____，平 移前后的两个图形_____． (2)一个图形和它经过平移所得的图形中： ①对应点所连线段_____(或在同一条直线上)且_____； ②对应线段_____(或在同一条直线上)且_____； ③对应角_____； 位置 形状 大小 全等 平行 相等 平行 相等 相等 考点1 平移的概念 典例1 下列运动属于平移的是( ) A．荡秋千的小朋友 B．转动的电风扇叶片 C．正在上升的电梯 D．行驶的自行车后轮 思路导析 利用平移的定义进行判断即可． 变式 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是( ) 考点2 平移的性质 典例2 如图，△DEF可以看作是△ABC沿直线BC平移得到的．如果AB＝9，DG＝5，∠A＝80°，那么线段GE的长和∠EGC的角度分别是( ) A．2.5，80° B．4，80° C．4.5，80° D．5，80° 思路导析 直接根据平移的性质进行解答即可． 解析：∵△DEF是由△ABC平移得到的， ∴AB＝DE＝9，AB∥DE， ∵DG＝5，∠A＝80°， ∴GE＝DE－DG＝9－5＝4， ∠EGC＝∠A＝80°. 变式 [2024·山西模拟]如图，将△ABC沿直线AB的方向向右平移2 cm后到达△A′B′C′的位置，此时点A′与点B重合，若△A′B′C′的周长为12 cm，则四边形AB′C′C的周长为( ) A．14 cm B．15 cm C．16 cm D．17 cm 考点3 平移的应用 典例3 [2024·山亭区期末]有一块长为a m，宽为b m的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移1 m得到的，四条小路的面积从左至右依次用S1，S2，S3，S4表示，则关于四条小路面积大小的说法正确的是( ) A．S2最大 B．S3最大 C．S4最大 D．四个一样大 思路导析 根据平移可知，草地的面积都是长为(a－1) m，宽为b m的长方形的面积，所以小路的面积也相同． 变式 如图，一块长95 m、宽55 m的长方形土地，上面修了两 条小路，宽都是5 m，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是 ______m2 4 500 1．下列现象： ①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动 ②传送带上，瓶装饮料的移动 ③随风摆动的旗帜 ④钟摆的摆动 其中属于平移的是( ) A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2.[实践操作]四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是( ) 3．[2024·淮北期末]如图，浮山公园有一块长为12 m，宽为6 m的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为2 m的石子路(两条石子路的任何地方的水平宽度都是2 m)，剩余阴影区域种鲜花，则种植鲜花的面积为( ) A．24 m2 B．48 m2 C．56 m2 D．72 m2 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上，DC＝ 4 cm.将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别 落在边AB，BC上，则△EBF的周长为___cm. 13 5．如图，△ABC沿着直线l向右平移4 cm得到△A′B′C′. (1)若BC＝6 cm，则BC′＝ cm； (2)若∠A＝54°，∠A′C′B′＝70°，求∠ABC的度数． 解：(1)由平移，得BC＝B′C′＝6 cm， BB′＝CC′＝4 cm， 所以BC′＝6＋4＝10(cm)， 故答案为：10； (2)由平移的性质，得 ∠A′C′B′＝70°＝∠ACB， ∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－70°－54°＝56°. $$第2课时　旋转作图及应用 知识点1 旋转作图的关键 尺规作图前一定要先找出旋转三要素：旋转中心、旋转方向、 旋转角度，其中，熟练掌握尺规“作一个角等于已知角”是快 速作图的关键． 知识点2 旋转作图的方法 (1)分析题目要求，找出_________、_________、_______． (2)分析所作图形，找出构成图形的_______． (3)沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找到 各个关键点的_______． (4)顺次_____所作的各个关键点的对应点，并标上相应字母． (5)写出_____． 旋转中心 旋转方向 旋转角 关键点 对应点 连接 结论 考点1 简单的旋转作图 典例1 如图所示，O是△ABC外一点，以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转80°，作出经旋转变换后的图形． 思路导析 分别作出点A，B，C绕点O旋转后的对应点，顺次连接即可． 解：以点O为旋转中心，分别把A，B，C按逆时针方向旋转80°，得点A′，B′，C′；连接A′B′，B′C′，C′A′； 如图所示，△A′B′C′即为所求作． 变式 如图所示，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B，C，D对应点的位置以及旋转后的四边形． 解：连接OA，OB，OC，OD，OE；分别以OB，OC，OD为一边，作∠BOF，∠COG，∠DOH，使∠BOF＝∠COG＝∠DOH＝∠AOE；分别在射线OF，OG，OH上截取OF＝OB，OG＝OC，OH＝OD；连接EF，FG，GH，HE. ∴四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形． 考点2 平面直角坐标系中的旋转 典例2 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，2)， B(－3，6)，C(－5，3)． (1)将△ABC沿着x轴的方向平移得到△A1B1C1，当点C的对应点C1落在y轴上时，画出△A1B1C1的图形； (2)将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°后，点A1的对应点A2的坐标是 ． 思路导析 (1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解； (2)根据旋转变换的性质找出点A1的对应点A2即可求解． 解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作； (2)如图所示，点A1的对应点A2的坐标是(2，－3)， 故答案为：(2，－3). 变式 [2025·旺苍县一模]如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A(3，2)，B(1，3)． (1)将△ABO向下平移4个单位得到△A′B′C，请在图中作出△A′B′C，则点B的对应点B′坐标为 ； (2)将△AOB绕点O逆时针旋特90°后得到△A1OB1，请在图中作出△A1OB1； (3)求△A1OB1的面积． 解：(1)如图所示，△A′B′C即为所求作，点B′(1，－1)， 故答案为：(1，－1)； △A1OB1 考点3 利用旋转的性质确定旋转中心 典例3 如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得 到△A1B1C1，则旋转中心是点__． N 思路导析 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 解析：如图，连接CC1，BB1，分别作线段CC1，BB1的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点N，点N即为旋转中心． 变式 如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等． (1)直接写出点D的坐标 ； (2)将直线AB绕某一点旋转一定角度，使 其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标 为 ． 解：(1)(6，6)； (2)如图，旋转中心Q(4，2)或Q′(1，5)． 故答案为：(4，2)或(1，5). 1．如图，在平面直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P(3，2)逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是( ) A．(－2，3) B．(－3，2) C．(－2，4) D．(－3，3) 2．[2024·渝中区期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是( ) A．(－1，0) B．(0，－2) C．(0，－1) D．(1，－2) 3.[一线三垂直][2024·青岛]如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是( ) A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(1，2) 4．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A(1，0)，B(4，－3)， C(5，0)． (1)平移△ABC，若点C的对应点C1的坐标 为(7，4)，画出平移后的△A1B1C1； (2)将△ABC以点(0，0)为旋转中心旋转 180°，画出旋转后对应的△A2B2C2； (3)已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得 到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ． 解：(1)△A1B1C1如图所示： (2)△A2B2C2如图所示； (3)如图，将△A1B1C1绕(1，2)旋 转可以得到△A2B2C2. 故答案为：(1，2)． (2)如图所示，△A1OB1即为所求作； (3)S ＝3×3－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×1×3＝3.5. $$第3课时　旋转对称图形 知识点 旋转对称图形 定义：把一个图形绕着一个_____旋转一个_____后，与原图形重 合，这种图形叫做旋转对称图形，这个_____叫做旋转对称中心， 旋转的_____叫做旋转角． 说明：(1)旋转对称图形是针对一个图形自身而言的； 定点 角度 定点 角度 (2)一个旋转对称图形旋转的角度可能不止一个，如果一个旋 转对称图形由n个相同的基本图形组成，那么将这个图形旋转 ______的整数倍后均能与自身重合． 考点1 旋转对称图形 典例1 下列图形绕某点旋转90°后，能与原来图形重合的是( ) 思路导析 根据旋转对称图形的概念作答． 变式 如图所示，正方形ABCD和正方形EFGH边长相等，这个图案可以看成哪个“基本图案”通过旋转得到的？ 解：方案1：可以看成正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°前后两个图形 共同组成的． 方案2：可以看成线段AB绕点O按顺时针(或逆时针)分别旋转45°， 90°，135°，180°，225°，270°，315°前后所有图形共同组成的． 方案3：可以看成折线“ ”绕点O按顺时针(或逆时针)分别旋转45°，180°，225°前后所有图形共同组成的． 方案4：可以看成△APQ绕点O按顺时针(或逆时针)分别旋转45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°前后所有图形共同组成的．(答 案不唯一) 考点2 旋转的综合应用 典例2 如图所示的是两个边长为a的正方形，让一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，此时重叠部分的面积为 a2，现把其中一个正方形ABCD固定不动，另一个正方形EFGH绕中心E旋转，则在旋转过程中，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？请说明理由． 思路导析 连接CE，将△CEN绕点E按顺时针方向旋转90°，可将重叠部分的面积转化为△BCE的面积，从而得到结论． 解：不发生变化．理由如下： 如图，连接EC，EB，则S△EBC＝ a2. ∵∠BEC＝∠FEH＝90°， ∴∠BEC－∠FEC＝∠FEH－∠FEC， 即∠BEF＝∠CEH.又∵EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECD＝45°， ∴△EBM≌△ECN(ASA)， ∴S△EBM＝S△ECN， ∴S四边形EMCN＝S△EMC＋S△ECN＝S△EMC＋S△EBM＝S△EBC＝ a2. 变式 [手拉手模型][2024·四平期末]如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长． 1．利用图形旋转可以设计一些美丽的图案，下列图案，可以由一个“基本图形”连续旋转45°得到的是( ) 2.[手拉手模型][济南中考节选]如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE. (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F.如图2，当点F与点B重合时，探索线段AE，BE和CE的数量关系． 解：(1)BD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， (2)由(1)，得∠DAE＝60°，AD＝AE， BD＝CE， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE， ∴AE＝DE＝BE－BD＝BE－CE， 即AE＝BE－CE. eq \f(360°,n) eq \f(1,4) eq \f(1,4) eq \f(1,4) 解：由旋转得AB＝AD＝1， ∠BAD＝∠CAE＝90°. ∴BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝eq \r(2). ∴BD的长为eq \r(2). 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，)) ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝CE； $$第3课时　平移与坐标 知识点1 点的平移规律 (1)点P(x，y)沿x轴方向，向右平移k(k≥0)个单位，得点 P′(x＋k，y)；向左平移k(k≥0)个单位，得点P′(x－k，y)． (2)点P(x，y)沿y轴方向，向上平移k(k≥0)个单位，得点 P′(x，y＋k)；向下平移k(k≥0)个单位，得点P′(x，y－k)． 知识点2 图形的平移规律 一个图形依次沿着x轴、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由 原来的图形经过一次平移得到的． 考点1 点在坐标系中的平移 典例1 点M(m－2，m＋5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为( ) A．(－2，5) B．(－7，0) C．(2，9) D．(3，10) 思路导析 根据题意列方程即可得到结论． 解析：点M(m－2，m＋5)向左平移2个单位后恰好落在y轴上， ∴m－2－2＝0， ∴m＝4， ∴点M(2，9). 变式 [2024·海南]平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′(2，1)，则点A的坐标是( ) A．(5，1) B．(2，4) C．(－1，1) D．(2，－2) 考点2 图形在坐标系中的平移 典例2 如图，已知点A(1，0)，B(4，m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(－2，1)，D(a，n)，则m－n的值为( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 变式 △ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图． (1)分别写出下列各点的坐标：A ；A′ ； (2)若点P(a，b)是△ABC内部一点，则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为 ； (3)求△ABC的面积； (4)在x轴上存在点Q，使得△ABQ的面积 与△ABC的面积相等，请求出点Q的坐标． 1．[2024·长沙]在平面直角坐标系中，将点P(3，5)向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为( ) A．(1，5) B．(5，5) C．(3，3) D．(3，7) 2．[2024·淄博]如图，已知A，B两点的坐标分别为A(－3，1)， B(－1，3)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C(1，2)， 则点B的对应点D的坐标是_______． (3，4) 3．如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起， 将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置． 已知点A(1，5)，点B(1，1)，DG＝1，平移距离为2. (1)点G的坐标为_______； (2)阴影部分的面积S＝__． (3，4) 7 4．如图，△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)， C(1，2)，点M(m，n)为△ABC内任意一点． (1)点M经过平移后的对应点为M1(m－5，n＋1)，将△ABC作同样 的平移得到△A1B1C1，请画出三角形A1B1C1，并分别写出A1，B1， C1三点的坐标； (2)求△A1B1C1的面积． 解：(1)由点M经过平移后的对应点为M1(m－5，n＋1)可知， 平移后对应点横坐标减5，纵坐标加1， ∴A1(－1，4)，B1(－2，2)，C1(－4，3)，画出△A1B1C1如图所示： 解：(1)(1，3)，(－3，1)； (2)由图知△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位可得 到△A′B′C′， 则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为(a－4，b－2)， 故答案为：(a－4，b－2)； (3)S△ABC＝2×3－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×1×1－eq \f(1,2)×2×2＝2； (4)设Q(x，0)，则BQ＝|2－x|， ∴eq \f(1,2)·|2－x|·3＝2， 解得x＝eq \f(2,3)或eq \f(10,3)， ∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，0)). (2)S△A1B1C1＝2×3－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×1×3＝2.5. $$第2课时　平移作图 知识点1 平移作图的关键 尺规作图前一定要先找出平移二要素：平移方向、平移距离， 其中，熟练掌握尺规“作一条线段等于已知线段”是快速作 图的关键． 知识点2 平移作图的步骤与方法 (1)分析题目要求，找出平移的_____和平移的_____； (2)分析所作的图形，找出构成图形的_______； (3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个_______； (4)连接所作的各个关键点的对应点，并标上相应_____； (5)写出_____(方格纸作图可以略写结论)． 方向 距离 关键点 关键点 字母 结论 考点1 已知原图和一组对应点(或边)作出平移后的图形 典例1 如图1，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D的位置，作出平移后的三角形． 【方法技巧】 平移作图的一般步骤：①找：根据题目要求，寻找图形的平移方向与平移距离；②定：确定原图形上的关键点；③移：按照平移的方向和距离移动各关键点，得到各关键点的对应点；④连：按照原图形的形状，顺次连接各对应点，得到平移后的图形． 解：如图，过点B，C分别作线段BE，CF，使它们与线段AD平行且相等，连接DE，DF，EF，则△DEF就是△ABC平移后的图形． 变式 如图，经过平移，五角星的边AB移到了点A′B′处，作出平移后的图形． 解：在五角星上找出除A，B外的3个关键点(如图)，过除点A，B外的其余3个点按线段AA′的方向作3条与线段AA′等长且平行的线段，得到3个对应点，将这3个对应点，加上点A′和B′，按原图形的连接方式连接，即可得到五角星平移后的图形． 考点2 已知原图和平移方向、平移距离作出平移后的图形 典例2 [2025·盐城期中]在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点位置如图所示． (1)将△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E，F分别是B，C的对应点，请画出平移后的△DEF； (2)若连接AD，BE，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (3)如果点P是线段AB的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．(利用网格点和直尺画图)． 思路导析 (1)先确定点D，E，F的位置，然后连线即可； (2)根据平移的性质解答即可； (3)根据网格特点确定即可． 解：(1)如图1，△DEF即为所求， (2)如图2， 由平移，得AD＝BE，AD∥BE. 故答案为：AD＝BE，AD∥BE； (3)∵点P为AB中点， ∴点Q为DE中点， 如图3，点Q即为所求作. 变式 [教材P82例3改编]如图，将图中字母E按箭头所指方向平移4 cm，画出平移后的图形． 　 解：如图， 考点3 已知原图和一个不确定的对应点作出平移后的图形 典例3 如图，线段AB经过平移有一端点到达点C，面出线段AB平移后的线段CD. 思路导析 平移是由平移的方向和距离决定的，本题中未指明哪一个端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况，即点A平移到点C或点B平移到点C. 解：如图，有两种情况：当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，线段CD即为所求作；当点B平移到点C时，则点D′在点C的上方，线段CD′即为所求作． 变式 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，1)，将线段AB平移，使其一个端点到C(3，2)，请画出平移后的图形． 解：①如图1，当点A平移到点C时，点B′C即为所求作； ②如图2，当点B平移到点C时，A′C即为所求作. 1．下列平移作图不正确的是( ) 2．将字母“N”沿着某一方向平移一定的距离的作图中，第一步 是在字母上找出关键的__个点． 3．如图，在5×5的网格中，△CDE可以看作是△ABO经过平移得 到的，写出一种由△ABO得到△CDE的过程：__________________ ________________________________． 4 (示例)向右平移3个 单位长度，再向上平移1个单位长度 4．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上， 把△DEF先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与△ABC拼合成一 个四边形，那么x＋y＝________． 4或5或6 5．如图所示，将点A移至点A′，作出四边形ABCD平移后的图形． 解：过点B，C，D分别作BB′，CC′，DD′，使得它们与线段AA′平行且相等，连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，如图所示，四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD平移后的图形． 6．[2024·东坡区期末]在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． (1)请画出平移后的△DEF； (2)连接AD，CF，则这两条线段之间的 关系是 ； (3)求△ABC的面积． 解：(1)如图，△DEF即为所求作； 7．在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点，请用无刻度的直尺画图．已知A，B为格点，把线段AB先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段CD(其中点A与点C对应)． (1)画出平移后的线段CD； (2)求出线段AB在两次平移中一共扫过的面积； (3)连接AC，BC，BD，在直线ST上画点M， 使∠MAC＝∠CBD(画出一种即可)； (4)图中使三角形ABP面积为6的格点P共有 个． 解：(1)如图，线段CD即为所求作； (2)依题意，线段AB在两次平移中一共扫过的面积为S＝ S四边形AC′D′B＋S四边形C′D′DC＝3×2＋3×3＝15. 故线段AB在两次平移中一共扫过的面积为15； (3)点M即为所求作(为AC″和ST交点)； (4)如图，一共5个点符合要求． 故答案为：5. (2)AD∥CF，AD＝CF； (3)S△ABC＝4×4－eq \f(1,2)×4×1－eq \f(1,2)×2×3－eq \f(1,2)×4×2＝7. ∴△ABC的面积为7. $$4　图形变化的简单应用 知识点1 图形的全等变换 1．平移 2．旋转 3．对称 【注意】 (1)平移、旋转、轴对称、中心对称都是只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小，它们的运动方式不同；(2)经过平移、旋转、轴对称、中心对称后，变化前后的两图形全等． 知识点2 图案的欣赏与分析 要分析图形的变化情况，首先需要找准“基本图形”，然后叙述清楚该“基本图形”是通过哪一种变换(平移、旋转、对称)得到，各个要素要叙述清楚全面． 考点1 平移、旋转、轴对称的简单应用 典例1 观察下列各图形，然后填空． 在图1中，左边的图形可以经过_______________变换得到右边的 图形；在图2中，左边的图形可以经过_____________________变 换得到右边的图形；在图3中，左边的图形可以经过_____变换得 到右边的图形．(填“平移”“旋转”或“轴对称”) 轴对称(或旋转) 平移(或轴对称或旋转) 旋转 思路导析 轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，旋转是绕某个点按某个方向旋转一定角度得到新图形，平移是沿一定方向移动一定距离得到新图形．据此逐一解答即可． 变式 如图，图形①经过_____变换变成图形②，图形②经过___ _____变换变成图形③，图形③经过_______变换变成图形④， 图形④经过_____变换，可以再变成图形①.(填“平移”“旋转” 或“轴对称”) 平移 轴 对称 轴对称 旋转 考点2 分析图案的形成过程 典例2 观察如图所示的图案，你知道它们是怎样形成的吗？ 思路导析 对图案的分析，先从整个图案着手，分析图案的组成一共有几种“基本图案”，再从细处思考每种“基本图案”是怎样进行变化的． 解：(示例，答出一种方案即可)图1中的图案可以看作以一个“弯拐”为“基本图案”，绕图案中心，按同一方向依次旋转60°，120°，180°，240°，300°，前后的图形共同形成的； 图2中的图案可以看作以一个“菱形”为“基本图案”，连续平移两次，前后的图形共同形成的；也可以看作以图案左半部分为“基本图案”，中间“菱形”的较长对角线所在的直线为对称轴，经过一次轴对称变化，前后的图形共同形成的； 图3中的图案可以看作以整个图案的六分之一为“基本图案”，按同一方向依次旋转60°，120°，180°，240°，300°，前后的图形共同形成的；也可以看作以整个图案的三分之一为“基本图案”，按同一方向依次旋转120°，240°，前后的图形共同形成的；也可以看作以整个图案的二分之一为“基本图案”，按同一方向旋转180°，前后的图形共同形成的；也可以看作以整个图案的二分之一为“基本图案”，经过一次轴对称变化，前后的图形共同形成的. 变式 观察如图所示的各个图案，你知道它们是怎样形成的吗？ 解：(示例，写出一种方案即可)图1中的图案可以看成以其中一个“树枝”为“基本图案”，绕着图案的中心位置，按照同一方向旋转60°，120°，180°，240°，300°前后的图案共同组成的； 图2中的图案可由中间的一个“弧线”经过左右平移而得到的； 图3中的图案可以看成是整个图案的十二分之一绕中心位置，按照同一方向旋转30°，60°，90°，120°，150°，180°，210°，240°，270°，300°，330°前后的图案共同组成的； 图4中的图案可看成以整个图案的五分之一为“基本图案”，绕图案的中心位置，按逆时针方向旋转72°，144°，216°，288°前后的图案共同组成的； 图5中的图案可以看成以整个图案的四分之一为“基本图案”，绕着中心位置，按逆时针方向旋转90°，180°，270°前后的图案共同组成的. 考点3 设计图案 典例3 阅读理解，并解答问题： 观察发现：如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决：用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 思路导析 根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 解：(1)如图3所示(答案不唯一)； (2)如图4所示(答案不唯一)． 变式 图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是两种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴(在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉)． 解：所画图形如图1，图2所示： 1．[2023·郴州]下列图形中，能由图形a通过平移得到的 是( ) 2．有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为( ) A．6 B．9 C．12 D．15 3．[2024·宿豫区期末]窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到，下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是( ) 4．[2024·大庆期末]请你根据给出的图形，利用图形的运动设计一幅美丽的图案． 解：如图所示(答案不唯一)： 5．[2025·南京期末]平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1，2中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次_____________得 到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次_____得到(填“平移” “旋转”或“轴对称”)； (2)如图2，梯形Ⅴ可以看成由梯形Ⅳ经过怎样的图形运动得到？ 下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转； ④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是_______． 轴对称或旋转 旋转 ①③④ 6．数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得3个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出3种不同的设计图形．(规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形) 解：如图所示： 7．[2025·泰安期末改编]在平面直角坐标系中，四边形ABCD为 正方形，A(0，2)，B(－2，0)，C(0，－2)，D(2，0)，如图． (1)把边AB绕某点旋转到与CD重合，怎么转？ (2)将边AB平移到与CD重合，怎么平移？ 解：(1)∵边AB绕某点旋转到与CD重合，A(0，2)，C(0，－2)， ∴线段AB绕点O顺时针旋转180°与线段CD重合； (2)∵边AB平移到与CD重合，A(0，2)，D(2，0)， ∴把线段AB先向右平移2个单位，再向下平移2个单位与线段CD 重合. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(轴对称,中心对称)) $$2　图形的旋转 第1课时　旋转的概念和性质 知识点1 旋转 在平面内，将一个图形绕_________按_________转动_________， 图形的这种变化称为旋转，这个定点称为_________，转动的角 称为_______． 【注意】 旋转具有三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度． 一个定点 某个方向 一个角度 旋转中心 旋转角 知识点2 旋转的性质 (1)旋转只改变图形的_____，不改变图形的_____和_____，旋 转前后的两个图形_____． (2)一个图形和它经过旋转所得到的图形中： ①对应点到旋转中心的距离_____． ②任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于_______． ③对应线段_____，对应角_____． 位置 形状 大小 全等 相等 旋转角 相等 相等 考点1 旋转的概念 典例1 下列现象中：①地下水位逐年下降 ②传送带的移动　 ③方向盘的转动　④水龙头开关的转动　⑤钟摆的运动　⑥荡 秋千运动．其中属于旋转的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 思路导析 根据旋转的定义对各项分析即可． 变式 下列图形中，不能由如图所示图形在同一平面内经过旋转得到的是( ) 考点2 旋转的性质 典例2 [手拉手模型]如图，在△ABC中，AC＝BC，点P是AB边上任意一点，将△ACP绕点C逆时针旋转得到△BCQ，点P的对应点为点Q，连接PQ，若∠CPQ＝70°，则∠CBQ的度数是( ) A．80° B．75° C．70° D．65° 思路导析 首先利用旋转的性质求出∠PCQ，∠ACB，然后利用等腰三角形的性质求出∠A，最后利用旋转的性质即可求解． 解析：∵△ACP绕点C逆时针旋转得到△BCQ， ∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，∠A＝∠QBC， ∴∠CPQ＝∠CQP＝70°，∠ACB＝∠PCQ， ∴∠PCQ＝180°－∠CPQ－∠CQP＝40°， ∴∠ACB＝40°， ∴∠A＝∠CBQ＝70°. 变式1 [手拉手模型][2024·无锡]如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为( ) A．65° B．70° C．80° D．85° 变式2 [手拉手模型][2024·富县期末]如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝7，AC＝5，BC＝3，则BE的长为( ) A．7 B．5 C．4 D．3 考点3 旋转的应用 典例3 生活中有很多旋转现象，如钟表上的指针就是做旋转运动的，以时针和分针同时指向12时作为起点，当钟表显示2：15时，时针转了多少度？分针转了多少度？此时时针与分针的夹角是多少度？ 解：当钟表显示2点15分时，时针转了30°×2＋0.5°×15＝67.5°； 分针转了6°×15＝90°； 分针与时针的夹角为90°－67.5°＝22.5°. 变式 [2023秋·广阳区期末]李明家有一个时钟，假期间，某天上午他8点整出门锻炼，回家时发现时针刚好旋转了60°，那么李明回家的时间是( ) A．9点整 B．9点半 C．10点整 D．10点半 考点4 利用旋转的性质进行综合计算 典例4 [手拉手模型]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连接BB′. (1)说明△CAA′为等边三角形； (2)求△A′BB′的周长． 思路导析 (1)根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′，又因为∠A＝60°，则可判断△CAA′为等边三角形； (2)推出∠ACA′＝60°，证明A′B＝A′C＝1，求出AB，BC，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长，即可求解． 解：(1)∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上， ∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′， ∵CA＝CA′，∠A＝60°， ∴△CAA′为等边三角形； 变式 如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连接CQ. (1)求证：AP＝CQ； (2)若∠APB＝150°，PA＝3，PB＝4，求PC长． 解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝CB， ∴∠ABP＋∠PBC＝60°. 又∵∠PBQ＝∠PBC＋∠CBQ＝60°， ∴∠ABP＝∠CBQ. 1．如图是风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片OAB绕点O顺时针旋转60°后到达OA′B′处，则下列选项错误的是( ) A．AB＝A′B′ B．OA＝OA′ C．∠BOB′＝60° D．AB⊥A′B′ 2．如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，则下列角一定等于60°的是( ) A．∠CON B．∠AON C．∠AOC D．∠AOM 3．[2024·鲤城区期末]如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转32°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝38°，则∠E的度数是( ) A．45° B．42° C．36° D．32° 4．[2024·青山湖区期末]如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶 点O按顺时针方向旋转α(0<α<180)度后得到△COD，若∠AOD＝ 120°，则旋转角α＝____°. 30 5.[手拉手模型]如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕 点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE. (1)求证：∠AEB＝∠ADC； (2)连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数． 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴∠BAD＋∠EAB＝∠BAD＋∠DAC， ∴∠EAB＝∠DAC， (2)如图，连接DE， ∵∠DAE＝60°， AE＝AD， ∴△EAD为等边三角形， ∴∠AED＝60°， 又∵∠AEB＝∠ADC＝130°， ∴∠BED＝130°－60°＝70°. 6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D，E分别为AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针方向旋转得到△CD′E′(如图2)，使直线D′E′恰好过点B，连接AD′. 判断AD′与BE′的关系，并说明理由． 解：AD′与BE′的关系为AD′＝BE′且AD′⊥BE′.理由如下： ∵AC＝BC，D，E分别为AC，BC的中点， ∴CD＝CE，∴CD′＝CE′， ∵∠C＝90°，即∠BCA＝∠D′CE′＝90°， ∴∠ACD′＝∠BCE′， ∴△CD′A≌△CE′B(SAS)， ∴∠CE′B＝∠CD′A，AD′＝BE′. ∵∠ACB＝∠D′CE′＝90°，CD′＝CE′，AC＝BC， ∴∠CD′E′＝∠CE′D′＝∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠CE′B＝∠CD′A＝135°， ∴∠AD′B＝135°－45°＝90°， ∴AD′⊥BD′，即AD′⊥BE′. 思路导析 钟表指针以指向12时为起点： 时针12小时旋转一周，也就是12小时旋转360°，每小时旋转eq \f(360°,12)＝30°，也就是时针60分钟转了30°，所以每分钟转eq \f(30°,60)＝0.5°，然后根据题意计算时针旋转的角度；分针每小时旋转1周，也就是60分钟旋转360°，即每分钟旋转eq \f(360°,60)＝6°，然后根据题意计算分针旋转的角度；根据上述角度计算分针和时针的夹角即可． (2)∵△CAA′为等边三角形， ∴∠ACA′＝60°，AA′＝AC＝1， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠A′CB＝∠A′BC＝30°， ∴A′B＝A′C＝1， ∴AB＝2，BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(3)， ∵CB＝CB′，∠A′CB′＝∠ACB＝90°， ∴∠BCB′＝60°， ∴△CBB′为等边三角形， ∴BB′＝CB＝eq \r(3)， ∴△A′BB′的周长为A′B＋A′B′＋BB′＝2＋1＋eq \r(3)＝3＋eq \r(3). 在△ABP和△CBQ中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABP＝∠CBQ，,BP＝BQ，)) ∴△ABP≌△CBQ(SAS)， ∴AP＝CQ； (2)连接PQ，如图所示． ∵△ABP≌△CBQ， ∴∠BQC＝∠BPA＝150°. ∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°， ∴△PBQ为等边三角形， ∴PQ＝PB＝4，∠BQP＝60°， ∴∠PQC＝90°. 在Rt△PQC中，∠PQC＝90°，PQ＝4，CQ＝AP＝3， ∴PC＝eq \r(PQ2＋CQ2)＝5. 在△EAB和△DAC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠EAB＝∠DAC，,AE＝AD，)) ∴△EAB≌△DAC(SAS)， ∴∠AEB＝∠ADC； $$