第五章二元一次方程组（单元测试） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第五章二元一次方程组（单元测试） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．已知、满足方程组，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺?若设绳子长x尺，木长y尺，则所列方程组正确的是 (　　) A． B． C． D． 4．用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为100；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为81；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为​（　　） A．24 B．32 C．49 D．64 5．如图，直线 和直线 相交于点 ，则方程组 的解是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化.现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（　　） A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4 7．关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图，分别用火柴棍连续搭建等边三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如果搭建等边三角形和正六边形共用了2018根火柴，并且等边三角形的个数比正六边形的个数多7，那么连续搭建的等边三角形的个数是（　　） A．291 B．292 C．293 D．294 二、填空题 9．是方程的解，则　 　． 10．已知方程组 与 有相同的解，则 的值为　 　. 11．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组 的解是　 　． 12．如图，在长为20，宽为16的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　. 13．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何？” 设鸡x只，兔y只，可列方程组为　 　. 14．某公司定点到“好客超市”采购A、B两种饮料，8月份采购24件A饮料和32件B饮料共花费了3480元，9月份采购32件A饮料和24件B饮料共花费3240元，10月份该超市A饮料和B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，公司根据实际需要购买了原价或打折的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料件数是10月份购买所有A饮料和B饮料总件数的，该公司10月份一共购买了A、B饮料　 　 件. 三、解答题 15．解方程组 （1）； （2）； 16．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得．③……第一步 ③②，得．……第二步 ．……第三步 将代入①，得．……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 填空： （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做　 　法；以上求解步骤中，第一步的依据是　 　． （2）第　 　步开始出现错误． （3）直接写出该方程组的正确解：　 　． 17．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． （1）二元一次方程的“关联系数”为______． （2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 18．本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每一名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2700元，票价信息如下： 地点 票价 历史博物馆 10元/人 民俗展览馆 20元/人 （1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？ （2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？ 19．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表： 　 价格（万元/台） 节省的油量（万升/年） 2.4 2 经调查，购买一台型车比购买一台型车多20万元，购买2台型车比购买3台型车少60万元． （1）请求出和； （2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元? 20．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解： 方程组， 将①代入②得：3x+2x=15， 解得：x=3， ∴y=2×3=6， ∴方程组的解是， 故答案为：C. 【分析】利用代入消元法解方程组即可。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：， ①+②得3x+3y=3， ∴x+y=1. 故答案为：A. 【分析】将方程组中的两个方程相加可得3x+3y=3，再根据等式的性质，方程两边同时除以3即可求出x+y得值. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：设绳子长x尺，木长y尺， 由题意可列方程组：， 故答案为：C. 【分析】 根据题意找出等量关系，列方程组求解即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵图1中阴影部分的面积是100， ∴阴影正方形的边长为10， 同理图2中阴影正方形的边长为9， 设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得， 解得， ∴小长方形的长为11，宽为1； 又图3中阴影正方形的边长为：x-3y=11-3-8， ∴图3中阴影正方形的面积为：82=64. 故答案为：D. 【分析】根据正方形的面积公式结合图1与图2中阴影部分的面积可求出两个图形中阴影部分正方形的边长，进而根据图1中阴影正方形的边长=小长方形的长-宽及图2中阴影正方形的边长=小长方形的长-2倍宽建立方程组，求解可得小长方形的长与宽，从而可算出出图3阴影部分正方形的边长，求出面积. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵直线y＝kx＋b和y＝mx＋n相交于点（3，−2）， ∴关于x、y的方程组 的解为 ， 故答案为：A. 【分析】根据两一次函数图象的交点即为组成的二元一次方程组的解进行解答. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可知，， 解得：，故D正确. 故答案为：D. 【分析】根据平行四边形的面积计算方法及两条小路的面积相等可列方程20x=30y，根据绿地面积是小路面积的4倍可列方程30×20-30y=4×30y，联立两方程，求解即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：把x=1代入方程组，可得 ，解得y=2， 将y=2代入1+my=0中，得m= ， 故答案为：A. 【分析】根据方程组的解的概念，将x=1代入x+y=3中可得y的值，然后将x、y的值代入x+my=0中进行计算可得m的值. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：设连续搭建等边三角形x个，连续搭建正六边形y个， 由题意，得 ， 解得 . 故答案为：C. 【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x＋1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y＋1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 9．【答案】2 【解析】【解答】已知是方程的解， 将代入方程中，得到，即， 解得：， 故答案为：2． 【分析】 本题考查二元一次方程的解的概念以及一元一次方程的求解．把已知的方程的解代入ax+y=1中，得到关于的一元一次方程，再求解该方程得出的值 10．【答案】144 【解析】【解答】解：∵方程组 与 有相同的解 ∴ ∴ ∴将 代入 中得： ∴ ∴ . 故答案为：144. 【分析】根据两个方程组有相同的解可将两个方程组中已知的两个方程组成一个二元一次方程组，解之可得x、y的值，再把x、y的值代入两个方程组中含有m、n两个常数的方程组成一个关于m、n的二元一次方程组，解之可求得m、n的值，代入所求代数式计算即可求解. 11．【答案】 【解析】【解答】解：因为函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（1，1）， 所以方程组 的解是 ． 故答案为 ． 【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，结合函数图象即可求出答案. 12．【答案】80 【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为20×16-5×12×4=80. 故答案为：80. 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，由图可知小长方形的长=3倍宽，2倍小长方形的宽+小长方形的长=大长方形的长，据此建立方程组，求解可得x、y的值，最后根据割补法，即可求出阴影部分的面积. 13．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意有： ， 故答案为： . 【分析】若设鸡有x只，兔有y只，根据“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足”，即可列出关于x和y的二元一次方程组. 14．【答案】60 【解析】【解答】解：设1件A饮料x元，1件B饮料y元， 由题意得：， 解得：， 即1件A饮料45元，1件B饮料75元， 设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为件， 打折的A饮料价格为：（元），打折的B饮料价格为：（元）， 即打折的B饮料价格与A饮料原价相同， 设原价B饮料为b件，则打折的B饮料与原价A饮料共有件， 此时， 即， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b均为正整数， ∴或或， ∵， ∴， ∴公司10月份一共购买了A、B饮料60件， 故答案为：60. 【分析】设1件A饮料x元，1件B饮料y元，根据题中的相等关系“ 24件A饮料的费用+32件B饮料的费用=3480，32件A饮料的费用+24件B饮料的费用=3240 ”列关于x、y的二元一次方程组，解之求得x、y的值；设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为a件，计算可知打折的B饮料价格与A饮料原价相同，设原价B饮料为b件，根据题中的不等关系“原价A饮料的件数-原价B饮料的件数0”可得关于a、b的不等式，由题意列关于a、b的二元一次方程，解方程可求解. 15．【答案】（1）解：， ①+②，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， ①×4-②×3，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为. 【解析】【分析】（1）用“加减消元法”解二元一次方程组，①+②求出x的值，然后将x的值代入①求出y的值； （2）用“加减消元法”解二元一次方程组，①×4-②×3求出y的值，然后将y的值代入①求出x的值. （1）解：， 得，， 解得：， 把代入②得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得：， 把代入①得，， 解得：， 所以方程组的解为． 16．【答案】（1）加减消元；等式的基本性质 （2）二 （3） 【解析】【解答】（1）这种解法叫做加减代入消元法，第一步的依据是：等式的基本性质. 故答案为：加减消元；等式的基本性质； （2）第二步开始出现错误， 故答案为：二 （3）正确解题步骤： ①，得．③ ③②，得． 将代入①，得． 所以，原方程组的解为. 故答案为：. 【分析】（1）（2）知道代入消元法和加减消元法的区别即可正确解决问题；等式的基本性质使方程左右两边同时变形；（3）正确解方程即知出问题的地方.注意两式相减时的顺序问题. 17．【答案】（1） （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 【解析】【解答】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； 【分析】（1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，根据二元一次方程解的定义“使二元一次方程左边等于右边的一对未知数的值就是二元一次方程的解”，据此把代入，得出，再求出该二元一次方程的正整数解即可. （1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 18．【答案】（1）解：设参观历史博物馆的有人，参观民俗展览馆的有人， 由题意可得：， 解得， 答：参观历史博物馆的有30人，则参观民俗展览馆的有120人． （2）（元． 答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款1200元． 【解析】【分析】（1）设参观历史博物馆的有人，参观民俗展览馆的有人，再列方程组求出，最后计算求解即可。 （2）根据原来的钱数参观历史博物馆的钱数= 节省票款的钱数计算求解即可。 （1）解：（1）设参观历史博物馆的有人，参观民俗展览馆的有人，依题意，得 ， 解得． 答：参观历史博物馆的有30人，则参观民俗展览馆的有120人． （2）解：（元． 答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款1200元． 19．【答案】解：（1）根据题意得：解得： （2）设A型车购买x台，则B型车购买（10-x）台 根据题意得：2.4x+2（10-x）=22.4 解得：x=6 ∴10-x=4 ∴120×6+100×4=1120（万元） 答：购买这批混合动力公交车需要1120万元． 【解析】【分析】（1）根据题意列关于a、b的二元一次方程组解答即可； （2）设A型车购买x台，利用总节油量=2.4×A型车购买的数量+2×B型车购买的数量得到一元一次方程，求出x值，然后利用总费用=120×A型车购买的数量+100×B型车购买的数量计算总费用即可． 20．【答案】（1）解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车， 根据题意，得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． （2）解： 设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位， 则， 解得整数解为，，， 当时，费用：， 当时，费用：， 当时，费用： ， 由（1）得只租用45座客车，则需要14辆，费用：， 只租用60座客车，则需要10辆，费用：， ， 租用12辆45座客车，1辆60座客车费用最省． 【解析】【分析】（1）设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车，根据题意列出方程组，再求解即可； （2）设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，列出方程，求出，，，再分别求出每一种的费用并比较大小即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$