精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题

2025年8月高一数学入学考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把称为取整函数，表示不超过的最大整数．那么“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为,则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，P是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为a，点A，B均在y轴上，且.若的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知集合，则下列表示方法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 2025年是我国农历乙巳年，为属蛇之年.春节期间，大小媒体在各种刊物上呈现了大量以蛇为主题的文案，如“金蛇献瑞，蛇舞新春”.下列关于蛇的年画图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是______. 13. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 14. 设A，B是非空集合，定义．已知集合 ， ，则AB＝________. 四、解答题（共80分） 15. 某校为了了解学生对课外活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，将学生参与的课外活动分为A，B，C，D四类（每个学生必须参与，且只参与其中一类），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 请根据以上信息，解答下列问题 （1）本次调查抽取的学生人数为______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中B类课外活动所对应的圆心角度数； （4）若该校有学生1500人，估计该校参与D类课外活动的学生人数. 16. 已知函数满足，函数满足． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的值域． 17. 已知不等式的解集为． （1）求，的值，并求不等式的解集； （2）解关于的不等式（，且）． 18. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 19. 运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶150千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时20元. （1）求这次行车总费用（单位：元）关于的表达式； （2）当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年8月高一数学入学考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用补集运算直接得到结果. 【详解】由，，则. 故选：D 2. 通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把称为取整函数，表示不超过的最大整数．那么“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义函数的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】若，设，则，， 所以，则，即充分性成立； 若，令，满足，但，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 故选：C 5. 已知函数的定义域为,则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域的定义，列不等式组，即可求得. 【详解】因为函数的定义域为,所以函数的定义域为. 要求的定义域，只需，解得：. 故选：A. 6. 已知：，：，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简p，根据充分不必要条件的定义列不等式求的范围. 【详解】由可得 ∴ ： 又p是q的充分不必要条件，且q：， ∴ ∴ 故选：A. 7. 如图，P是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为a，点A，B均在y轴上，且.若的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】令得，结合图形根据的面积建立方程，求解即得. 【详解】在中，令得，即， 又，的面积为，解得. 故选：D 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出分段函数的图象，然后判断函数的单调性和最值，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图象如图所示： 由的对称轴是，且， 当时，是增函数， 且，所以， 所以，又，故． 故选：A． 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知集合，则下列表示方法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据集合与集合直接关系的符号表示，以及元素与集合之间的符号表示，即可判定出结果. 【详解】因为集合， 则，即A选项正确；集合中元素都是正整数，则，即C正确； “”只能表示元素与集合之间关系，故B错； “”只能表示集合之间的关系，故D错. 故选：AC. 10. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 11. 2025年是我国农历乙巳年，为属蛇之年.春节期间，大小媒体在各种刊物上呈现了大量以蛇为主题的文案，如“金蛇献瑞，蛇舞新春”.下列关于蛇的年画图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义即可求解. 【详解】AD选项，既没有对称轴，也没有对称中心； B选项，有对称中心； C选项，有对称轴，无对称中心； 故选：ACD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的意义列出不等式，求解即得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为： 13. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】#### 【解析】 【分析】先由题意得到“，”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果. 【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题. 当时，集合，符合. 当时，因为， 所以由，，得对于任意恒成立， 又，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 设A，B是非空集合，定义．已知集合 ， ，则AB＝________. 【答案】{0}∪ [2，＋∞) 【解析】 【详解】由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)． 四、解答题（共80分） 15. 某校为了了解学生对课外活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，将学生参与的课外活动分为A，B，C，D四类（每个学生必须参与，且只参与其中一类），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 请根据以上信息，解答下列问题 （1）本次调查抽取的学生人数为______； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中B类课外活动所对应的圆心角度数； （4）若该校有学生1500人，估计该校参与D类课外活动的学生人数. 【答案】（1）200 （2）作图见解析 （3） （4）300 【解析】 【分析】（1）根据题中扇形统计图和条形统计图可知参与A类课外活动的学生人数与所占比例，即可求得调查抽取的总人数； （2）由（1）可求出参与C类课外活动的学生人数，即可补全条形统计图. （3）由条形统计图可知参与B类课外活动的学生人数，求出其所占比例，即可求解； （4）由条形统计图可知参与D类课外活动的学生人数，求出其所占比例，乘以该校人数即可求解 【小问1详解】 由题可知参与A类课外活动的学生共20人，占比为，所以总人数为， 即本次调查抽取的学生人数为200. 【小问2详解】 由（1）可知参与C类课外活动的学生人数为：， 补全的条形统计图如图所示. 【小问3详解】 参加B类课外活动的学生所占比例为， 所以在扇形统计图中，B类课外活动对应圆心角的度数是. 【小问4详解】 由题意得参加D类课外活动的学生所占比例为， 故估计该校参与D类课外活动的学生人数为. 答：估计该校参与D类课外活动的学生人数为300. 16. 已知函数满足，函数满足． （1）求函数和的解析式； （2）求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【小问1详解】 令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. 【小问2详解】 因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 17. 已知不等式的解集为． （1）求，的值，并求不等式的解集； （2）解关于的不等式（，且）． 【答案】(1)，R；(2) 当时，，当时，. 【解析】 【分析】(1)由不等式的解集，求出m，n，再代入求解即得； (2)利用(1)的结论将给定不等式化为，再分类求解即可作答. 【详解】(1)因不等式的解集为，则，且，2是方程的两个根， 于是得，解得，所以， 不等式化为：，即恒成立， 所以不等式的解集为R； (2)由(1)知关于的不等式化为：，即， 而，当时，，解得， 当时，原不等式化为：，而，解得， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 18. . （1）若对任意的都有成立，求的范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 【解析】 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【小问1详解】 即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 【小问2详解】 即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 19. 运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶150千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升5元，而卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时20元. （1）求这次行车总费用（单位：元）关于的表达式； （2）当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值. 【答案】（1）；（2）60，225. 【解析】 【分析】（1）先求出货车行驶的时间，再根据汽油的价格是每升5元，卡车每小时耗油升和司机的工资每小时20元求解. （2）由（1）得到，利用基本不等式求解. 【详解】（1）货车行驶的时间为小时，由题意得： ， ； （2）， 当且仅当，即时，取等号， 所以当为60时，这次行车的总费用最低，最低费用是225元. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用以及基本不等式求最值，还考查了建模和运算求解的能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $