1.1.2 空间向量的数量积运算 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 【基础巩固】 1．在正四面体中，与的夹角等于（ ） A． B． C． D． 2．如图，若正四面体的棱长为1，且，则（ ） A． B． C． D．1 3．在平行六面体中，，， ，，，则棱的长度是（ ） A． B． C． D．5 4．在长方体中，，，，线段与交于点，点为空间中任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）下列四个结论正确的是（ ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点，，，满足，则，，三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．若，，则 6．正三棱柱中，所有棱长均为1，则________． 7．已知正四棱柱，，为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于，两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是________． 8．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为2，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点． (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【能力拓展】 9．如图，已知三棱锥的侧棱，，且，，两两所成的角均为． 若空间中的点，满足，， 则的最大值为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）如图，在三棱柱中，，， ，、分别是、上的点，若，则（ ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，若在由该正方体任意两个顶点为始点与终点的非零向量中，随机选取两个不同的向量，将它们的数量积的绝对值记为，则的所有不同取值所组成的集合为________． 【素养提升】 12．如图，在平行六面体中，，，，，．点、是棱、的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算 【基础巩固】 1．在正四面体中，与的夹角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正四面体每个面都是正三角形可知， . 2．如图，若正四面体的棱长为1，且，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】正四面体的棱长为1，且， 则 ．故选：． 3．在平行六面体中，，，，，，则棱的长度是（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】平行六面体中，，，，，，如图，不妨取，则，，，，， ．因为， 则 ，故．故选：． 4．在长方体中，，，，线段与交于点，点为空间中任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在长方体中，，，，线段与交于点，点为空间中任意一点，如图，连接与交于点，连接记的中点为，，的中点分别为，，连接，则为的中点， ． 因为，所以， 所以， 所以当与重合时，取得最小值为0，此时取得最小值，为． 故选：． 5．（多选）下列四个结论正确的是（ ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点，，，满足，则，，三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．若，，则 【答案】AB 【解析】对：因为，因为， 则或或，即或或，故正确； 对：因为，而，所以，，三点共线，故正确； 对：因为两个向量的数量积是实数，，为实数， 故是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线， 所以不一定成立，故错误； 对：当时，对任意向量，，都成立，当时，不一定成立，故错误．故选：． 6．正三棱柱中，所有棱长均为1，则________． 【答案】 【解析】如图， △是等边三角形，且，则：． 故答案为：． 7．已知正四棱柱，，为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于，两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是________． 【答案】， 【解析】为对角线的中点，即为正四棱柱的中心，由对称性，为的中点， ，，，所以， 则， 则，． 故答案为：，． 8．如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为2，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点． (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)平行六面体的底面为正方形，棱长都为2，且，设，，，，分别是棱，的中点，则． (2)若为棱的中点， 所以． (3)设，， 则，由(1)知， 所以， 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点． 【能力拓展】 9．如图，已知三棱锥的侧棱，，且，，两两所成的角均为．若空间中的点，满足，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于已知三棱锥的侧棱，，且，，两两所成的角均为，所以，，，故，所以，等价于，故， 点和分别在以和为直径的球面上，两个球的半径分别为，，设点和分别为何的中点，则，所以的最大值为．故选：． 10．（多选）如图，在三棱柱中，，，，、分别是、上的点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】在三棱柱中，，，，设，，，所以，，同理可得，对于、选项，因为，， 所以 ，所以与不垂直，即错误； 因为，所以， ，， 所以，，故正确； 对于选项，因为，， 所以， ，， 所以， 故错误； 对于选项， ，所以，故正确．故选：． 11．已知正方体的棱长为1，若在由该正方体任意两个顶点为始点与终点的非零向量中，随机选取两个不同的向量，将它们的数量积的绝对值记为，则的所有不同取值所组成的集合为________． 【答案】，1，2， 【解析】由已知得向量分成三类：正方体的棱对应向量、面对角线对应向量以及体对角线对应向量，棱对应的向量模长为1，面对角线对应向量的模长为，体对角线对应向量模长，之间的夹角只有三种情况，故数量积为1，，0，绝对值为0或1； 之间的夹角为0，，，，，故之间的数量积为，，0，故绝对值为0，，2；之间的夹角的余弦值为，故之间的数量积为，故绝对值为1； 与之间的夹角为，，，故的值为，0，绝对值为0，1； 与之间的夹角余弦值为，故的值为，绝对值为1； 与之间的夹角为或夹角余弦值为，的值为0，，绝对值为0，2， 综上可知所求集合为，1，，． 故答案为：，1，，． 【素养提升】 12．如图，在平行六面体中，，，，，．点、是棱、的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)设基向量， 则，， 因为， 所以， 因为、、三点共线，设， 则， 所以，即，所以． (2)因为，且， 所以， 配方得：，即， 故，即，所以的最大值为． (3)由于：， ， 则，即， ， 即． ， ， 令，， ， ． 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$