章末综合测评(1)空间向量与立体几何-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

11四0a口 11门11可 曙卡馆息 年最 学号后5位 姓名 DD力D mm口00 ■a间 章末综合测评（一） 空间向量与立体几何 (时同：120分掉满分：150会】 一，透择题：本题共8小题，每小题5分，共0分：在每小愿希出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知。，春，e1是空间的一个基底，则下列各幅向量中，不篱胸度空 问的一个基底的是 CA2a-bb.c [n]a,4-be 0a-c.b-ca-b 101a,b,e十b十e 2,者向量a=1,d,2).b=(2,一1,2)，且日与b的夹角的余弦值为 子则1 A32 o1-2泼号 3.已知0是坐标原点，空间向盘0A-(1.1,2.0正-(-1,3，》， OC-(2A.0,若规段A8的中点为D.期CD1一 1018 [o122 4.已每A(目，0,1D,n=(1,0,D是平面x的一个法向量，且B(-1,2,2)是 平面年内一点，则点A到平面▣的距离为 [e72 o号 5.如围.在平行六直体ACDA:B,C:D 中，C与D的交点为N,设A,B,■e AD=bA,A=c,则下列向量中与B,对图 等的问量是 a12a十b+: o1-3-+e 6,如图，料三棱佳ACA:BC的质有棱长均为2，∠A,AB=∠A,AC =劳点E,5物足正=d,际=成，粥示=《》 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11.在毫可直角坐标系中，已如A(m,#,1),B(3,2.1》关于：编对称， 期m十■ 13两个事零期量ab,定义a×h=aljb|,eab),若a=(10,l), =0,2.22,则引e×b1= [A后 t后 【e】2 [e,2 14.如图所示，在几科体ABCDEF中，AD T.如图，在四棱算P-ABD中，底面ACD为直角 样形，AH⊥AD,BCAD,且AH=C,AD BC∠BMD-营，AB=AD=2BC=+ =3,PA⊥平ABCD且PA-2,则PB与平置 AECF,AE=2CF=2.AE⊥平面AB PCD所成角的正蕊值为 CD,赠点B到直线DF的距离为二□ 直线EF与平面BDF所成角的玉激值为 象《九章算术是吉代中风乃至东方的第一 日，解答■，本国共5小醒，共77分.解答时应写出文学说用，证别域 常自域体系的数学专著，书中记截了 程减流算多保 种名为“刍整”的五蜜体〔如图所京)，其 。82a4s20+0, 中君垃形ABCD为矩形，EF/AB,看 15.13分)如图，在平行六面体ABCD-ACD中， AB=EF,△ADE和△BCF年是正三 角形，且AD2EF,到异商直线DE与BF所成角的大小为 AB■4，AD■B,AM°■5，∠BAD0, ∠BAA'-∠n4M'-求： (1DAA·AB,(2)AB的长，(33AC'的长 二，这题，本延其3小思，每小题6分，北15分.在蜂小题命出的透 明中，有多明符合题日要求，全都透对的得6分：常分进对的得都分 分，有选错的得0分， ,空间中三点A(0,1,0),B(2,2,9),C(一1.d,1).0是坐标图点，则 [AA万-5 IB1AB⊥AG 【e】点C关于0平置对称的点为1，-3.1》 石与配光角的余藏值整受 1.已知空间三点A1,0,3,B(-1,1,4,C2,-1,3).若F》 C,且AP1=√1，则点P的生振为 1414,-2:2) 【n1(-2,2.40 0]【-4,2,-2) [01(2,-2,4》 1I.如图，在四棱维P-ABCD中，PD1底直AB CD,图边形AD是边长为1的菱形，丑 ∠ADC-1T,PD=AD,焦 IA子(DA+DC)·DP-1 D丽+D.配- oi币-吉 店，时=-是 9aa5432▣a+a.图 9876s4▣2o+a 16.(5分)如图，正方形ADEF斯在零雀与棉形 1N(17分)如图，在四棱题3-ACD中，医重 AaCD所在约平面龙相垂直，AD ICD,AB ABCD满是AB⊥AD,ABLC,SA⊥底面 CD,AB=AD=2,CD=4,N为E的 中点， AaCD,且5A=AB=C=1AD=2 (I)求E,M平面ADEF: 《1)求四棱懂SACD的体积： (2)求正：C⊥平重BDE (2)求平面CD与平直8AB的先角的余强值 93765432100.5 17,(5分》如图.在直三较柱ABCA,BC中， ALCA4-C-昭，=2 (1)求异自直提AB1与A:C,所成角的 大小： (2》求点县到平面A:B:C约距离. 酸本单元 987a▣432a+a. 19.(17分如图，在半行两边思AD中，AB=1,8D=2,∠ABD= 0,将△D沿对角BD折起，折后的点A变为A,且A,C一之 (1)求E,平面A,BD⊥平面以CD: (2)求异面直线BC与AD所成角的余草算： 《3E为望段A,C上的一个动点，当望段CE的长为多少时，DE 与平面CD所成角的正我值为受， ■章末综合测评彡 章未综合测评（一） 答案速对 1234567891011 CCC D A D C A ABAB BD 12.-513.2314.8104网 21 21 试题精祝 1.C[对于A,{a,b,c}是空间的一个基底，则a+b,b,c不共 面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故A选项不持 合题意： 对于B,{a,b,c}是空间的一个基底，则a,a一b,c不共面，所 以这三个向量能构成空间的一个基底，故B选项不特合 随意； 对于C,a一b=(a-e)-(b-c),则a一c,b-c,a-b共面， 所以这三个向量不能构成空间的一个基底，故C选项符合 题意： 对于D,{a,b,c}是空间的一个基底，则a,b,a十b十c不共 面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故D选项不特 合题意.] 2c由题择aab创-i治经艾5号 解得A-2浅-品批选C] 3.C[由题意知A(1,1,2),B(-1,3,4).C(2,4,4) 则D(0,2,3) 所以CD=(-2,-2,-1), 所以CD1=√(-2)+(-2)+(-1)了=3.故选C.] 4.D[由已知得AB=(-2,2,1),又n=(1,0,1), ÷点A到子面a的距离为A丽：n_-2+1区 1中7一之故选D] 5.A[M=丽=Bi+BC -(-店+C) (-A:B:+A:D:) =-+ .B.M=B,B+BM=AA+BM =e+2(-a+b)=-2a+2b+e 故选A] 6.D[E亦-EA+A店+B--AE+AB+2(AC-A -吉A店+号AC-A正， 1成=（侵A+花-A)”=A+C 参考答案与精析 A正+A店，A花-A店·A花-A花，A正 =1+1+1+2×2×2x合-2x1×号-2x1×号=2， E示-② 故选D.] 7.C[依题意，以A为坐标原点，分别以 AB,AD,AP所在直线为x,y,x轴，建 立如图所示的空间直角坐标系， 周为AB=BC=2,AD=3,PA=2, 则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0), D(0,3,0), 从而PB=(2,0,-2),PC=(2,2,-2),PD=(0,3,-2), 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c), 公 '中2a+26-2c-0, 13b-2c=0, 不妨取c=3,则a=1,b=2, 所以平面PCD的一个法向量为n=(1,2,3), 所以PB与平面PCD所成角的正孩值为 2-6 Icos(PB,n)I= √2+(-2)×+2+3 7 故选C.] 8.A[如图，以矩形ABCD的中 心O为原点，CB的方向为x抽 正方向建立空间直角坐标系， 四边形ABCD为矩形，EF∥ AB,△ADE和△BCF都是正 三角形， .EFCOyz平面，且Oz是线段EF的垂直平分线. 设AB=,剩EF=1AD=2,D(-1,号，o小， Eo,-wE）BoFo,2E) ∴DE=(1,1W2),BF=(-1,-1W2), .DE.BF=-1×1+1×(-1)+2×2=0, “DE⊥B萨，∴并西直线DE与BF所藏的角为？，故选A] 9.AB[A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1), 则AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),BC=(-3,1,1), 故AB=√2+1+0=5，故A正确： AB·AC=2×(-1)+1×2+0×1=0, 故AB⊥AC,故B正确： 点C关于Oxy平面对恭的点为（一1,3，一1），故C错误： o应，-方正-一僵故D楼民装达A姐] IABIIBCI 10.AB[设AP-BC=(3x,-2以，-A). 又IAP1=√14， ∴√(3以)+(-2)+(-1)=√/14，解得1=士1， .AP=(3,-2,-1)或AP=(-3,2,1). 设点P的坐标为(xy,z),则AP=(x一1，y,一3)， 1071 x-1■3，x-1■一3， x■4， {x■-2， y=-2,或y■2，解得y=-2,或y=2, x-3=-1z-3=1, x=2 x=4. 故点P的坐标为(4，一2,2)我（一2,2,4）.故选AB.] 11.BD[因为PD⊥底面ABCD,所以PD垂直于平面ABCD 内的任何一条直线， 因为图边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC=120°，所 以△ABD和△BCD是等边三角形. 对于A,(DA+DC)·DP=DB·DP=0,枚A错误； 对于B,(DP+DB)·BC-DP·BC+DB·BC =0+1X1Xcos120=-宁，故B正精： 对于C,PA·CP=(PD+DA)·(CD+DP)=PD·CD+ pi,D+DA,i+DA,D成=-1+2=-，故c 错误： 对于D,AB,B驴-A店，BD+DP)=AB.B励+店.D =1X1X(名）=-子，故D正境：故选助] 12.一5[“B(3,2,1)关于轴对称的，点的坐标为(-3，一2,1) 又对称点为A(m,n,1),则m=一3，m=一2，m十n=一5.门 13.23[设向量a,b的夹角为8，a=(1,0,1),b=(0,2,2), .la=2,lb=2w2,a·b=2, .'.cos 0-a.b 2 1 1abV2×222 o. .laXbl-lalIblsin0-/x2/x25.] 1481丽4 21 21 [以A为原，点，AB,AD,AE的方向分别为x 轴y、之抽的正方向建立如图所示的空问克角坐标系，则 B(4,0,0),D(0,4,0),E(0,0,2),F(4,2,1D,DE=(0,-4,2),DF =(4,-2,1),BD=(-4,4,0),BF=(0,2,1),EF=(4,2,-1). 所以cos〈DE,DF)= 10 25×√W2I -V105 21 所以血成，)-所以 点E到直线DF的距离为DE·sin(DE,DF) =2w5×4yI-8v05 21 21 设平面BDF的法向量为n=(x,y,z), 则：丽-红+=0◆=1释n-4.-2》. n·BF=2y+x=0, 所以cosn,E)=n·E求 8. 414 In11EF1√6X√2i 21 所以直线F与卡南BDF所我房的三孩线为产沿，】 15.解：(1)A.AB-1·AB1·cos60 -5X4x2-10 (2)AB=(AA+AB)=(AA+AB) =AA2+2AA.AB+AB2=25+2X10+16=61, AB1=√6T,即AB的长为√T. 108 (3)AC=(AB+AD+AA) =AB+A+AA产+2(AB.A+AB,AA产+AD ·AA') -16+9+25+2×(0+10+3X5x号）-85。 .IAC1=√85，即AC的长为√85. 16.证明：(1)，平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面 ABCD=AD,AD⊥ED,EDC平面ADEF, ,ED⊥平面ABCD. 以D为原点，DA,DC,DE的方向 分别为x轴、y轴、x轴的正方向，建 立如图所示的空问直角坐标系。 则D(0,0,0),A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2), F(2,0,2). M为EC的中点，.M(0,2,1) 则BM=(-2,0,1),AD=(-2,0,0),AF=(0,0,2), BM=Ai+是A正，故BM.AD.A京共面 又BM丈平面ADEF,.BM∥平面ADEF. (2)BC=(-2,2.0),DB=(2,2,0),DE=(0,0,2), :BC.DB=-4+4=0,∴.BC⊥DB. 又BC,DE=O,∴BC⊥DE. 又DE∩DB=D,DE,DBC平面BDE .BC⊥平面BDE. 17.解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC,所以BA, BB,BC两两垂直， 以B为原点，BA,BB:,BC所在 直线分别为x,y,g轴，建立空间 直角坐标系，如图所示， 则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0, 2),A(2,2,0),B(0,2,0) C1(0,2,2),所以AB1=(-2,2, 0),A,C1=(-2,0,2), 设异面直线A,与AC,所成角为0,0E(0,受】 所以cos0=1cos〈AB,A,C)1= IAB·AC 1ABIIA,CI 4 1 22X2221 所以0=了，中异面直线AB,与A,C所咸角的大小为营 (2)由(1)知，A,B,=(-2,0,0),A,C=(-2,-2,2),BC (0,0,2),设平面A1B1C的法向量为n=(xy,2), n·A,B,=-2x=0, 解得x■0， n·A,C=-2x-2y+2x=0, 令y=1,则x=1,所以m=(0,1,1), 所以点B到平面A,B,C的距离为BC:m-是=E. √2 18.解：(1)根据题意可得四棱锥S-ABCD的体积为Vn= 号×sm×sA-号×号×(+)×1X1=子 (2)根据题意可建立空问直角坐标系如图， 剩n}0,o）,c11,0,50,01. D-(分1.0)sc=a1,-D 设平面SCD的法向量为m一(xyx), t0. m.SC=+y-:=0, 取m=(2,-1,1), 又易知平面SAB的一个法向量为n■(1,0,0)， .平面SCD与平面SAB的央角的余法值为 ew小-贤贸--停 19.解：(1)证明：在Rt△ABD中，AD-√AB+BD-√5 ,四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=√3，CD=AB=1,又A1C=2, A1B+BC=A,C2,A1B⊥BC, 又A,B⊥BD,BC∩BD=B, 且BC,BDC平面BCD, .A:B⊥平面BCD,又A:BC平面A1BD ,平面A1BD⊥平面BCD. (2)如图，过，点B作BD的垂线，以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则B(0,0,0),A1(0,0,1),D(0,√2,0) C(1,W2,0),BC=(12,0), DA,=(0,-2,1), 1BC·DA1 Icos(BC,DA)=- 2 2 IBCIIDA 3X3 3' “异面直线BC与A,D所减角的余孩值为号 (3)DC=(1,0.0).CA=(-1,-2,1). 设CE=ACA1,0≤1≤1， DE=DC+CE=(1-A,-A), 易如平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1) 设DE与平面BCD所成的角为B,则 sin 0-I cos(DE,n)DE.nl DE1nl√-A)+2以+积 , 解得=号我=-1合去)正=号C中CE=号 :当我段CE的长为号时，DE与平面BCD所成角的正被 维为号 章未综合测评（二） 答案速对 4 5 67 8 91011 B C B CC BBB ABABCACD 12.√5x-y-4=013.(2,-1)(x-1)+y2-2 14.1 试题精析 1.B[直线11与支线12：2x十y一4=0平行， 别直线L1的斜率为一2，直线11过，点A(2,5) 别y-5=-2(x-2),即2x+y-9=0. 故选B.] 2.C[直线11：2x十(m十1)y十4=0与直线l2:mx十3y一2 0平行， 别2X3一m(m十1)=0，解得m=一3戎m=2. 当m=一3时，此时直线11：2x一2y十4=0与直线1，：一3x +3y一2=0平行， 当m=2时，此时直线11：2x十3y+4=0与直线l2:2x+3y 一2=0平行，故m=一3或m=2, 故选C.] 3.B[由题意知，点A和点B到直线1的距离相等，得到 16a+3+1_|-3a-4+1 √a+1 √a+1 化筒解得a=一吉或a=一了故选B] 4.C[设直线为l:ax+y十2-a=0,即l:a(x-1)+y+2= 0,易知1过定点P(1,一2)，圆C的标准方程为x+(y十2) =5,所以圈心为C(0,一2)，半径为√5，且点P在圆C内.因 为当PC⊥AB时，围心C到直线l的距离最大，此时|AB引取 得最小值，易得 IPCI-Izr-zel=1, 所以AB=2√(W5)-1=4,敢速C.] 5.C[圈C1:x2+y2-2ax+2y+a2=0的圆心C1(a,-1), 平径r1=1, 图Cx2+y°+4x-6y一23=0的圆心C:(-2,3),半径r 6, 由两圆有且只有一条公切线，可知两圆内切，所以|C:C:= r:-r=5,即√(-2-a)+(3+1)F-5, 解得a■1发a■一5. 故选C.] 6.B[周C的图心为C(0,2),半径为r=4.因为MA,MB是 ⊙C的两条切线，所以CA⊥MA,CB⊥MB.设点M的坐标 为(a,一6)，因为∠MAC=∠MBC=90°，所以M,A,C,B回 点共圆，且以MC为直径， 该圈的方程为x(x一a)+(y+6)(y一2)=0， 又圆C的方程为x+(y一2)2=16，所以两圈方程相减得 一ax十8y=0,即直线AB的方程为一ax十8y=0,所以克线 AB幢过定点(0,0).] 7.B[圈x+y2+2x+4y-3-0可化为(x+1)2+(y+2) =8,∴，圆心坐标是（一1，一2），幸径是2√2.圈心到直线x 十y十1=0的距离d=一1一2+山=反，过围心平行于支 线x十y十1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x十y 十1=0的距离为w2的平行线与國相初，只有一个交点，，共 有3个点.故选B.门 8,B[直线1：3x+4y十m=0上任意一点M,点P,Q是圆C 上两点， 当PM,QM分别与周C相切时，∠PMQ最大， 需M运动到与圆心C之问的距离最小，即CM⊥L时， ∠PMQ最大， 圈C:x3+y2-4x十1=0的圈心C(2,0),半径为V3, 由点到直线的距离公式，得圆心到直线【的距离d =13X2+4X0+m 5 1091