专项训练(3)与圆有关的最值问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

智学分层作业 重难专项训练（三） 与圆有关的最值问题 (满分：90分) 1.(5分)圆x2+y2+2x+2y=0上的点到直线 x一y一2=0的距离的最大值为 () [A]√2 IB]2√2 o89 o52 2 2.(5分)已知点P是圆C1:(x+2)2+(y+10)2 =4上的一点，过点P作圆C2:(x一3)2十 (y一2)2=1的切线，则切线长的最小值为 [A]2√30-1 [B]2/30 [c12√30+1 [o]2√30+2 3.(5分)当圆x2+y2=4截直线l:x-my十m 1=0(m∈R)所得的弦长最短时，m的值为 () [A]-√2[B]√2[c]-1[o]1 4.(5分)已知P,Q分别为圆M:(x一6)2+ (y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上 的动点，A为x轴上的动点，则|AP|+|AQ 的最小值是 () [A]7 [B]8 [c]5√5-3 [D]5W5-2 5.(5分)已知点A(x1,0),B(0,y1),C(6,8),且 满足x+y=4,点D为AB的中点，则|CD 的最大值为 () [A]9[B]10[c]11[D]12 6.(6分)（多选题）已知在平面直角坐标系Oxy 中，M(-3,0),N(3,0),动点P是平面上的 一个动点，其轨迹为C.则下列结论正确的是 () 若动点P满足P-2,则曲线C的方程 为x2+y2-10x十6=0 [B]若动点P的轨迹为C:x2十y2十8x=0, Q(4,0),则|PQ|+2PN|的最小值为10 0口■0口▣■口0 ■口■▣D□ 学 刀▣四初20 题卡信息 年级： 刀幻口口 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 60000四 姓名： 口口口D2口 HH 9■9口■9J9■9 [c]若动点P满足|PM·IPN=12,则曲线 C关于y轴对称 [D]若动点P满足|PM|·|PN|=12,则 △PMN面积的最大值为6 7.(5分)设P是圆(x-3)2+(y十1)2=4上的动 点，Q是直线x=一3上的动点，则|PQ|的最 小值为 □ 8.(5分)若直线x+3y-1=0是圆x2+y2-2a.x 一8=0的一条对称轴，则点P(2,√3)与该圆上 任意一点的距离的最小值为 9.(5分)已知圆C的方程为x2+y2=2,点P是 直线x-2y一5=0上的一个动点，过点P作圆 C的两条切线PA,PB,A,B为切点，则四边形 PACB的面积的最小值为 [19876543210+0.5 10.(13分)已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x 14y+45=0上任意一点， (1)求音的最大值和最小值， (2)求x2+y2一5x一15y的最大值和最小值. 3 智学分层作业 19876543210+0.5 19876543210+0.5 11.(15分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M与 12.(16分)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9. 点A的距离是它与点B距离的√2倍， (1)直线L1过点A(一2,0)，且与圆C相切，求 (1)若动点M的轨迹为曲线C,求C的方程； 直线1的方程： (2)设直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4 (2)设直线L2:3x十4y一2=0与圆C相交于 =0,直线l与曲线C交于P,Q两点，当|PQ E,F两点，点P为圆C上的一动点，求 取得最小值时，求PQ|和直线L的方程. △PEF的面积的最大值. 44 ■而点P义在圈C上，因此两固有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半轻和的闭区间中， 所以t-1≤1OC引≤t+1,即{t-1≤2≤t+1,又t>0,解 得1≤t≤3. 11.解：(1)x2+y2-2x-3=0,① x2+y2-4x+2y+3=0,② ①-②得2x-2y-6=0,即x-y-3■0， 故公共往AB所在直线的方程为x一y一3=0. (2)设圆的方程为x2+y2-2x-3+A(x2+y2-4x+2y+ 3)=0(a≠一1)， 即(1+A)x2+(1+A)y2-(2+4)x+2y-3+3a=0. 因为周过坐标原点，所以一3十3入■0，A=1, 所以圆的方程为x+y2-3x十y=0. 12.解：司C的方程可化为(x一1)2十y2=1,圆心C(1,0),半径 为1. 设所求调的方程为(x一a)十(y一b)2=r(r>0), √(a-1D+6=r+1, 由题意可知 1a+3b1 2 =r, a=4, 解得(b=0, r=2, 所以所求圆的方程为(x一4)2十y=4, 重难专项训练（三） 答案速对 4 5 6 B BCD 7.48.19.6 试题精析 1.B[国(x+1)+(y+1)2=2的圈心为(-1，-1)，半径 为√2， 则点(-1，一1)到直线x一y一2=0的距离为 1-1-(-10=1=2, √+(-1) 所以圆x2+y2+2x十2y=0上的点到直线x一y-2=0的 距离的最大值为2√2.故选B.] 2.B[如图所示，初线长d=/TPCe一1，所以当|PC:{取得 最小值时，切线长取得最小值，当P,C,C:三点共线且点P 在C,C2之间时，lPC|最小， 由于1C,C1|=√(-2-3)+(-10-2)=13， 所以|PC:lm■|C:C:|-|PC:|■1C:C:|一2■11，所以 d=√11-I-230.故进B 3.C[直线1：x-my+m-1=0(m∈R)可化为x-1= m(y-1),过定点A(1,1),图x2+y=4的图心为O(0,0), 半径r=2. 当1⊥OA时，圈x十y2-4栽直线1：x一my+m一1■ 0(m∈R)所得的弦长最短. 因为k0m=1,所以k,=一1， 即-1m=-1.故选C] 4.C[如图，作圆N关于x轴对称的圆G,则圆G:(x十4)+ (y+2)2=1. G 所以|API+|AQ|≥lAM-2+|AN|-1 =|AM+|AG1-3≥|MG-3=√(6+4)2+(3+2)-3 =5√5-3， 当且仅当M,A,G三点典线时，等号成立 别|AP|+1AQ|的最小值为55-3.故选C.] 5C[楼据题意，设D点坐标，可知=受。=兰 剥x1=2x0,y1=2y0, 又xi+yi=4,代入得4x十4y=4,即x8十y=1,可得点 D在以圆心为(0,0)，半经为1的圆上， 则1CD|a=√6+8+1=11.故选C.] PM 6.BCD[设P(xy,对于A,当P2时， 剥有红十3)+少 ■2，化简得x°十y2一10x十9■0，故A /(x-3)2+y2 错误； 对于B,周为动点P的轨迹为C:x2+y2+8x=0, 表示以（一4,0）为圈心，4为半径的圆，设A(一2,0)，连接 PA,PC,如图所示， N0末 圈为CP1=4,CA|=2,1CQ=8, 所0 又国为∠ACP=∠PCQ,所以△ACPn△PCQ. 871 片a盼-0-8器-片以PQ-2PA, 所以|PQ|+2IPN|=2PA|+2PN|=2(|PAI+1PN), 当P与O重合时，|PA+|PN|取得最小值 (PA1+IPN1).=|OA|+1ON1=2+3=5, 即(PQ|+2PN|)=2×5=10,故B正确： 对于C,动点P满是PM·|PN=12, 即有√(z+3)+y·√x-3)+y=12, 整理得x+(2y2-18)x2+y+18y2-63=0, 用x替换一x, 得(-x)+(2y-18)·(-x)+y+18y2-63 =x+(2y2-18)x2+y+18y2-63=0, 所以曲线C关于y轴对称，故C正确： 对于D,由选项C可知方程x十(2y2一18)x2十y十18y2 63=0一定有解， 所以△=(2y2-18)1-4(y+18y-63)=576-144y2= 144(4-y)≥0， 解得-2≤y≤2，即|y≤2， 所以Saw=2MN1·y≤号X6X2=6,当且仅当1y ■2时，等号成立，故D正确.故选BCD.] 7.4[如图，图心M(3,一1)与定直线x=一3的最短距离为 1MQ1=3-(-3)=6. 又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6一2=4.] 8.1[由题可知，被周的圆心为(a,0),直线x十3y一1=0过圈 心，则a一1=0，解得a一1，则被圈的方程转化为(x一1)2十 y2-9,孩圆圆心为(1,0)，半径为3，易知圆心与P(2,5)的 距离为/(2-1)2+(W3)=2,故点P(2,N5)与该圈上任意 一点的距离的最小值为3一2=1.门 9.√6[如图，由国x十y=2,得到圆心C(0,0),半径r=2. 由题意可得IPA|=|PB,PA⊥CA,PB⊥CB, 2 -210N 234367 3 所以5.8a=2Sae=2X2PA·1AC1=EPA1, 在Rt△PAC中 由勾殷定理可得|PA2=|PC12一，2=|PC引一2， 当|PC引最小时，PA|最小，此时所求的面积也最小， 点P是直线x一2y一5=0上的动点， 1-5l 当PC⊥l时，PC引有最小值d= √1+(-2) =5, 此时|PA=√3， 所以所求四边形PACB的面积的最小值为、2X3=√6.] 188 10.解：(1)已知圈C:x+y3一4x-14y+45■0， 则（红-2）2+(y-7)=8,又M(x,y)为周C上任意一点， 音，得克线红-y十设+4=0， 该直线与圈(x一2)2十(y一7)2=8有交点即可， 所以圆心C(2,7)到直线的距离小于等于半径即可， 有2k-7+3t+41≤22， √+ 解得15-4压≤k<15+4区 17 17 行音的義大值为15+压，最小位为15-4区 17 17 ②周为2+y-5-15y-(-）广+(6-）°-受 显发(-)'+(6-》表示点M(红少)到点 N(受)的题离的辛方， 中(-)'+(-)-IMN, 已知M(xy)在图(x-2)2+(y-7)2=8上， 则周的周心坐标为C(2,7),半径为22， 所以|INC-2w21≤IMN|≤INC+2W2, 1c-+-T-9 所a3≤MN<号。 2 所以(-)广+(-》'-INr∈[是]· 所以+y2-5x-15y=(-）广'+(0-)-罗 ∈[-58，-50]， 所以x十y2-5x-15y的最大值为-50，最小值为-58. 1L.解：(1)授动点M的坐标为(xy), 则由|MA=√2|MB|, 得√(x+2)+y=√2√(x-2)+y, 即x-12x+y+4=0, 所以曲线C的方程为(x一6)2十y2=32. (2)直线l:(2m+1)x+(m+1)y一7m一4=0， 即1：(2x+y-7)m十(x+y-4)=0, 由于m∈R,故令2十y-7=0, x十y-4=0, 解得任=3即直线1进定点3,1D,设E3,1D,由于3-6 y=1, +12<32,故E(3,1)在国(x-6)2+y2=32内， 脚直线1与周(x一6)2十y2=32相交， 当直线1和直线CE垂直时，PQ取得最小值， 由于C(6,0),故CE1=√/(6-3)+(0-1)=√10，围C 的半径为4v2, 故|PQlm=2√(42)-(/10)2=222. 又直线CE的针幸一号}一弓，批光时直线1的针率 为3， 期直线1的方程为y一1=3(x一3)，即3x一y一8=0. 12.解：(1)由题意得图C的圆心为C(1,1),半径r■3， 当直线{，的外率存在时，设克线1的方程为 y=k(x+2),即kx一y+2k=0. 由直线4与圈C相切，得-1+21 3 √便+1 解得是=一青，所以直线1的方程为4红十3y十8=0： 当直线1的斜率不存在时，克线11的方程为x=一2，显然 与圆C相初. 综上，直线11的方程为x=一2或4x十3y十8=0. (2)由题意得司心C到直线，的距高d=3十4-2-1， √3+4 所以1EF1=2×√3-=4N2, 点P到直战12的距离的最大值为r十d=3十1=4， 所以△PEF的面软的最大值为号·EF·(r十a) =X4巨x4=8后. 分层作业（二十） 答案速对 123456781011121314 C C B A BC Ci A BAB Bi B A 试题精折 1C[白州国E:若+若1可物a=4 四为P是椭圈E上一点，所以|PF,+|PF,|=2a=8。 而|PF,I=2,所以|PF:=8-1PF,|=6.] 2A[对子后+片1a=5 由题意可知，△AF:B的周长为|AB|+lAF,|+1BF:I ■(|AF,|+|AF,I)十(IBF,I+BF,|) =4a=20.故选A.] 3.C[由题意，得a=9,b=4,则|MF11+|MF,|=2a=6, 所以|MF,I|MF,I≤ (IMF,I+MF:I 2 =9,当且仅当 MF,=|MF,|=3时，等号成立，故选C.] 4B【由箱离号+号1可知a=5,设满国另一携点为，核 据满圆定义可知|MF1|+|MF,|=2a=10,故|MFa=8. 在△MF,F:中，N是MF1的中点，O是F:F2的中点，故 ON是中位线， 所以ON=1MF,=×8=4:故选B] 5.A[由椭圈6十号-1，可知a=4,6-3,6V6-可-万 图为1PF,1+PF:=8,F1F,=2W7, 所以(PF11+PF,)3=64 图为|PF:IPF:1=12,所以PF,P+|PF:2=40. 在△F,PE,中，oR,PE,-8- 又0°<∠F1PF2<180°，所以∠F,PF:=60.] 6.BC[由题意可得2c■2，即c■1， 若焦点在x轴上，别c2=9一(m十4)=1，解得m=4； 若焦点在y轴上，别2=(m十4)一9=1，故m=6.故选BC.] 7.C[由条件可知|AB|+|AC|+|BC=12,|BC|=2, 所以|AB|+1AC|=10>2, 所以顶，点A的轨迹是以B,C为焦，点且焦点在x軸上的椭 圆，除去与x轴的两个交点，且2a=10,2e=2,所以a=25 c2-1,b2-25-1-24, 所以顶点A的轨速方程是5+=1(y≠0.故适C] 8.A[设动圈半径为r,圆心为M,根据题意可知，C:(0,3)和 C1(0,-3), 1M|=1+r,lMC,l=9-r,1C,C,|=3-(-3)=6, 1MC:I+1MC:|=1+r+9-r=10>6=lC,C:l, 故动圆圆心的轨迹为焦点在y袖上的椭围， 且焦点坐标为C:(0,3)和C,(0,一3)，其中2a=10,a=5, 2c=1CC:|=6,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16, 成的国霜心的能速才框为莞+后一1此选入] 9.解：(1)由a=4c=15,得b2=a2-c2=1. 因为焦，点在y轴上， 所以共标准方程为若十=1 t所表的黄方程为后+-1m>0>0.mn 起A(2,-),B(-1,四)两点代入， （4+2=1, m n 得 7 解得m=8,n=4, L+=1, 所以精调的标准方程为后+片-1 10.B[设P(xy),由题可知F,(-2,0),F:(2,0), 因为PF·PF,=(-2-x,-y)·(2-x,-y) =-(4-x2)十y2=5,聊x3+y2=9. 将十了-9与格国方写+号-1展立，将得红=士8] 11.AB[对于选项A,当m=8时，曲线C的方程为x2十y2= 3,此时曲线为圆，所以选项A正确： 对于选项B,当m=10时，曲线C的方程为号+y=1,此时 曲线为椭圆且椭图C的焦距为2√5工=4，所以选项B 正确： 对于选项C,若曲线C是焦点在工袖上的椭圈， 则二>1一解得8<m<11,所以选项C错误： 对于选项D,若曲线C是焦点在y轴上的脑圈， 射一5<1一m·解得5<m<8,所以选项D错误.] 1m-5>0, 12.B[如图所示， 891