分层作业(18)直线与圆的方程的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

=√2，直线x十y=0被图x2十y2一6x十2y十4■0截得的弦 长1=2√/(6)2一（√2）=4.故选A 法二：设直线与圆交于A(x1,1),B(x1y)两点， x+y■0， 由 消去y得x3一4x+2=0, x2+y2-6x+2y+4=0, △=(-4)2-4X2X1=8>0,所以x1十x:=4,x1x2=2 所以弦长|AB|=√/1+1X4一4X2=4.故选A.] 7.C[因为x2+y2一6x=0的图心坐标为(3,0)，所以所求直 1 线的斜率k= 2-0 2 4-3 1 所以直线方程为y一2=一2(x一4)，即x+2y一8=0， 故选C.] 8.ACD[图C:x2+y2-2x-8=0化为图C:(x-1)2+y2 9,所以圆心C(1,0),半径为3，所以A正确，B错误： 圈心C到直线1：4x+3y十6=0的距离 d-4×1+3x0+6l_4+6-2,所以C正确： 32+4 5 因为|EF1-2√9-2=2W5,所以D正确.故速ACD.] 9.x一√5y十3=0[因为圈C:(x-1)2+y2■4的图心为 C(1,0),r=2, 号知点P0)在国上，又a一气-一5，所以奶线约针 来尚空 故初线方程为y一5= 3x,即x-3y+3=0.] 10.解：(1)设点P关于x轴的对称点为S(一2，一1)， 则直线SQ的斛率为2二（一》-1」 4-(-2)2’ 直线50的方程为y红十2》-1. 即直线L的方程为x一2y=0. (2)设圈心(a,0),则圆心到直线1的距离为la 南整装有车好（货 +2=3,解得a=士5. 所以圃A的方程为(x十5)2+y2=9或(x-5)2+y2=9. 11.ACD[将点(1，一2)代入到圆C的方程中，则12+（一2+ 3)°<4，所以，点(1，一2)在周C内，故A正确： 园C的半径为2，所以克径为4，故B错误： 将点(2，一3)代入到圆C的方程中，得22+（一3十3）2=4， 所以点(2，一3)在圈上，过图上的一点作图的初线有且只有 一条，当斜率k不存在时，此时过，点(2，一3)的直线为x=2, 满是d=r=2,故过点(2，一3)的切线方程为x=2,故C 正确： 图C:x十(y十3)=4的圈心为(0，一3)，年径r=2,所以圈 心(0，一3)到直线y=工的距离日一停-号2>2，所以直线 与圆C相离，故D正确，门 12.B[由题意知，直线1与1：平行，周为直线l1x十y=0和 4x十y-8=0之间的距离d=一8-0=42，且圈C /1+1 与直线l1:x十y=0和1g:x十y一8=0都相切，可得圆C的 84 半径为2√2.又周心在y轴上，设圈心坐标为(0，b)(0<b< 8),所以圈心到直线1的距离等于毕径， 即b1一2反，解得6=4或6=-4会去)，所以圆心坐 ”/个+1 标为(0,4)，故圆C的方程为x十(y一4)2=8.故达B.] 13.BC[由题意可知，圆C的圆心为C(一1,2)，半径r=2. 设国心C到“相关直线”的距离为d,可知1十d<2, 可得d<1. 对于A,d■|1一2引■1，不特合题意 对于B,d=3X(-1)-4×2+12l_1 √3+(-4) ，特合题意： 对于C,d■0，持合题意： 对于D,d=-12-5×2-17 =3,不符合题意.故选BC.] √/122+(-5) 14.x十2y=0[根撼题意，周心C为(3,1)，当CP与直线l垂 直时，直线【被圆C所载得的弦最短， 亮时-1二-2，则真线1的特奉-一子 1 3-2 期直线1的方程为y十1=-宁：-2》。 即x十2y=0.] 15.解：(1)证明：由国C:(x-a)3+(y-1)=2可知，圆心为C (a,1),*径r■√2， 所以圆心C到直线l:r-ay一2=0的距离4山=a一a一2 1+a 2 /1+a 因为a>1,所以1十a2>2, 所以+口>区，所以2 /+a <2,即d<r, 所以直线【与圆C相交】 (2)如图，因为直线1与圆C相交于 y A,B两点， 所以d<r,即2 √1+a <E, 解得a>1或a<-1. |AB1=2√P-d 2 =22-（1+a) 2a-2 =2N1+a 2a-z、y /+a _2W2a-2 =1 1+a2 整理得a-6a3+9=0,即(a2-3)2=0, 解得a=3,所以a=士5. 分层作业（十八） 答案速对 2 3 4 5 6 9 A BD 7.2x-4y-7=010.(3,5) 试题精析 1.D[方程x-4x+y一2y+1=0可化为(x一2)”+(y 1)2=4.设圆的圆心为C,羊径为r, 则圆的圆心C(2,1),半径r=2, 枚|AB|=√AC-TBC下 =√/-1-2)+(-3-1)-2=√2.故选D.] 2.D[图C:x2+y2+4x+2y+1■0的图心坐标为C(-2,一1). 园C上存在两点关于直线L对称，则直线过园心， 即-2a-b+1=0,有b=-2a+1,(a-2)2+(b-7)2=(a- 2)+(-2a-6)=5a°+20a+40=5(a+2)2+4], 当a=一2时，(a一2)+(b-7)有最小值20.] 3.A[圆C:(x一2)2十(y-1)2=25的圆心坐标为(2,1)，半径 r=5. 设1：ax一3y十n=0,所以一2a一12+n=0,n=2a+12, 所以l:ax-3y+2a+12=0. 因此2a一3+2a十12-5，所以a=4,所以物线1与直钱m √a+3 网的距离为2X4+12=4.故选A.] √+3 4.A[圆(x一2)2十y2■2的圈心坐标为(2,0)，*径为√2. 因为SA=号AB1·A,A为点P到直线工一y十2-0的 距离， 又燕P在圆(x-2)2+y2=2上， 所以k-名十反-32. 2 又由题意知A(一2,0)，B(0,2), 所以|AB|=√2+2=2V2, 所以△ABP面积的最大值是号×2反×3w反=6.] 5.A[以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在 直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0，a),则P(0,10),A(一50,0). 可设圆拱所在圆的方程为x2十(y一a)户=r2, 由超意可得10-a2=, 解得a=-120,r1=16900 (-50)2+a2=r2, 所以圆的方程为x2+(y+120)2=16900. 将x■一30代入固的方程，得900十(y十120)2=16900， 因为y>0.所以y=40√10-120%40×3.162-120 =6.48(米).故选A.] 6.C[以设备的位置为坐标原点O 其正东方向为x抽正方向， 正北方向为y轴正方向，建立平面 直角坐标系O江y,如图所示， 则A(50√6,0)，B(0,50√6)， 可得1M:x十y=50V6,圜O:x2十 y=10000. 记这名工作人员从N处开始被监测，到M处监测结束， 周为0到1w的矩离为1001=一505=505（来， √+1下 所以|MN|=2TMO-1OO下=100（米）， 做盘测时长为器=2分种.做选C] 7.2x-4y-7=0[设切点A(x1y1).B(xy:),P(-2,2), 圆心坐标为C(0,一2)， 则有PA=(x1+2,y1-2),PB=(x:十2y1-2), Ci=(x1y1+2),CB=(xy+2). 报据题意可得PA·CA=x1(红1十2)+(y1-2)(y1+2) =x+2x1+y7-4=0, Pi.Ci=x1(x1+2)+(y2-2)(y+2) =x十2xg十y-4=0. 又初点A(红1y),B(x:y)均在圈上，则有x+(y1十2)2 =1,x+(y,+2)=1, 任+21十y-4=0解得2x1-4y,-7=0 联立+6+21 x号+2x+y2-4=0, x号+(y:+2)2=1, 解得2x:-4y一7=0. 说明A,B两，点均在直线2x一4y一7=0上，故直线AB的方 程为2x-4y-7=0.] 8.解：(1)以O为坐标原点，建立平面直角坐标系（图略）， 别A(40,0),B(0,30),0:x2+y2=252, 则直线AB的方程为希+六-1，即3江十4y一120=0， 所以外籍轮船航行路径所在的克线方程为3x十4y一120=0. (2设0到直线AB的距离为1，尉d=一120-24<25， √3+4 所以外籍轮船能校海监船监测到 设监测时同为4，则122⑤。2理-名h), 28 所以外籍轮船被海监船监测到的持线时间是豆h 9.BD[因为直线y=kx-2恒过定点P(0,一2)， 根据y=√一x+6z-5可转化为（红-3）2+y2=4(y≥0)， 如图， 根格3张-品-2，所以是-号我北=0（会去），因光km一号 √1+k 由N6,0),Q1.0),可得k0-2km-号 根据图泉可知一号长号<<2时，或线与丰国格有1个 交点，故选BD.] 10.(3,5)[如图所示，设与直线1平行且与直线1之间的距离 为1的直线方程为4x-3y+c=0,c≠-10， 则1c+101=1. √4+(-3) 851 解得c■一5我c■一15， 图心C1(-1,2)到直线4红一3y 4-3y-5=0 一5=0的距离为 4,=1-4-6-5到 =3 √4+(-3) 圈心C,(一1,2)到直线4x-3y-15 =0的距离为 4-3y-10=0 4-3-15-0 d,=-4-6-15=5. √+(-3) 由围可知，圆C1与直线4红一3y一5=0相交，与直线4缸 3y一15=0相离， 所以d1<r<d2,即3<r<5.] 11.解：(1)由题意得A(-2,2),B(12,0), 所以|AB|=√14+2=10V2(km). (2)设经过O,A,B三，点的圈的方程为x2十y2十Dx十Ey十 F=0(D3+E2-4F>0). 因为孩司经过O,A,B三，点， 1F=0, D=-12, 所以〈8-2D+2E+F=0,解得E=一16， 144+12D+F=0, F=0. 所以该固的方程为x2+y2-12x一16y=0, 化成标准方程为(x一6)2十(y一8)2=100. 设轮船航线所在的直线为1， 则直线1的方程为y=x一10， 图心(6,8)到直线1：x一y一10=0的距离 d=16-8-10l=62<,=10. √2 所以直线1与圆相交，即轮船会进入安全预警区， 直线【被圈截得的孩长 L=2√100-(62)2=47(km), L4√7 行破时长1= 87 =0.5(h), 即该轮船在安全预警区内会行驶0.5h. 分层作业（十九） 答案速对 3 10 D B D AC B 5.-1 6.a3+b>3+227.x2+y2-3x+y-1=0 试题精折 1.D[周O1x2十y2=4的圆心为(0,0)，半径为2， 国O2:(x-3)十(y一3)=4的圆心为(3,3)，半径为2， 则10,021=√3+3=32>2+2，故两圆外离.] 2.B[因为司C与园O外切，所以两司的园心距等于两闻的车 径之和，即√3-0)+(4-0)=1+√25-m,解得m=9. 故选B.] 3.D[因为C1x+y2-x-ay=0,C:tx2+y-2x-4y+2 =0, 所以两圆方程相减得到公共弦所在直线方程为x十(4一)y 186 -2■0. 围为公共弦所在直线与x轴垂直，所以4一a=0, 解得a=4.] 4.AC[园C:的图心为C1(0,0),半径r1=2, 由x2+y2-4x+4y-12=0,可得(x-2)*+(y+2)2=20, 即国C,的国心为C2(2,一2)，半径T,=25, 别两圆的圆心距为√2+（一2）=2√2. 周为r:一r1<2√2<r2十r1,所以两圆相交，公切线有两条， 故B,D错误； 将两圆方程相减可得公共族所在的直线方程为x一y十2= 0,故A正璃： 国心C,到直线工-y十2=0的距离d--厄，则公共孩 2 的长度为2√-d=2√4-2=22，故C正确.] 5.-1[园M:(x一3)2+(y+1)=4的圆心为M(3,-1),半 径R=2:圈N:z2十(y一m)产=25的圆心为N(0,m),半径r =5.由于两圈内切， 所以|MN|=√/（一3）+(m+1)=5-2=3, 解得m■一1.] 6.a+b2>3十2√2[由题意可得，两圆圈心坐标和半径分别 为(a,0),N2和(0，b),1.因为两圆相离，所以√a+b>√区 +1,即a2+b2>3+22.] 7.x2+y2一3x十y一1=0[设固的方程为x+y-一4x十2y +1(x2+y2-2y-4)=0(a≠-1)， 则(1+A)x2-4x+(1+A)y2+(2-2x)y-4A=0, 4 ,2-2λ41 即+一1中x+1+分y一1中=0，所以国心坐标 为(》： 北国0坐标（条》R入2红十g-1=0中，可得 1 所以所求圆的方程为x2十y一3红十y一1=0.] 8.解：设圆O:的方程为(x一2)2十(y-1)2=r, 图为圆O1的方程为x十(y十1)2=4， 将两圆的方程相减，即得两固公共孩AB所在的直线方程为 4x+4y+r-8=0, 作O,HLAB,H为套足（圈），对AH-号AB=巨. 所以O,H|=√F-AH=√A-2=√2. 由国心01(0，-1)到直线4江+4y十r-8=0的距离为 r-12=反，得r=4浅=20. 42 故圈0，的方程为(x-2)+(y-1)=4成(x-2)2+(y- 1)3=20. 9,C[易知圆C的圆心为C1(0,0),半径r1=1, 司C:的圈心为C:(-3,-4),半径r:=4, 别两圆圆心距为1C,C,|=√3+4=5，两半径之和为r1十 r:=5, 即满足|C:C:=r1十r2=5,此时两国外初， 图此两圆有3条公切线.] 10.B[如图，PA·Pi=0说明点P在以AB为直径的圈x +y=2上，智学分层作业 智学分层作业（十八） 直线与圆的方程的应用 (满分：73分) ·基础对点练。 1.(5分)过点A(-1,-3)作圆x2-4x+y2-2y+ 1=0的切线，切点为B,则|AB|=() [AJ2[B]√5[c]3[D]√2I 2.(5分)已知直线l:ax十by十1=0，圆C:x3+ y+4x+2y+1=0,若圆C上存在两点关于直 线l对称，则(a一2)2+(b一7)2的最小值是 [A]5 [B]√5 [c]2√5 [D]20 3.(5分)过点P(-2,4)作圆C:(x-2)2+(y 1)2=25的切线l,直线m:a.x-3y=0与切线1 平行，则切线1与直线m间的距离为() [A]4 2o号o号 4.(5分)直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于 A,B两点，点P在圆(x一2)2十y2=2上，则 △ABP面积的最大值是 [A]6 [B]8 [c332 [D]22 0口■0口■▣■口0 ■口■▣D□ 学 刀▣四02 年级： 卡信息 和 后 44▣4和04 班级： 505]5]505 位 C600]四 姓名： 口口口02口 HH 909口9刀知9 5.(5分)某圆拱索桥（如 图)的跨度|AB|= 100米，拱高OP|= 10米，在建造该桥时每隔5米需用一根支柱支 撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是 (注：10≈3.162) ( [A]6.48米 []5.48米 [c]4.48米 [D]3.48米 6.(5分)某考点配备的信号检测设备的监测范围 是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持 手机以50米/分的速度从设备正东方向50√6 米的A处出发，沿A处西北方向走向位于设备 正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测 的时长为 [A]1分钟 73 分钟 [c]2分钟 D]乞分钟 7.(5分)过点（一2,2）作圆x2+(y十2)2=1的两 条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程 为 39 19876543210+0.5 8.(13分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达， 其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘 外籍轮船从位于海监船正东方向40km的A 处出发，径直驶向位于海监船正北方向 30km的B处岛屿，速度为28km/h. (1)求外籍轮船航行路径所在的直线方程； (2)问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若 能，持续时间多长？（要求用坐标法） B 0 ·能力提升练· 9.(6分)（创新拔高题）（多选题）若直线y=kx一 2与曲线y=√一x+6x-5恰有一个交点，则 的值可能为 () [A]0 [c]2 015 4 ■ 智学分层作业 10.(5分)若圆C1:(x+1)2+(y-2)2=r2(r> 0)上恰有2个点到直线1：4x一3y一10=0的 距离为1，则实数r的取值范围为 19876543210+0.5 11.(14分)为了保证海上平台的生产安全，海事 部门在某平台O的北偏西45°方向22km 处设立观测点A,在平台O的正东方向12km 处设立观测点B,规定经过O,A,B三点的圆 以及其内部区域为安全预警区.如图所示，以 O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向， 建立平面直角坐标系。 (1)试写出A,B的坐标，并求两个观测点A, B之间的距离。 (2)某日经观测发现，在该平台O正南方向 10km的C处，有一艘轮船正以8√7km/h的 速度沿北偏东45°方向行驶.如果航向不变，该 轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请 说明理由：如果进入，则它在安全预警区内会 行驶多长时间？