分层作业(15)圆的标准方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

点A关于2的对称点为A:(x1y:), 4+41-1=0 2 2 则 +1 解得/2=0， -4·1=-1, y1=3, 所以A:(0,3) 又易得点A关于1：的对称点A2的坐标为（一2，一1）， 所以BC边所在直线的方程为3=一0 -1-3-2-0 即2x-y+3=0.] 11.√1⑥[过点P作关于直线工一y+2=0对称的点Q, 设Q(a,b), b-1 a-1=-1, 所以 解得a=一1， a+1_b+1 b=3. 2-2 +2=0, 所以Q(一1,3)，故最短路程为Q0=√/10. 12.解：(1)当m=0时，直线41的方程为x=3,符合题意： 当m0时，直线4，的方程为y= x+2m-3 则m 2m-3 解得0<m≤2 3 0, m 鲸上，浅数m的取值花周灵6，引 (2)若m=1,1x一y一1=0， 由区y一1=0，解得任2 2x-y-3=0, ly=1, 所以l1与l:的交点坐标为(2,1). 显然A(0,一1)在直线1：上，设A(0,一1)关于直线2的对 称点为A'(a,b), 6+11 =一2 .8 a=5 解得 。则A(，-号) 9 2×4-62-3=0,6=-5， 所以直线11关于直战：对称的直战方程为 y-1= 8(x-2),即7x-y-13=0. 26 13.解：(1)设A美于直线1的对称点为A'(m,n), n-0 财m一2一2. 解得m=一2， m+2-2×” ln=8, 2 2+8=0 故A'(一2,8).图为P为直线1上的一点， 则IPA|+IPB|=|PA'I+|PB|≥A'B|, 当且仅当B,P,A'三点共线时，|PAI十|PB|取得最小值， 为|A'B引，点P即是直线A'B与直线l的交点， 180 。得一2故点P的坐标为(-2,3》. 则x-2y+8=0,得y=3. (2)A,B两点在直线1的问侧，P是直线1上的一点， 刚|IPB|-lPA≤AB|, 当且仅当A,B,P三点共线时，川PB|一PA|取得最大值，最 大值为IAB|,点P是直线AB与直线【的交点，又直线AB 的方程为y=x一2， 内化-2。 。得=12， y=10, 故点P的坐标为(12,10). 14.解：(1)直线1：kx一y+2+4k=0(使∈R), 即y=k(x+4)十2， 直线1过定点B(-4,2),=号=一号 因为直线1不经证第三象限，所以一豆<质≤0， 事的系维范国一音可小 (2)依题意，直线1交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴 于点B,O为坐标原点，则>0， 由kx-y十2+4k=0,令x=0,得y=2+4k; ◆y=0,释x-24是-4 k 所以A(←是-40），B0,2+4 所以S=名×（侯+4）×2+)=（侯+）×1+2) =8+ 2+8≥8+2，√层·8=16， 2 当且仅当2 腿，即方时华号成 光时直线1的方程是y2（红十4)+2，即2一2y+8=0 分层作业（十五） 答案速对 123 45611 1213 C AD B C BC 7.x2+y2=28.(x-2)2+(y-3)2=5 14.(x+2)+(y-2)2=4或(x+6)2+(y十6)2=36 试题精析 1.D[报据圈的标准方程(x+1)2+(y+1)2=2, 可得圆心坐标为（一1，一1），半径为√2.故速D.] 2.B[由题意知，圆心是(3，一1)， 国的半径r=√(3-7)+(-1+4)了=5， 所以周的桥准方程为(x一3)十(y十1)1=25.] 3.C[由圆的标准方程为(x+1)2+y2=1, 得圈心坐标为（一1,0）， 国此，国心到直线x一y+3=0的距离d=-1+3 /1+(-1)7 2.故选C.] 4.AD[由题意可知，圆心在直线x十y■0上，设圈心坐标为 (a,-a),圈的方程为(x-a)+(y十a)=5. 将点(2,1)代入方程，即(2-a)2十(1+a)2=5, 解得a=0或a=1,所以圆的标准方程为 x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)=5.故选AD.] 5.B[由于点(2a,a-1)在圆内， 所以(2a)2+(a-2)2<13, 所以5a-4a-9=(5a-9)(a+1)<0, 所以-1Ka<号故选且] 6.C[由图C:x+y2=2,得C(0,0),半径r=√2 所以|AC|=√m+(m-3)7=√2m-6m+g -+号≥9 所以点A到属C上的点的最小距离为-厅=号 故选C.门 7.x2+y2=2[图为P(-1,1),Q(1,-1),所以线段PQ的中 点为(0,0)， |PQ|=√/(-1-1D+(1+1)F=22, 所以以PQ为走径的圆的标准方程为x2十y°=2.] 8.(x-2)十(y-3)2=5[法一：由圈M经过点(0,2)和(0， 4),可如周心M在直线y=3上. 又圆心M在直线2x-y-1=0上， 联立=3， 得F=2, 2x-y-1-0,y-3. 所以M的坐标为(2,3)，率径r=√/(0一2)+(2-3)=√5， 所以圆M的桥准方程为(x一2)2十(y-3)2=5 法二：设圆M的标准方程为(x一a)2十(y一b)2=r2(r>0), 2a-b-1=0, a=2, 则(0-a)产+(2-b)2=r2,解得b=3, (0-a)2+(4-b)2=r,r=5. 所以圆M的标准方程为(x一2)2十(y一3)2=5.] 9.解：(1)圈心是(4,0)，且过点(2,2)， 故半径r=√/(4-2)+(0-2)7=2√2， 所以园的标准方程为(x一4)严+y2=8. (2)设圆心为(0，a), 可得√/(0-3)+a-(一4)=5，解得a=0戎a=-8. 故圆的标准方程为x2+y3=25或x十(y十8)'=25. 10.解：(1)设B(x1y1),C(xy), 边AB的中点D作是，安) 由题意可知，中线CD所在的直线【：的方程为y=x 则=， l7x:-y2-18=0, 解得3， ye=3. 3-14+5 由2 2解得口1=2 7x1-y1-18=0, y1=-4. 故B(2,-4),C(3,3). (2)|AM|=/(-1-3)+(5-2)=5, |BM|=√(2-3)+(-4-2)F=√37， 1CM|=√3-3)2+(3-2)-1， 由1<5<√37，可知，点C在司内，点A在國上，点B在间 外，所以半径P=5, 故图的标准方程为(x一3)2十(y一2)2■25. 11.BC[设围心C(a,b),由题意可知CA|=CB引， 即√a+6=√(a-2)+6,解得a=1, 周为△ABC为直角三角形，则∠ACB为直角， 刚|AC+|BC2=|AB|, 即a2+b2+(a-2)2+b2=4, 解得b=土1，则国C的半径为CA|=√a+b=√2， 圆心为C(1,土1)，因此，图C的标准方程为(x-1)2+(y十 1)2=2我(x-1D+(y-1)2=2.故选BC.] 12.B[装立=x+2,解得=-： y=2x+k+1, y=3k-1, 则直线y=x+2k与y=2x十k+1的交点为（使-1,3k-1), 依题意得(k一1)+(3k一1)2<4， 每得-号. 所以实载质的取花国是一吉<<1.故选B] 13.A[由题意知，圆C的圆心C(4,一3)，丰径为3. 设所求园的围心为C(a,b), 由圆C和圈C关于直线1对称得，点C和点C美于直线1 对称， 女a+二3+ 2 -3=0, 2 b+3、 潮存=6， a-4×(-1)--1, b=-1 则所求周的标准方程是(x一6)十(y十1)2=9.故选A.] 14.(x+2)+(y-2)=4或(x+6)+(y十6)=36[设所 求周的标准方程为(x一a)十(y一b)=a, 国为所装圆与两坐标仙都相初，所以b=士a, 当b=a时，周心(a,a》在直线2x-y十6=0上， 则2a一a+6=a十6=0，解得a=一6， 此时，所求圈的标准方程为(x十6)2+(y十6)=36： 当b=一a时，则凰心(a,一a)在直线2x一y十6=0上 则2a十a+6=3a+6=0.解得a=一2， 此时，所求圈的标准方程为(x十2)2十(y一2)=4. 综上所迷，所求圆的标准方程为(x十2)十(y一2)2=4或 (x+6)+(y+6)2=36.] 15.解：设C(m,n),因为A(2,0),B(0,4), 由重心坐将公式得重心为（件”，生）， 代入歌拉线的方程得m一n十4=0，① 4-0 又AB的中点为(1,2)，kA=0-2 =-2, 所以AB的垂直平分线方程为x一2y十3=0. 联立-2+3=0， {x-y+2=0, 解得2=一1， y=1, 所以△ABC的外心为（一1,1）. 由三角形外心到两个顶点的距离相等， 剩(m+1)2+(n-1)3=32+(-1)=10, 化简得m2+n+2m-2m=8.② 811 联立①②得m■一4，n■0我m■0，程■4. 当n=0,n=4时，点B,C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是（一4,0） 综上所述，△ABC的外接图圆心的坐标为（一1,1）， 点A到圆心的距离r=√/(2+1)+(0一1)=√10， 所以△ABC外接圆的方程为(x+1)+(y一1)”=10. 分层作业（十六） 答案速对 1 2 3 5 6 9 A AC B B 7.x2+y2-2x-4y-5=010.2m-4 11.x2+y2-2x-2=0 试题精折 1.A[将圈x1十y2十2x4y一4=0化为标准方程，得 (x+1)+(y-2)2=9,所以园心坐标为(-1,2)，半径为3] 2.B[设外接圈的一极方程为x十y十Dx十Ey十F=0,D +E2-4F>0. 因为A(1,1),B(4,2),C(3,0)三点在圈上， 1+13+D+E+F=0, 所以有{4°十22十4D十2E+F=0, 32+02+3D+F=0, /Dm-5, 解得《E=一3， F=6, 故外接圆的方程为x+y一5x一3y十6=0.故选B.] 3.D[圆x2+y2一2x+4y一4=0的國心坐标为(1，-2)，半 径为3. 设点(1，一2)关于直线x十y一1=0的对称点为(m,n), (n+2 解得/m=3, +g2-1- n=0. 则圆x2+y2一2x十4y一4=0关于直线x十y一1=0对称的 圈的圆心坐标为(3,0)， 所以该图的方程为(x一3)2十y2=9 故选D.] 4B[x+y2-x+y+m=0整理为(-2)广+(6+) 一号-m…由道意辉侵-m>0, 1 1+1-1-1+m>0, 解得0Cm<受故选民] 5.AC[由4a2-4(-b2-1)=4a2+46+4>0,知方程x2+ y2-2ax一b2-1=0表示圆心为(a,0)的国，A正骑： 4a2-4(-b2+1)=4a2+4b”-4,当4a3+4b2-4>0时，表 示圆；当4a2+4b2-4=0时，表示点：当4a2十462-4<0时， 不表示任何图形，B错误， 因为（←）广-4×(-9》-碧0>0， 182 所以方程x+y-3y一9=0表示圈， 方程+y-青y-9=0可化为+(-号）广-警所以 國半径r= 一，C正确， 3 方程x十y2-2x-4y十5=0可化为(x-1)2+(y-2)2= 0,它表示点(1,2)，不是国，D错误，门 6,B[由题含知M沿=2，即MA-2MB1. 设M(x,y), 别√(x+4)+y=2√x-2)+y, 整理得x十y一8x=0.故速B.] 7.x2+y2一2x一4y-5=0[设圆的标准方程为(x-a)2+(y -b)3=r2, /(-2-a)+(3-b)=r, 由题意得（(2一a)+(5-b)2=r2, 3a-b-1=0, a=1, 解得6=2， r2=10, 故圆的标准方程为(x一1)2+(y一2)2=10， 即x2+y2-2x-4y-5=0.] 8解，度线AB的例奉=吕号-1 所以AB的垂直平分线m的斜率为1. AB的中点的被金标和风金标分别方：一空子， 57 因此，直线m的方程为y一2=x一2，即x一y一1=0. 又园心在克线1上，所以圈心是克线m与直线！的交点， 联立方程组任一y二10：。解得任=3 2x-7y+8=0, y=2, 所以围心坐标为C(3,2). 又半径r=|CA|=/I3, 别黑C的方程是(x一3)2十(y-2)2=13, 即x2+y°-6x-4y=0. (2)设线段PQ的中点M(x,y),P(xoyg), 2x, x。十8 由M为线段PQ的中点，得 y。+0 2=y, 解得。=2红-8， y。=2y. 将P(2x-8,2y)代入圈C的方程中， 得(2x-8-3)+(2y-2)2=13, 即线段PQ的中点M的轨证方程为 (-》+g--是. ,即x3+y2-11x-2y+28=0. 9.B[将圈的一般方程整理为标准方程可符(x一m)2十 (y-2)2=-m2+4m十5， 则一m2十4m十5>0，解得一1<m<5,且周的半径r= √/一m+4m+5=√/一(m-2)+9≤3， 当且仅当m=2时，等号成立，即圆的半径的最大值为3，所 以围的最大面积为9π.故选B.]智学分层作业 智学分层作业（十五） 圆的标准方程 (满分：100分) ·基础对点练· 1.(5分)圆(x+1)2十(y十1)2=2的圆心坐标和 半径分别为 ( [A](1,1),2 [B](1,1),√2 [c1(-1,-1),2 [o1(-1,-1),2 2.(5分)以(3，一1)为圆心，且经过点(7，一4)的 圆的标准方程是 () [A](x-3)2+(y+1)2=5 [](x-3)2+(y+1)2=25 [c](x+3)2+(y-1)2=5 [D](x+3)2+(y-1)2=25 3.(5分)圆(x+1)2十y2=1的圆心到直线x一y +3=0的距离为 ( [A]1 [B]2 [c]√2 [D]22 4.(6分)（多选题）圆上的点(2,1)关于直线x十 y=0的对称点仍在圆上，且圆的半径为√5，则 圆的标准方程是 ( [A]x2+y2=5 [B](x-1)2+(y-3)2=5 [c1x2+(y-2)2=5 [D](x-1)2+(y+1)2=5 5.(5分)点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=13的 内部，则实数a的取值范围是 (9,引 o(←1，) o号 o(3o) 6.(5分)已知圆C:x2+y2=2,点A(m,m一3)，则 点A到圆C上的点的最小距离为 [A]1 [B]2 2 [o32 2 0口■0口■▣■口0 ■口■▣D□ 学 刀▣四初2 题卡信息 年级： 刀幻 后 44▣4和04 班级： 505]5]505 位 60000四 姓名： 口口口02口 HH 9n9■9J9■9■ 7.(5分)已知P(-1,1),Q(1,一1)，则以PQ为 直径的圆的标准方程为 □ 8.(5分)已知圆M经过点(0,2)，(0,4)，且圆心 M在直线2x一y一1=0上，则圆M的标准方 程为 口 19876543210+0.5 9.(12分)求满足下列条件的圆的标准方程， (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)： (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，一4). ■ 1987643210+0.5 10.(13分)在△ABC中，点A(-1,5),边BC所在 直线l,的方程为7x-y-18=0,边AB上的 中线所在直线L,的方程为y=x, (1)求点B和点C的坐标： (2)以M(3,2)为圆心作一个圆，使得A,B,C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个 点在圆外，求这个圆的标准方程 。能力提升练· 11.(6分)（多选题）已知圆C经过点A(0,0), B(2,0),△ABC为直角三角形，则圆C的标 准方程为 () [A](x-1)2+(y-1)2=4 [B](x-1)2+(y+1)2=2 [c](x-1)2+(y-1)2=2 [o](x-1)2+(y-2)2=5 12.(5分)已知两直线y=x+2k与y=2x+k十1 的交点在圆x2十y2=4的内部，则实数k的 取值范围是 ) [-号k<-1 1 []-5<k<1 e-<k< [D]-2k<2 3 智学分层作业 13.(5分)圆C:(x-4)2+(y+3)2=9关于直线1： x十y一3=0对称的圆的标准方程是() [A](x-6)2+(y+1)2=9 [B](x+6)2+(y-1)2=9 [0](x-6)2+(y-1)2=9 [D](x+6)2+(y+1)2=9 14.(5分)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x 一y十6=0上的圆的标准方程是 19876543210+0.5 15.(13分)（创新拔高题）数学家欧拉在1765年 提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一 直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距 离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧 拉线.若△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),且 △ABC的欧拉线的方程为x一y十2=0，求 △ABC外接圆的方程.