分层作业(6)用空间向量研究距离问题-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

所以BD,·m=-2×1十(-2)X1+十0=-4≠0，周此直 线B,D,与平面EFG不平行，故B错误， 对于C,BB1·m=2≠0，且直线BB1丈平面EFG,故直线 BB:与平面EFG相交，故C正确： 对于D,A1D=(一2,0，-2)与m=(1,1,1)不共线，故直线 A:D与平面EFG不垂直，故D错误. 故选C,门 12.D[如图，以D为坐标原点，DA D心，DP的方向分别为xy,z轴的 正方向，建立空间直角坐标系， 则D0.00,p(00,4） B2,40.E(10,2）. F(层台得)a成-(1,2). =(号) 设平面DEF的法向量为n=(x,y,z), 成=+25=0. 则 成=号++=0 令x=5,得n=(-2,-1,5) 设Mm,0,则P成-(m,-4）。 图为PM⊥平面DEF,所以PM∥n, 4v5 5 8 一，解得m=行n=万 故DM-后+7-5] 13.解：(1)在直三枚柱ABCA,B,C,中，C1C⊥平面ABC,又 ∠BCA=90°， 以点C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), 所以BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2),BA·CB=3, IBA=6,ICB=5, 所以欧面-： BA·CB 3 √30 √6×√5 10 2证期：C00,2.B0,10N1,0,M(合，2 所以C-(合，0， C1N=(1,0,-1),BN=(1,-1,1) 所以CM,B时=号×1+号×(-1)+1X0=0, CN.BN=1×1+0×(-1)+(-1D×1=0, 所以C,M⊥BN,CN⊥BN,即C,M⊥BN,C1N⊥BN, 又C,M,C,NC平面CMN,C,MnCN=C1, 所以BN⊥平面C,MN. 分层作业（六） 答案速对 10 A D A A D 7. 试题精祝 1.A[因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以A户=(2,0,1)， 剥A-5, 则点P到直线l的距离d= 2 故选A.] 2.C[如图，建立空问克角坐标系，则C(1,1,0),C(1,1,1), E0,21)所以=(1,2，-)，0=00,1D。 所以点C,到直线EC的距离d cC,-（ CC,·EC IECI -哥-c 3.D [AM=PM-FA=2PB+3PC, 剥|AM1=,√(2PB+3P元) =√4Pi+12Pi.P元+9P心 -√4+12x1x1x7+9-, Ai1=√PB-PA =√PB-2Pi·PA+PA =/1-2×1×1×2+1=1. 周为AM.Ai=(2P克+3P心)·(P克-PA =2Pi-2Pi,Pi+3P心.Pi-3P元.Pi =2-2X1X1×7+3X1X1x2-3X1X1x7-1 631 所以点M到克线AB的距离 AM·AB d AM =32.故选D.] AB 4.A[依题意，AD=(0,1,2),而a=(1,1,1)为平面a的一个 法向量， 所以点D11,2》到平面a的延离d-市.a-是=后. al 3 故选A.] 5.A[如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1分别为x,y, 勃建立空间直角坐标系，因为M是AA,的中点， 所以M(e0,a)A,(a0,a.Baa,0),所以Ai= (0,-）,D成=(a0,2)i=aa,o. 设平面MBD的一个法向量是n=(x,y,z), n…DMi=ax+zax=0, 则 取x=1,得n=(1,-1.-2), m.Di=a.x十ay=0. 故点A,到平面MBD的笼高d=A访，侧 n （-2)x-2 6a,故造A 6.C[由题意建立空间克角坐标系，如围所示， 则D,0,0,1)A1.0.0E(0,20）C(0.1,10 AD=(-1,01,A2-(1,20）,AC-=(-11,1, m·AE=0, 设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则 n·AC=0, 可得 -x+7=0 -x十y十z=0, 令x=1,则y=2,x=-1, 所以平面AEC1的一个法向量n=(1,2,一1) 点D到平西ABC,的矩高d=证，m-1-11_店 n/1+4+ī3 故选C,] 64 7.√厅[由题意知，直线1的一个方向向量为P可=(1， 0,-1), 取直线【的一个单位方向向量为 又Pi=(0,-3,-2), 所以PA·m=2,AP=√3， 所以点A到直线1的距离为，PA一(PA·m) =√3-2=I.] 8.解：如图，建立空间直角坐标系Bxyz, 则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0), Q(4,6,2),B(0,0,4) (1)因为QM=(-2,-3,2), Q2=(-4,-2,-2), 所以QM在QP上的投影向量的长度为 1M:a18+6-Ls5具o=1i, 1Q驴1 /16+4+4 所以点M到直线PQ的距离d1= √@成-(T'--百=@ 6 (2)设平面AB1P的法向量为n-(红，y,x), 剥n⊥AB1,n⊥AP 国为AB7=(-4,0,4),A市=(-4,4,0)， n·AB,=-4x十4z=0, 所以 取x=1,则y=1,x=1, n·Ai--4x+4y=0. 所以n=(1,1,1)为平面AB,P的一个法向量 又图为M=(2,-3,-4), 所以点M到平而AB,P的距离 d,=i:m_2-3-4L56 n 3 3 9.D[由正方体的性质， 易得平面AB,D1∥平面BDC,, 别两平而间的距离可转化为点B到 平面ABD,的距离， 以D为坐标原点，DA,DC,DD,所 在的直线分别为x轴、y轴、轴，建 立如围所示的空间责角坐标系， 别A(a,0,0),B(aa,0), B1(a,a,a),D1(0.0,a),BA=(0,-a,0), AB1=(0,a,a),AD1=(一a,0,a),设平面AB:D:的法向量 为n=(xy,).则 n·AB=ay+ar=0, n·AD,=-ax+az=0, 令x=1,别y=-1,z=1, 所以平面AB:D1的一个法向量为m=(1,一1,1)， 别两平面问的距离d=B:。&-尽。 n -3a,故速D.] 10.C[取AB的中点O,连接PO,OO',AE,因为PC=PD, O为CD的中点， 所以PO⊥CD,义平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面 ABCD=CD,POC平面PCD, 所以PO⊥平面ABCD,因为OO'C平面ABCD, 所以PO⊥O', 又底面ABCD是矩形，所以OO'⊥CD, 以点O为坐标原点，OO,OC,OP所在直线分别为x,y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， D 由PC⊥PD,PC=PD,CD=6,得PO=3, 所以A(3,-3,0),B(3,3,0),P(0,0,3), 则A0-(-3,3,0),设BE-ABP(0≤A≤1)， 则E(3-3以，3-3x,31),A正=(-3x,6-3x,3), AE1=√27a-36A+36, A0.A正(-3,3,0)·(-3A,6-3x,3a) 1AOI W9+9 -9A+3(6-3)18 =3√2， √9+9 32 因此点E到直线AO的距离 d= IAE- AO.AE 1AO1 -V2m-96+18-√2(-)+6， 时，d取装小值6，即线段PB上6 线AO的距离的最小值为√6.故速C.] 11.解：(1)以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为 y2轴，建立如图所示的空问直角坐标系， D B B 则A(0,0,0),B1(2,0,4),E(1,4,0),C1(2,4,4), D1(0,4,4),所以AB1-(2,0,4),AE=(1,4,0), AC=(2,4,4). 设平面AB1E的法向量为m=(a,b,c), 所以 g·m=02a+c0 AE·m=0, a+4b=0. 取a=-4,则6=1，c=2, 所以m=(一4,1,2)为平面AB:E的一个法向量， 所以点C1到平面AB,E的距离 d,-AC:m-8+4+814a m √16+1+421 (2)AB=(2,0,4),AD,=(0,4,4),AE-(1,4,0). 设n=(x,yz)为平面ABD,的法向量， JAB·n=0, 即/2x+4红=0， AD:·n=0, l4y+4z=0. 令x=1,得n=(-2,一1,1)为平面AB1D1的一个法向量 所以点E到平面AB,D,的距高d,-正nl一后 又D1A=42,AB:=DB,=25, 将以5aA-名×4巨X2月-4后。 所以V-马-号X46X后=8 12.解：(1)证明：在平面ABC内，过点 A作Ax⊥AC,因为PA⊥平面ABC, 则以A为原点，以Ax,AC,AP所 在直线分别为工，y,2轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 国为△ABC是边长为4的正三角形，则A(0,0,0), B(23,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),E(5,3,0),F(0,2,0), Q停o)所a成-（停是小 而AE=(W3,3,0),即有A正=2F可，又AE,FQ无公共点， 则AE∥FQ. 又FQC平面PFQ,AE平面PFQ 所以AE∥平面PFQ, (2)由(1)如AE∥平面PFQ,则点A到平面PFQ的距离即 为直线AE到平面PFQ的距离， 设平面PFQ的法向量为m=(x,y,2), F市=0，-22，成-（停号0）=020 期商-停+号-01M-石=小 n·F=-2y+2z=0. 所以n=(一√5,1,1)为平面PFQ的一个法向量 图此点A到平面PFQ的矩离4=A市，n_225 55 所以直线AE到手有PFQ的至高为 分层作业（七） 答案速对 D 6 1. 试题精析 1.B[设直线14,4所成角为0,0<0≤受，所以cos0 1 =co8(m1,n:)川= EX万z,所以9故选B] 2.A[建立空间直角坐标系，如图 所示， 授正方体棱长为2，则D(0,0,0), E(1,0,0),D1(0,0,2),B(2,2,0), A1(2,0,2), 所以D1E=(1,0,-2), A1B=(0,2,-2). 65智学分层作业 智学分层作业（六） 用空间向量研究距离问题 (满分：85分) ·基础对点练· 1.(5分)已知直线1过定点A(2,3,1),且方向向 量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到1的距离为 () w32 [D]2 3 2.(5分)在棱长为1的正方体ABCD- A,B,C1D1中，E为AD1的中点，则点C1到 直线CE的距离为 () 1 [A]3 8 3 6 3 toj/6 3.(5分)PA,PB,PC是从点P出发的三条线 段，每两条线段的夹角均为60°，PA=PB=PC =1.若M满足PM=PA+2PB+3PC,则点 M到直线AB的距离为 () [A]5 [B]3 [c]25 [D]3√2 4.(5分)已知a=(1,1,1)为平面a的一个法向 量，A(1,0,0)为平面a内的一点，则点D(1,1,2) 到平面a的距离为 () [A],3[B],2 te]5 [D] 3 5.(5分)在棱长为a的正方体ABCD- A1BC1D,中，M是AA1的中点，则点A1到 平面MBD的距离是 () 。o点。 6a te]3 8 a 0口■0口■▣■口0 ■■@口■1▣■1■ 刀▣四02 题卡信息 年级： 学 刀幻口口 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 60000四 姓名 口口口02口 HH 909口9J09■ 6.(5分)（教材改编题）如图，已知正方体AB- CD-A:B,C,D1的棱长为1，E为CD的中 点，则点D,到平面AEC,的距离等于() D B A3 3 4 [ej 3 016 7.(5分)已知直线l过点P(1,2,1)和点Q(2,2, 0),则点A(1,一1，一1)到直线1的距离 为 □ 987654320+0.5 8.(12分)在长方体ABCD-A,B:C1D1中，AB 4,AD=6,AA1=4,M是AC1的中点，P在线 段BC上，且CP=2,Q是DD1的中点.求： (1)点M到直线PQ的距离： (2)点M到平面AB1P的距离. ·能力提升练· 9.(5分)已知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长 为a,则平面AB,D1与平面BDC1的距离为 ( ) [A]√2a [B]3a (o2 a (o) 3a 10.(5分)（创新拔高题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是 矩形，AB=2BC=6,PC⊥PD,PC=PD,点 O是CD的中点，则线段PB上的动点E到直 线AO的距离的最小值为 ( [A]√3 [B]2 [c]√6 [D]3 19876543210+0.5 11.(13分)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中， AB=2,BC=4,BB1=4,E是CD的中点. D (1)求点C,到平面AB,E的距离； (2)求三棱锥E-AB,D1的体积. 19 ■ 智学分层作业 19876543210+0.5 12.(15分)如图，已知边长为4的正三角形ABC, E,F分别为BC和AC的中点，PA=2,且 PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点. (1)求证：AE平面PFQ: (2)求直线AE到平面PFQ的距离. ■