分层作业(4)空间直角坐标系空间向量运算的坐标表示-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

智学分层作业 智学分层作业（四） 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 (满分：95分) ·基础对点练· 1.(5分)在空间直角坐标系Oxy2中，点A(1, 一2,3)在坐标平面Oyz上的射影的坐标是 () [A](0,一2,3) [B](1,0,3) [c1(1,-2,0) [D](1,0,0) 2.6分)a=3m,2,b=a-72,1小若aB, 则m十2n= ( [A]6 [8]7 [c]8 [D]9 3.(6分)（多选题）关于空间直角坐标系，下列说 法正确的是 () [A]点P(1,2,3)关于坐标平面Ozy的对称点 的坐标为（一1,2，一3） [B]点Q(1,0,2)在坐标平面Ozx上 [c]x=1表示一个与坐标平面Oxy平行的 平面 [D]坐标平面Oxy与坐标轴x轴垂直 4.(5分)已知空间向量a=(一2,1，m),b=(1, -1,0),p=(-1,2,t).若a,b,p共面，则 m十t= ( [A]-1[B]0 [o]1 5.(5分)已知向量a=(-2,一2，m),b=(2,1, 2),c=(4,-2,1).若a⊥(b-c),则m的值为 ( [A]-2 [B]2 [e]3 [D]-3 0口■0口▣■口0 ■■@口■1▣■1■ 学 刀▣四02 年级： 卡信息 和幻 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 C60)0四 姓名： 口口口D2口 HH 909■9J9■9 6.(5分)在正方体ABCD-A,B,C1D,中，M,N 分别是A,D1,B,C1的中点，则异面直线AM 与CN所成角的余弦值为 ( [A)5 016 7.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B,C,D1中，以点 D为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为 x轴，y轴，x轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，若向量AC1的坐标为（一4,3,2），则向量 D1B的坐标为 D 8.(5分)已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), p=a-b,q=a十2b一c,则p·q= .□ 9.(5分)已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2), 则向量AB在AC上的投影向量的坐标 是 口 10.(5分)已知A(1,0,0),B(0,-1,1).若OA+ OB与OB(O为坐标原点)的夹角为120°，则 λ= 7 19876543210+0.5 11.(14分)(1)已知A(1,一3,2)，B(一1,0,3)， 在x轴上求一点M,使|AM|=|MB; (2)在空间直角坐标系中，已知A(5,3, 32),B(3,1,2),在Oyz平面上求一点C, 使△ABC为等边三角形. ·能力提升练· 12.(5分)我国古代数学名 著《九章算术》中，将底 E 面为矩形且一侧棱垂直 于底面的四棱锥称为阳 B 马.如图，四棱锥P-AB CD为阳马，PA⊥平面ABCD,且AB=AD =AP=3,EC=2PE,AE.DE=( [A]-3[B]3 [c]2[D]5 13.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D 中，E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内 的动点，且满足AM⊥C,E,则线段AM的长的 最小值为 5 2 Eo]1 [o]5 ■ 智学分层作业 14.(5分)点P是棱长为1的正方体ABCD A1B1C,D1的底面ABCD上一点，则PA·PC 的取值范围是一· □ 19876543210+0.5 15.(15分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB, ∠BAF=90°，AD=2,AB=AF=2EF=1,点 P在棱DF上 (1)求证：AD⊥BF: (2)若P是DF的中点，求异面直线BE与 CP所成角的余弦值.图为PF-2EP, 所以EP=专EP,FP=号ER, 所以-球（+-） 1 =号-号（+-）=4 故C错误： o亦-0成+成-4-言4+ 6 c= 3+ -b+ 故D正确.故选ABD.] 8.A[如图所示，连接AM,AN,因为G是MN的中点，所以 花-号+矿， C B 图为M,N分别是A,C,BB,的中点， 所以AN=A店+B丽=A店+2AA, AM-AM+A,M-M+2A花， 则AG-号+A) =2(aA+2Ac)+2(ai+2An) -2+m+花， 又周为A店=2红+2A+花， = 所以可得y=解得y- -六 所以y十：=++片1做选A] 9.证明：如图，设Oi=a,Oi=b,O元=c, ∠AOB=∠BOC=∠AOC=8, 则la=|b1=|cl. 因为G是MN的中点， 所以0元=2O+O) =号[2oi+2oi+oò] -(a+b+e).BC-0-0B-c-b, I60 所以0成，C-a+b+e)e-b) -t(a:e-a:b+8.e-ste-6.c)-0. 所以OG⊥BC,即OG⊥BC. 10.解：1)AC-a+b,BD,-AD,-AB-b+c-a. (2)由题意得AC·BD1=(a十b)·(b十c一a) =a·b+a·c-a2+b3+b·c-b·a =0--1+1-9-0=- 又周为AC=2,BD1'=(b+c-a) =b2+c2+2b·c-2b·a-2e·a+a =1+2-2-0+2+1=4, 所以1BD1=2. 设AC与BD1所成的角为0，则cos0= A花.BD, AC·IBD, 2-号又0<0≤180，片以0-12w,所以直线AC 2√2 与BD,所成的角为60 分层作业（四） 答案速对 2 3 4 56 12 13 AC BCD BB A B B 14-》&-19(哈日)10-号 4[g 试题精析 1.A[在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,-2,3)在坐标平面 Oyz上的射影的坐标是(0，一2,3). 故选A,] 2.C[根据ab,则存在常数入，使得a=Ab, 3 =A, n一2 有以叫侣 可得m-4·所以m+2m=8.款选C.] n=2, 3.BCD[对于A,点P(1,2,3)关于坐标平面Oxy的对称点的 坐标为(1,2，一3)，故A错误： 对于B,点Q(1,0,2)的飙坐标为0，则点Q(1,0,2)在坐标平 面Ozx上，故B正确： 对于C,z一1，剥横、纵坐标为任意值，所以z■1表示一个与 坐标平面Oxy平行的平面，故C正确， 对于D,因为x轴、y轴均与之轴垂直，且x轴、y轴交于点 O,则坐标平面Oxy与坐标轴g轴垂直，故D正确.故 选BCD.] 4.B[若a,b,p共面，则a=b十p 即(-2,1，m)=(-,一入+2#4)， 2-u=-2, 久■一3， 所以{一A+2μ=1，解得#=-1， ut=m 十m=0。 故选B.] 5.B[因为b-c=(一2,3,1)，所以a·(b-c)m4-6十m=0, 解得m=2.枚选B.] 6.A[以D为原点，以DA,DC, DD:所在直线分别为x,y,x轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体ABCD-A:B:C:D1的 枚长为2，则A(2,0,0),M(1,0,2), C(0,2,0),N(1,2,2) 所以AM=(-1,0,2, CN=(1.0.2).cos(AM,CN) AM .CN ,志后X5=后故异面直线AM与CN所成 角的余弦位为子】 7.(4,3,一2)[可设DA=a,DC=b,DD1=c,依题意可得 A(a,0,0),C1(0,bc), 则AC=(-a,b,c）=(-4,3,2),所以a=4,b=3,c=2, 则点D1(0,0,2),B(4,3,0),所以D1B=(4,3,-2).] 8.-1[由已知p=a-b=(1,0,-1D,9=a+2h-c=(0,3,1D, 所以p·q=0+0-1=-1,] 2(后，言）[周为=(-120.花=11,2，所以 向量A店在A心上的投影向量是店：A花.Ad IACI ACI 密证丝标为正-（信吉）门 6 10.-5[图为A1,0,0),B(0,-1,1D, 6 所以OA+0B=(1,-A,A) 由题意得c0s120'=- 1 (OA+AOB).OB 2 IOA+0BIOBI a+a √/1+x+×2 所以16A2=以+2，且1<0，所以1=-5，] 11.解：(1)设M(0,0,z),由题意得 1+9+(:-2)7=√1+0+(：-3)F, 即z2一42十14=z2-6x十10，解得2=一2， 所以：轴上的点M(0,0,一2)能使|AM1=|MB. (2)设C(0,y,z),若△ABC为等边三角形， 则AC|=IBCI=IABI, 即√/(0-3)+(y-3)2+(:-32) =√(0-3)+(y-1)2+(:-2)=23, 解得=4”或y=0, g=2z=32, 所以点C的坐标为(0,4W2)(0,0,3W2). 12.B[周为PA⊥平面ABCD,AB, AD平面ABCD,所以PA⊥AB, PA⊥AD. 又因为国边形ABCD是矩形，所以 AB⊥AD. 以A为坐标原点，AB,AD,AP的 方向分别为x,y,2轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,3,0),C(3,3,0)P(0,0,3),E(1,1,2), 所以AE=(1,1,2),DE=(1,-2,2), 所以AE.DE-1-2+4=3.] 13.B[如图所示，建立空间直角坐标系， 则A,(0,0,1),C1(1,1,1), E(号0,0)国为点M是底面ABCD 内的动点，设M(x,y,0)(x>0, y>0),所以A:M-(xy,一D, -(. 南A,M1CE,得-2-y十1=0，所以y-1-名 1 i=E+可=√气-x+打 =√/(-)+写，所以多x=号时，线段AM的长最 小，最小佳为5长选] 4[ [以D为原点，以DA所在直线为r轴，DC所 在直线为y轴，DD,所在直线为x轴，建立空间直角坐标 系，如图所示， D -P 则A(1,0,0),C1(0,1,1), 设点P的坐标为（红y,0),由题意可得0≤x≤1,0≤y≤1， 所以PA=(1-x,-y,0),P元1=(-x,1-y,1D, 所以PA.P元=-x(1-x)y(1-y)=x2-x+y2-y -(-)'+(6》广- 由二次品数的性度可得，当xy一宁时，成·P元取得最 小位为一合 当x=0或1，且y=0或1时，PA·PC取得最大值为0， 对所，庇，的取位花周是[安可小门 611 15.解：(1)证明：周为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平 面ABCD=AB,AD⊥AB,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面 ABEF,又BFC平面ABEF,所以AD⊥BF (2)因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB. 文AFC平面ABEF, 由(1)得AD⊥AF,AD⊥AB, 所以以A为坐标原点，以AB,AD, A下的方向分别为工，y,:轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系Axy, 则B10,0,E(20,1P(o1,2）,C1,2,0, 所以酝-(-0,1)-(-1，-1,2) 所以os(成，C币)= B匝.C币45 BE·1cP15 即并面直线BE与CP所成角的余孩值为 15 分层作业（五） 答案速对 1234567101112 A D ACD ABD B C B A C D 8.69.1 试题精折 1.A[因为l∥a,所以a⊥b,即a·b=0,即-3十2x-5=0,解 得x■4.故远A.] 2.D[周为平面a∥B,所以两个平面的法向量平行，只有D项 特合，故选D.] 3.ACD[因为AM=A+AM=A有+号Ai,D,户= DD+D币=AA+之A店，所以AM∥D产，所以AM∥ D1P,故A正确：由线面平行的判定定理可知，A,M∥平面 DCC,D1,A1M∥平面DPQB,故C,D正确，因为PQ与 D1B1平行但不相等，所以四边形D1PQB1为梯形，即D1P 与B,Q不平行，所以A1M与B1Q不平行，故B不正确. 4.ABD[因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.又AC⊥BD, AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC,所以BD⊥平面PAC 因为PCC平面PAC,所以PC⊥BD.故选项B成立，选项A 和选项D星然成立.] 5.B[由AB,BC=0,得3+5-2：=0，所以2=4. 又因为B驴⊥平面ABC, 萨·i=0任-1+5+0 所以 BP.BC=0, 3x-3+y-12=0, 共（供共 解得 6.C[因为平面a⊥平面3，所以平面a的一个法向量与平面B 的法向量垂直，即它们的数量积为0. 对于A(-12,）(21,）-2+2+日-g 162 0,故A错误： 对于B,(2-1,0)…（-2,1,2）=-4-1+0=-5≠0，故 B错误： 对于C,12,0)…(-21,2)=-2+2+0=0,故C正确： 对于D.(分12·(-21，号）-1+1+1=1≠0，故D 错误，故选C.] 7.B[如围，以D为些标原点，线役DA的 长为单位长度，DA,DP,DC所在直线分 别为工轴、y轴、z抽，建立空间直角坐 标系。 别D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1), P(0,2,0), 所以D0-(1,1,0),DC=(0,0,1),P0-(1,-1,0). 周为P·D=0,Pi.DC=0, 所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,文DQ∩DC=D,DQ,DCC平面 DCQ,所以PQ⊥平面DCQ. 又PQC平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.] 8.6[因为l1:,所以ab,故存在实数A使得b■a, 向量a=(1,-2,4),b=(2,4x,y+1), 2=1, 网二：解得-”所以+y=6] y+1=4, 9.1[由A1,4,2),B(3,k,-2),得AB=(2,k-4,-4). 周为n=(1,一2,2)是平面a的一个法向量，点A(1,4,2), B(3,k,一2)在平面a内， 所以n·A市=(1，-2,2)·(2，k-4,-4)=2-2(k-4)-8 =0,解得k=1.] 10.A[平面x一2y+2=0与2x一x+1=0的一个法向量分 别为m1=(1,一2,0)和m2=(2,0,-1),设直线【的一个方 向向量为n。=(x,y,z), 则m1:一2y=0不坊取工=2，则m4=2,1,4.故 m:·n。=2x一z=0, 选A.] 11.C[建立如图所示的空间直角坐标 系，设正方体的棱长为2 则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,1,0),4 A1(2,0,2),B,(2,2,2),G(0,1,2), D(0,0,2),F(0,2,1). 从而有A,F=(-2,2,-1), B,D=(-2,-2,0),BB1=(0,0,2), A1D=(-2,0,-2),E=(-2,0,2),EF=(-2,1,1). 对于A,因为GFD,C,DC∥AB,所以A1G,F,B阿点 共面， 而E在平面AA1B1B内，且平面A,GFB∩平面AA,B1B =A1B, 点E不在直线A,B上，所以点E不在平面AGFB内， 所以直线A,F与直战EG异面，故A错误： 对于B,设平面EFG的法向量为m=(xy,z), (E武·m=-2x十2x=0, 则市，m=-2x十y十：=0 从而可取m=(1,1,1)是平 面EFG的一个法向量，