分层作业(2)空间向量的数量积运算-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

品-成+ò+球-+品可-成+厨 =HA.] 分层作业（二） 答案速对 1 45： 6 7 1011 D D AC:C D D 12.309 试题精析 1.D[如图，在枚长为2的正方体ABCD-A1B,CD1中， D AM·BC-am1·BC1cos-2x2w2×g -4 故选D.] 2.A[若a·b=a·b|,则(a,b》=0,此时a与b共线：若a 与b共线，可得(a,b)-0或(a,b》=π，此时有a·b=|a|·|b 戎a·b=一la|·bl.故“a·b=la·lb"是“a与b共线" 的充分不必要条件，] 3.D[因为E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，四面体AB- CD是正四面体，且棱长为2，所以G求.G市=(G式+CA+ :=(动+i+a)·试=动 ,Ci+2C+Ai.di=-×E×巨co60+号 ×2)+子×x/Ecos120=] 4.AC[如图， 在长方体ABCD-A:BC1D,中，图为BC⊥平面ABB:A:, 所以BC⊥A:B,所以A,C在A,言方向上的投影向量为 AB,故A正确： 图为在Rt△A1BC中，∠A1BC=90°，所以BC与A1C不垂 直，所以AB在AC方向上的投影向量不是A,C,故B 错误； 国为B1B⊥BC,D,C⊥BC,所以B,D,在BC方向上的投影 向量为BC,故C正确： 虽然B,B⊥BD,但CD1与B,D,不垂直，所以BC在 B,D,方向上的授彩向量不是B1D,故D错误.故速AC.] 158 5.C[图为|2a-3b=(2a-3b)°=4a2+9b2-12a·b=4× 4+9×9-121a·b1c0s60=97-12×2×3×2=61,所 以|2a-3b|■√6江.故选C.] 6.A[因为OM=2MA,BN=CN, 所以M=O成-OM-号(Oi+Od)-子a耐 =-+i+2记 又0A=OB=0C=2,∠A0C=∠BOC=7,∠A0B=F, 所以0i.0元=0,0i.0元=0， ai.0i-oi1·0i1·cos弩-2， 所以M-(-子ai+2O+2心)-。a成+ +心-号耐.成-号耐.0心+丽.元 -÷1+0i+1成-耐.成-号×2 +号×2+×-号x2-号所以1m=厘 所以MN=区.故选A.] 3 7.D[设a与b的夹角为0，由a=b+c,得a-b=c 两边同时平方，得a2-2a·b十b2=c2, 所以1-2X1X20s0+4-7,解得c0s0=-2 又0°≤0≤180°，所以0=120°.故选D.] 8.证明：设Ci=a,Ci=b,CC=c,则a=b=e. 由题意可得CA,=a+b十c, 别CA,·Bi=CA·(Ci-Ci)=(a+b+c)·(b-a)= b2-a2+e·b-e·a=|c|·1b|cos60°-|c·a|· os60=0,所以CA1⊥Bd,中CA1⊥BD.同理可证CA1⊥BC. 图为BD∩BC,=B,BD,BCC平雨C,BD, 所以CA1⊥平面C,BD 9.C[2BA·AC=2a·a·cos120=-a',故A错误2A方 成=-，tB错误2成市-a。·om10一4， 故D错误，只有C正确.] 10.B[如图所示，由三角形中位线的性质， 可得EF∥AC,EF=号AC,HG∥AC, HG=2AC,所以EFLHG, 所以国边形EFGH是平行图边形， 因为E心-E市+Ei,H市-E京-Ei, 所以E心+H一(E+Ei)?+(E正-Ei) =2(EF8+E币2)=2×(4十1)=10.故选B.] 11.D[Mi·Mi=(MO,+O,A)·(MO,+O,B)=Mo+ MO·0,B+MO,·O,A+OA·0,B-MO-O1A =MO2-22≥4-22=12，当且仅当M与0重合时，等 号成立，故M·M丽的最小值为12.] 12.30°[因为∠ABC=90°，所以BA·BC-0. 又DA-BA-B币，所以BC·DA=B戒，(BA-Bj) =BC.BA-Bt.BD=-√3， 所以B戒，B市=3】 又BC-1,BD=2, 所以BC.Bd-BCIBD1·cos∠CBD-2cos∠CBD-√3， 所以<CBD-停 又0°<∠CBD<180°，所以∠CBD=30°.] 13.解：(1)证明：设CA=a,Ci=b,CC=c, 根据题意得，la=bl-cl,且a·b=b·c=a·c=0, 所以正-成+成-成+丽-b+, 防=i+=成+2成-i=-+号02 1 所以主.防-(b+2)(-e+b-2) =-2+2=0, 所以C克⊥A方，即CE⊥A'D. (2)周为AC-AA+AC-cC-Ci=-a+c, 所以ac1-E1al,2-al。 国为d.应-(-a+e(b+)-2c=al片， 所以cos(AC,Ci)= 含o √/10 10 所以C正与AC所成商的余孩值为 101 分层作业（三） 答案速对 2 3 0 D D ABD 试题精析 1.D[由向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底，知OA, OB,OC三向量共面，所以0，A,B,C四点共面.] 2.D[国为萨=E成+Bi+A市+D亦=-寻B丽-A+A市 +号D丽=-号a-A+币+2A=-A++ 名a所以x-1y-1-名，故x+y+-合故 选D.] 3.C[连接DN,如图所示， 在四面体ABCD中，DA=a,Di=b,D元=c, 又点M在枚DA上，且DM=3MA, 所以D-是成 又N为BC的中点， 所以D丽-是D成+心， 所以M衣=M市+D成 -i+2Di+心 41 4D[由题意，设存在唯一的实数对(x,y),使得A言=xAC+ yAj,即2a-3b=x(a-c)+y(2b+c),剿2a-3b=xa+ 2b+y-c,则=2y=-号y-=0 解得A=一3故选D] 5号[设=a,C=b,=e, 以M-M+A,B+BN-号B不+A店+号B,C -号-++号花-前 -+a+aM=号a+b+e. 国为(a+b+e)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c -1+1+1+0+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°-5， 所以1M1=吉a+b+e=] 6.解：(1)因为D,E分别是PA,BC的中点， 所以店-防+P心)-i+成-+， 时-i-, 所以证-呢-市-b+- 11 又亦=成，所以亦-号硫， 则市=币+亦-币+成 -+(位b+c-)小-b+c+日a (2)国为PA=4,PB=5,PC=3,∠APB=∠BPC=60°， ∠CPA=90°， 所以Pi,P哺=i·Pcos∠APB=4×5×2=10. 又AC-P元-PA-c-a, 所以序，心-(+c+合)小e-) 1 4×3×0=-7 7.ABD[如图所示，固为E,F分别是OA,BC的中点，所以 O=2(0丽+6心)=2O丽+2心=号6+2，故A 正确： 球-0亦-o庞=b+-a. 591智学分层作业 智学分层作业（二） 空间向量的数量积运算 (满分：85分) ·基础对点练 1.(5分)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1·BC= () [A]2√2 []42 [c12 [D]4 2.(5分)已知a,b是两个非零向量，则“a·b= a|·|b|”是“a与b共线”的 () [A]充分不必要条件 [B]必要不充分条件 [c]充要条件 [D]既不充分也不必要条件 3.(5分)如图，正四面体ABCD的各棱长均为 2,E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则 GE.GF= (A② 2 [B]2[o]1 [o] 2 4.(6分)（多选题）已知几何体ABCD A1B,C1D1为长方体，则 0口■0口■▣■口0 ■▣▣■口 刀▣四02 年级： 学 卡信息 和到红 后 44▣4和04 班级： 5055▣055则 位 60000四 姓名： 口口口02口 HH 9n9■9J9■9■ [A]A,C在A,B方向上的投影向量为AB []A1B在A,C方向上的投影向量为A,C [c]B1D,在BC方向上的投影向量为BC [D]BC在B,D方向上的投影向量为B,D 5.(5分)已知空间中非零向量a,b,且|a=2,b =3,(a,b〉=60°，则|2a-3b的值为 () [A]√97[B]97[c]√6T[D]61 6.(5分)如图，在空间四边形OABC中，OA=OB =0C=2,∠A0C=∠B0C=2,∠A0B=弩，点 M,N分别在OA,BC上，且OM=2MA,BN= CN,则MN= () CA)V②2 3 a7V46 3 3 3 7.(5分)已知空间向量a,b,c满足a=b十c,a| =1,b1=2,lc|=√7，则a与b的夹角为 ( [A]30 [B]150 [c]60° [D]120° 3 19876543210+0.5 8.(14分)如图所示，平行六面体ABCD- A1B,C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C,CB =∠C1CD=∠BCD=60°，CD=CC1. 求证：CA,⊥平面C,BD 、 B 5 ·能力提升练· 9.(5分)空间四边形ABCD的每条边和对角线 长都等于a,E,F,G分别是AB,AD,DC的中 点，则下列向量的数量积等于a的是() [A]2BA·AC [B]2AD·DB [c]2FG·AC [D]2EF.CB 10.(5分)在空间四边形ABCD中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA的中点.若对角线 BD=2,AC=4,则EG2+HF3的值是() CA]5 [B]10 [c]12 [D]不能确定 智学分层作业 11.(5分)（创新拔高题）如图，边长为4的正方形 ABCD是圆柱OO,的轴截面，M为上底面圆 O内一点，则MA·MB的最小值为() [A]6 [B]8 [c]10 [D]12 12.(5分)在四面体ABCD中，BC=1,BD=2, ∠ABC=90°，BC·DA=-√5，则∠CBD= 19876543210+0.5 13.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A'B'C'中， AC=BC=AA',∠ACB=90°，D,E分别为 AB,BB的中点. (1)求证：CE⊥A'D: (2)求向量CE与AC'所成角的余弦值. C