精品解析：贵州省毕节市金沙县第一中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

贵州省毕节市金沙县第一中学高三上学期开学检测数学考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合里面的不等式解集，然后根据集合交集的概念求出结果即可. 【详解】因集合，所以， 所以，所以. 因为集合，解得， 所以. 所以. 故选：C. 2. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 （ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得，代入题目数据可判断选项正误； 【详解】由题意知，又，. ，则． 故选：A 3. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 4. 二项式的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. 462 C. 792 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，解得，所以项的系数是， 故选:D 5. 若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为，即在上恒成立，再根据右边构造函数，利用导数求出最大值可得结果. 【详解】， 因为在上为单调递增函数， 所以在上恒成立， 则，即在上恒成立， 设，则，在上为减函数， ，所以. 故选：D 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用两角差的正切公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为，， 可得 故选：B． 7. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得的值，从而求得右焦点到直线的距离即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以，解得，所以双曲线的右焦点坐标为， 所以的右焦点到直线的距离为. 故选：C. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数对称与变换求出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】函数的图象关于原点对称的函数的解析式为， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数， 故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AC 【解析】 【分析】复数除法化简的，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项； 【详解】由题意得，所以的实部为，虚部为，故A正确B错误； 在复平面内对应的点位于第四象限．故C正确D错误； 故选：AC. 10. 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数的单调递增区间为 C. 在上恰有3个零点 D. 在上有2个最大值点，2个最小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用二倍角公式得到，再利用伸缩变换和平移变换得到，再逐项判断. 详解】解：， 则． 由，，可得，故A错误． 由，，解得，， 所以函数单调递增区间为，故B正确． 由，可得，则在上恰有3个零点，2个最大值点，1个最小值点，故C正确，D错误． 故选：BC 11. 已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 该椭圆的长轴长为 B. 使为直角三角形的点共有6个 C. 的面积的最大值为1 D. 若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意作图，分别求出椭圆的 ，然后逐项分析判断. 【详解】依题意作下图： 对于A，由题可知 ，所以长轴长为 ，A错误； 对于B， ，分别过 作平行于x轴的直线与椭圆有4个交点 ，当点P与这4个点重合时， 为直角三角形； 以原点O为圆心， 为半径作圆，与椭圆有2个交点，证明如下： 联立方程： ，解得 ，故交点为 ，即当点P与 重合时， 为直角三角形，共有6个直角三角形，B正确； 对于C，当点P与 或 重合时，面积最大 ，C正确； 对于D，运用参数方程，设 ，同时有： ，则有： ， ，D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 互不相等的4个正整数从小到大排序为，，，，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据中位数、极差的概念求出这四个正整数，再由百分位数的定义求解. 【详解】这组数据的极差，中位数为， 据题意得，即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为，，为正整数且互不相等，所以，，. 所以排列顺序为：； 因为，所以这4个数据的第40百分位数为. 故答案为：2. 14. 已知长方体中，，，，则该长方体的外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的外接球的直径是长方体的体对角线，求得外接球的半径即可. 【详解】因为长方体中，，，， 且长方体的外接球的直径是长方体的体对角线， 所以， 解得， 所以外接球的表面积为 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）在和上单调递增，在上单调递减；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式得切线方程. （2）利用导数函数的单调区间和极值. 【小问1详解】 由，有， 则，， 故切点坐标为，切线斜率为12， 切线方程为，即； 【小问2详解】 令，解得x=0或x=1， 故当时，，当时，，当时， 故函数在和上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，极小值为. 16. 甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求 （1）甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率； （2）“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由对立事件概率公式以及独立乘法、互斥加法公式即可运算求解； （2）设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，“两轮活动“星队'猜对3个成语”，则，由独立乘法、互斥加法公式即可求解. 【小问1详解】 设表示甲两轮猜对1个成语的事件，则. 【小问2详解】 设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件， . 设“两轮活动“星队'猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 所以. 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 17. 在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且． （1）当时，求证：； （2）当的长最小时，求二面角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，计算出，得到垂直关系. （2）计算出当时，取得最小值，求出两平面的法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值． 小问1详解】 由，得，则，又平面， 以为坐标原点，直线分别为轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 当时，分别为的中点，， 则，，因此， 所以. 【小问2详解】 由，得， 则，当且仅当时取等号， 此时， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此，由图形知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义列式求解即可； （2）直线与抛物线联立方程，根据韦达定理得，，根据计算可得，再根据化简求值即可. 【小问1详解】 抛物线的准线为，焦点 由抛物线定义可得，解得， 故的方程为 【小问2详解】 设，， 联立， 故， 又则， 由， 解得：或（舍去）， （当且仅当时，等号成立）. 19. （1）求函数的单调区间． （2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）根据题意，由即可证明. 【详解】（1）因为，所以单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）证明：因为，则， 则 ， 即，所以， 所以数列是严格减数列 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省毕节市金沙县第一中学高三上学期开学检测数学考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 （ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 4. 二项式展开式中，含项的系数是（ ） A. B. 462 C. 792 D. 5. 若函数在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 函数的单调递增区间为 C. 上恰有3个零点 D. 在上有2个最大值点，2个最小值点 11. 已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 该椭圆长轴长为 B. 使为直角三角形的点共有6个 C. 的面积的最大值为1 D. 若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____. 13. 互不相等的4个正整数从小到大排序为，，，，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为______ 14. 已知长方体中，，，，则该长方体的外接球（长方体的八个顶点都在球面上）的表面积等于___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 16. 甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求 （1）甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率； （2）“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 17. 在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且． （1）当时，求证：； （2）当长最小时，求二面角的余弦值 18. 已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 19. （1）求函数的单调区间． （2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $