专题06 直角三角形六种常见题型（压轴题专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题06 直角三角形的六种常见题型 典例详解 类型一、斜中定理 类型二、含30°角的直角三角形 类型三、直角三角形的性质 类型四、直角三角形的判定 类型五、直角三角形全等的判定 类型六、直角三角形全等综合题 压轴专练 类型一、斜中定理 性质特点：直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半 例1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 变式1-1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 变式1-2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则的长为 ． 类型二、含30°角的直角三角形 特点： 1.含有30°角的直角三角形，30°角所对的边等于斜边的一半。 2.含30°角的直角三角形，三条边从长到短的三条边长度之比等于2：：1 例2．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 变式2-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为 类型三、直角三角形的性质 例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，点B关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 变式3-2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（       ） A．， B．， C．， D．， 类型四、直角三角形的判定 例4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在 中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 变式4-1．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知，， (1)求证：； (2)猜想：和是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只写出结论，不用写理由．（延长交点，交点） 变式4-2．（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 类型五、直角三角形全等的判定 例5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式5-1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式5-2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知在四边形中，平分． 求证： (1)； (2)． 类型六、直角三角形全等综合题 例6．（21-22八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，于E，于F，若，平分． (1)求证：； (2)已知，，，求四边形的面积． 变式6-1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 变式6-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，于点F，交于点E，连接．已知平分． (1)求证：． (2)若，求的长． 1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，且，，则的度数是 ． 3．（19-20八年级上·湖北武汉·期中）如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 4．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 8．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，． 【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数． 10．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 11．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，垂足为为上一点，交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 12．（2022·山东济南·一模）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 直角三角形的六种常见题型 典例详解 类型一、斜中定理 类型二、含30°角的直角三角形 类型三、直角三角形的性质 类型四、直角三角形的判定 类型五、直角三角形全等的判定 类型六、直角三角形全等综合题 压轴专练 类型一、斜中定理 性质特点：直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半 例1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，为边上的中线，平分，交于点D，过点B作，垂足为点F，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形的两锐角互余可得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，由等腰三角形的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵在中，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 变式1-1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得长解答即可． 【详解】解：连接， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， 故答案为：． 变式1-2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，由得，，则有，再由直角三角形性质可得，故有，又，从而有，再通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、含30°角的直角三角形 特点： 1.含有30°角的直角三角形，30°角所对的边等于斜边的一半。 2.含30°角的直角三角形，三条边从长到短的三条边长度之比等于2：：1 例2．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 变式2-1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，则当是直角三角形时，t的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：30度角所对的直角边是斜边的一半以及等边三角形的性质，是解题的关键． 根据题意，，分类讨论，当时，，；当时，，．两种情况即可求解． 【详解】解：根据题意，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是， ， 是边长为的等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴， ∴， 即， 解得：． 综上所述，的值为1或2． 故答案为：1或2． 变式2-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等边三角形，垂直平分，垂直平分，与交于点O，若，则点O到的距离为 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，过点作于，由等边三角形的性质并结合题意可得，，平分，平分，求出可得，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵，，平分， ∴， ∵， ∴，即点O到的距离为    ， 故答案为：． 类型三、直角三角形的性质 例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，点B关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．连接，过A作于F，得到，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过A作于F， ∵点B关于的对称点恰好落在上， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 变式3-1．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，关键是要分两种情况讨论．当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 故选：C． 变式3-2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 本题根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 类型四、直角三角形的判定 例4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在 中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据， ，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 变式4-1．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知，， (1)求证：； (2)猜想：和是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只写出结论，不用写理由．（延长交点，交点） 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键． （1）根据题意，得到，再由三角形全等的判定与性质求证即可； （2）延长交点，交点，如图所示，结合直角三角形性质，由（1）中全等的性质，在中，得出即可得证． 【详解】（1）证明： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：． 理由如下： 延长交点，交点，如图所示： 在中，，，则， ， 由（1）中可知， ， 在中，，则， ． 变式4-2．（22-23八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 类型五、直角三角形全等的判定 例5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为7 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，而，即可根据“”证明，得； （2）由，，根据“”证明，得，而，，由，得，求得． 【详解】（1）证明：平分，于点，交的延长线于点， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：在和中 ， ， ， ，且，， ， ， ， 的长为7． 变式5-1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）分别为上的高线，得，即可根据直角三角形全等的判定定理证明； （2）由，得，由“等角对等边”得． 【详解】（1）证明：∵分别为上的高线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解： ， ∴， ∴， ∴的长是5． 变式5-2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知在四边形中，平分． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用． （1）根据角平分线的性质可得到；可得，则，所以； （2）已知，，可得，则得，最后证得即可． 【详解】（1）证明∶如图，过C作，交的延长线于F点， 平分， ． ，， ，． ， ． ． ， ． （2）证明∶已知， ． ，， ． ，， ． ． ，， ． 类型六、直角三角形全等综合题 例6．（21-22八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，于E，于F，若，平分． (1)求证：； (2)已知，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)128 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式6-1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，中，平分，且平分，于，于． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 变式6-2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，于点F，交于点E，连接．已知平分． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质． （1）由于点得，由角平分线的性质得，即可根据证明． （2）由全等三角形的性质得，而，所以． 【详解】（1）证明：， ． 平分，， ． 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ． ， ． 故的长为． 1．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，根据中垂线的性质，得到，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，且，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质．根据全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，结合已知条件和角度的计算即可求得． 【详解】解： ， ， 即， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（19-20八年级上·湖北武汉·期中）如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，理解和掌握角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质是解题的关键． 如图所示（见详解），点为上一点，若满足，则有点或点，根据直角三角形全等的判定，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作， ∵点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，且，， ∴，且，为公共边， ∴在，中，， ∴， 若，， ∴， ∴， ∴； 若，， ∴， ∴， ∴． 故的长度为3或5. 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】模型证明：见解析；模型应用：见解析；模型构造： 【分析】模型证明：利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； 模型应用：连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； 模型构造：作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】模型证明： 解：如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， 模型应用： 证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； 模型构造： 解：如图所示，过作于，连接． ，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴为等边三角形． ，， ∵ ∴． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． (1)请说明； (2)吗？若成立请给出说明过程； 【答案】(1)见解析 (2)成立，过程见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线得到，则，由三角形外角可得，再结合已知条件即可证明； （2）由（1）可得，即，即可证明． 【详解】（1）解， ． 点E是的中点， ． ． ， ． ， ． （2）解：由（1）得， 又， ， ． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明，进一步可得，结合，从而可得答案； （2）如图，过点E作于点F，证明，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点E作于点F， ， ， ． 在和中， ， ， ∵在中，， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 8．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 答：的度数为． 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在中，，点，分别在射线，上，连接，． 【教材再现】如图1，点，分别在边，上，是直角三角形吗？为什么？ 【变式应用】如图2，点，分别在的延长线，的延长线上，的平分线交的延长线于点，连接交于点，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在【变式应用】中的条件下，延长交的延长线于点，点在的延长线上，连接，且，若，求的度数． 【答案】（1）是直角三角形，见解析 （2） （3） 【分析】本题考查直角三角形的判定，三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质． （1）由，得即可； （2）根据三角形内角和，三角形外角定理，角平分线的性质做等量代换，引入参数，由解题； （3）由，三角形外角定理，根据的两种不同表示方式求出，由解题． 【详解】解：（1）如图1，是直角三角形， 理由如下： 在中，∵，， ， ， 是直角三角形；                                                    （2）如图2，令，， ， 平分， ， 在中，， 又， ， ， 在中，， ， ； （3）， 由（2）可知， ， ，， ， ， ， ， ， ． 10．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得，然后求出，从而得到，再根据垂直的定义证明即可 （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得从而得到，再根据对顶角相等可得然后等量代换即可得证 （3）根据角平分线定义表示出，从而表示出，利用邻补角即可求出结果； （4）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ； （4），， ， ，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，角平分线的定义，三角形外角性质，对顶角相等，邻补角的求解，利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和是解题的关键． 11．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，垂足为为上一点，交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明t即可； （2）根据全等三角形的性质得，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， 在和中， （2）由（1）可知，， ， 在中，由勾股定理得： ， 即的长为． 12．（2022·山东济南·一模）在等边的两边所在直线上分别有两点，为外一点，且，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图1，当点、在边、上，且时，试问、、具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． (2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，、、具有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1)；见解析 (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系．理由如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$