精品解析：福建省福州市马尾第一中学等六校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

2024-2025学年第二学期高二年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题校:长乐华侨中学 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何的交补运算即可求解. 【详解】，，所以， 故选：A. 2. 在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为，，，由正弦定理得， 所以，所以或， 则或. 故选：C. 3. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念及正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】取，，此时，但，充分性不成立； 取，，此时，但，必要性也不成立． 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D． 4. 某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（   ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 【答案】D 【解析】 【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，求得，，结合指数函数的性质，求得，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得，所以， 又由且，所以， 由指数函数的性质，可得，即， 所以. 故选：B. 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A. 64 B. 65 C. 66 D. 67 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求，再由解不等式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 即， 所以学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为次， 故选：D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义运算，利用三角恒等变形化解可得，分析在区间的值域，结合二次函数性质，建立不等式可解. 【详解】由题中所给定义可知， ， 当时，， 所以，所以， 当时，，， 所以，解得； 当时，，，， 所以，解得， 综上，a的取值范围是． 故选：C. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（   ） A. 的系数为10 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 【答案】BC 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数判断A；求出第3项和第4项的二项式系数判断B；求出所有项的二项式系数和判断C；利用赋值法求出所有项的系数和判断D. 【详解】对于A，展开式的通项公式，则的系数为，A错误； 对于B，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，B正确； 对于C，展开式的所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得展开式的所有项的系数和为，D错误. 故选：BC 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据题意可得到，判断AB；选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算. 【详解】AB选项，事件＂零件为第台车床加工＂，事件＂零件为次品＂， 则， ，故A正确，B错误； C选项， ，故C正确； D选项，，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用求导转化为，再结合是偶函数，可证明周期性，然后赋值可得，，从而可计算各选项. 【详解】由求导可得：， 因为，所以， 又因为是偶函数，所以， 由上两式可得，又可得， 又两式相减得：， 所以是一个周期为的周期函数，故C错误； 由可得， 又由可得，故A正确； 又由可得， 因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确； 由， 由，结合是一个周期为的周期函数，可得， 所以， 即，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本小题共3个小题，每小题5分.共15分. 12. 已知，则= ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知恒成立，所以恒成立，所以，又且，所以或．所以实数a的取值范围是． 14. 如图，在的格子中，数字从左到右为升序排列，现在用计算机随机生成一个整数，若为奇数，则将格子中数字1和9的位置互换，3和7的位置交换，其余位置不变；若为偶数，则将格子中数字2和8的位置互换，4和6的位置交换.设电脑随机生成个数字后，格子中的数字恰好从左到右为降序排列的概率为，则______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【解析】 【分析】首先分析出为奇数时，，再根据为偶数，利用二项分布概率公式，结合二项式系数和公式，即可求解. 【详解】由题可知，要使格子中的数字从左到右为降序排列，则生成的个数字中，奇数与偶数的个数均为奇数，则为偶数. 故当为奇数时，. 当为偶数时，设，设电脑随机生成的个数字中，恰有个为奇数，则的所有可能取值为.， 则. 因为，且， 所以，则. 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可由三边求解，进而可求正弦值， （2）根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得：， 则，， ,所以． 【小问2详解】 由三角形面积公式可得， 则． 16. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】（1）0.9 （2） 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 ， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率和期望运算求解. 【小问1详解】 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B， 由题意可知：事件A与B事件独立，，则， 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率 【小问2详解】 由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ，， ，， 的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1）； （2）当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. 【小问2详解】 因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 18. 函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形. （1）求的值及函数的值域； （2）若，且，求的值； （3）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移个单位，得到的图象，若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围. 【答案】（1），值域为；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】（1）利用函数图象，结合五点法作图得到的值，并求出函数的值域； （2）由已知有，利用同角三角函数关系、和角正弦公式求； （3）由图象平移确定解析式，应用换元法及分类讨论思想求a的范围. 【详解】（1）由于△ABC的高为2，则BC=4， 所以，的最小正周期，即，故， 所以，函数值域为. （2）由（1），，即， 由，则， 所以. 故 . （3）由题设，令，则，故令. 要使关于x的方程在上有两个不同的根，则关于t的方程在上只有唯一解， 有以下几种情况： ，解得； 解得或， 当时，，满足题意； 当时，，不符合题意，舍去. 当时，解得，此时另一个根不在上，所以符合题意. 综上，a的取值范围是或. 19. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【答案】（1）因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； （3）因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）当时，，根据的定义求解； （2）解法一：如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的面积大于，，得证； 解法二：转化为证明：，设，，则不等式可化为，构造函数：，利用导数证明在恒成立； （3）令，故，直线与曲线交于，，所以，即有：①，②，进一步变形可得，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高二年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题校:长乐华侨中学 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 60°或120° 3. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（   ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A. 64 B. 65 C. 66 D. 67 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9 8. 定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，则（   ） A. 的系数为10 B. 第3项与第4项的二项式系数相等 C. 所有项的二项式系数和为32 D. 所有项的系数和为32 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本小题共3个小题，每小题5分.共15分. 12. 已知，则= ________. 13. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是_____． 14. 如图，在的格子中，数字从左到右为升序排列，现在用计算机随机生成一个整数，若为奇数，则将格子中数字1和9的位置互换，3和7的位置交换，其余位置不变；若为偶数，则将格子中数字2和8的位置互换，4和6的位置交换.设电脑随机生成个数字后，格子中的数字恰好从左到右为降序排列的概率为，则______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积． 16. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值． 18. 函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形. （1）求的值及函数的值域； （2）若，且，求的值； （3）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移个单位，得到的图象，若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围. 19. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $