21.1 一元二次方程课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.1 一元二次方程 学习内容 一、知识讲解与训练 一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？ a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 典例精析 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 提示 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0         (1) x2+ x=36 练习巩固 5 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0, 当k　　时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠3 ≠±1 ＝－1 3.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0 是关于x的一元二次方程？ 4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。 练习巩固 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 练习巩固 9 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 一元二次方程的根 例4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 练习巩固 12 学习内容 二、强化训练 1.下列符合一元二次方程一般形式的是（　D　） A.4＋3x＋x2＝0 B.3x＋4＋x2＝0 C.x2＋4＋3x＝0 D.x2＋3x＋4＝0 D 2.将一元二次方程x2＝3－2x化为一般形式为 　 　⁠，a＝ 　　⁠，b＝ 　　⁠，c＝  　⁠，一次项为 　　 ⁠，二次项为 　　 ⁠.  x2＋2x－3＝0 1 2 －3 2x x2 3.下列方程是一元二次方程的是（　B　） A.a2x2＋bx＋c＝0 B.x2－4x＋3＝0 C.x2＋2x＝x2－1 D.－x＝2 B 4.已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　B　） A.4 B.－4 C.3 D.－3 B ⁠ 5.若关于x的方程（a－3）x｜a－1｜＋x－1＝0是一．元．二．次．方．程．，则a的值是（　A　） A.－1 B.2 C.3 D.3或－1 A 6．若（6＋a）x2＋x－9＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　A　） A．a≠－6 B．a＞－6 C．a≠6 D．a＝－6 A 7．一元二次方程3x2＋4x＝5的二次项系数为3，则一次项系数、常数项分别是（　C　） A．3，5 B．4，5 C．4，－5 D．3，－4 C 8．已知一个关于x的一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为1，常数项为－2，则这个一元二次方程是  　x2＋x－2＝0　 ⁠．  x2＋x－2＝0　 9.把方程3x（x－2）＝2（x－2）化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：该一元二次方程的一般形式为3x2－8x＋4＝0． 其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是4． 10．一元二次方程a（x2＋1）＋b（x＋2）＋c＝0化为一般形式为6x2＋10x－1＝0，求以a，b为两条对角线长的菱形的面积． 解：方程化为ax2＋bx＋2b＋c＋a＝0． ∵方程化为一般形式为6x2＋10x－1＝0，∴a＝6，b＝10． ∴S菱形＝×6×10＝30． 10．已知关于x的方程（m＋3）－x＋3＝0是一元二次方程，求m的值． 解：由题意，得＝2且m＋3≠0． 解得m＝1．∴m的值是1． 11．整体思想已知x＝2是关于x的方程x2－mx－4m2＝0的一个根，求m（2m＋1）的值． 解：∵x＝2是关于x的方程x2－mx－4m2＝0的一个根， ∴22－2m－4m2＝0． ∴4m2＋2m＝4，即2m2＋m＝2．∴m（2m＋1）＝2． ⁠ 12．推理能力已知关于x的方程（k＋1）＋（k－3）x－1＝0． （1）当k＝  　1　 ⁠时，它是一元二次方程；  （2）当k＝  　0或－1　⁠ 1　 0或－1　 学习内容 三、课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 学习内容 四、课堂检测 B 解析：一元二次方程必须满足三个条件： （1）含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程，同时注意二次项系数不为0. ①和④满足这三个条件，②中二次项系数可能为0，③化简后不含有二次项，不符合定义，故选B. 1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( )． ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 检测反馈 4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______． 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 $$