1.4.2（2）用空间向量研究夹角问题课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究异面直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面的夹角，课前回顾点到直线和平面的距离公式，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生从已有空间向量应用自然过渡到夹角问题探究。 其亮点在于通过自学指导、小组互助及例题变式，让学生经历“观察-抽象-推理”过程，培养数学眼光（空间观念）与数学思维（推理能力），课后反思规范公式表达强化数学语言。如正四棱柱异面直线夹角计算等实例，提升学生空间想象与逻辑推理能力，教师可借助结构化资源高效实施探究式教学。

人教A版 选择性必修 第一册 1.4.1用空间向量研究夹角问题 第一章 空间向量与立体几何 课前回顾 1、点到直线的距离 2、点到平面的距离 d= d= 学习目标 1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的定义； 2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题. 问题1：用向量方法解决直线与直线的夹角问题。 问题2：用向量方法解决直线与平面的夹角问题。 问题3：用向量方法解决平面与平面的夹角问题。 自学指导 阅读课本36--38页，完成以下问题： 教师点拨 直线与直线所成的角 A B C D M N 小组互助 练习 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1= 2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) D 以上我们用量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方 法求直线AB与平面BCD所成的角吗？ 教师点拨 直线与平面所成的角 A B C 小组互助 B 练习 已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cos<m,n>= - ,则l与α所成的角为(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 教师点拨 平面与平面的夹角 教师点拨 平面与平面的夹角 小组互助 练习 平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β的夹角为　　　　　.  小组互助 例1 如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC= θ.当θ= 时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值. 小组互助 变式1 如图,已知A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值. 练习 － － － － － － － － － － － － － － A C1 B C A1 B1 D1 F1 A 1.在直三棱柱ABC-中，BCA=90°，，分别是，;的中点，BC=CA=，则B,与A所成角的余弦值是( ). （A） （D） （C） （B） 小组互助 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC, ∠BAD=90°, PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点. (1)求证:PB⊥DM; (2)求BD与平面ADMN所成的角. 小组互助 变式2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2, ∠BAC=90°,E,F分别为C1C,BC的中点.求直线A1B与平面AEF所成角的正弦值. 练习 － － － － － － － － － － － － － －   A B C P C 小组互助 例3 如图所示,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC, PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角的大小. 小组互助 变式3 如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,BC= ,PA=AC=1,求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 3. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. A C1 B C A1 B1   练习 － － － － － － － － － － － － － － 4. 如图，∆ABC和∆ DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=1200. 求： (1) 直线AD与直线BC所成角的大小； (2) 直线AD与平面BCD所成角的大小； (3) 平面ABD与直线BDC的夹角的余弦值. A B C D 900   450 小组互助 例4 A B C D E F G P A B C D E F G P z x y 变式4（424） 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求直线DP与平面ABFD所成角的正弦值. 小组互助 练习 － － － － － － － － － － － － － － 600 1.如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=4，AC=6，BD=8，CD=，求平面α与平面β的夹角. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 2. 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD= BC=2，M，N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN， CM所成角的余弦值.   练习 － － － － － － － － － － － － － － 3. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA , OB, OC两两垂直，OA=OC=3， OB=2，求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算, 研究点、直线、平面之间的关系 立体几何中的向量法 解决立体几何中的问题，可用三种方法： 综合法 向量法 坐标法 以逻辑推理作为工具解决问题 利用向量的概念及其运算解决问题 利用数及其运算来解决问题 课后反思 1、直线与直线所成的角 2、直线与平面所成的角 3、平面与平面的夹角 29 课后作业 完成课后训练P.16 A.　　　　　 B. C. D. $$