专题08 相似三角形章末易错必刷题型专训（60题20个考点）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版）

专题08 相似三角形章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 相似图形】 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海金山·期末）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 3．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 【易错必刷二 位似图形的识别】 4．（24-25九年级上·上海青浦·期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    6．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【易错必刷三 相似多边形的性质】 7．（24-25九年级上·上海松江·期末）一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 8．（24-25九年级上·上海静安·期末）已知两个相似八边形的相似比为，若较小八边形的面积为18，则较大八边形的面积为 ． 9．（24-25九年级上·上海宝山·课后作业）如图，四边形ABCD~四边形，求边BC，AB的长度x，y和的大小． 【易错必刷四 黄金分割】 10．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫．这只大熊猫的头身比接近黄金比．小兰将熊猫的头画成，熊猫的身体画成，与的直径的比按照黄金比画就，若的直径为4，请计算的周长． 【易错必刷五 成比例线段】 13．（24-25九年级上·上海崇明·期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 14．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）若x是4和16的比例中项，则 ． 15．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）（1）已知，求的值． （2）已知线段，求线段a，b的比例中项． 【易错必刷六 由平行判断成比例的线段】 16．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·上海松江·开学考试）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ． 18．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G． 求证：EG＝CG 【易错必刷七 求两个位似图形的相似比】 19．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 【易错必刷八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 22．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 23．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）在中，，，以点为位似中心，把放大倍后得到，则 ． 24．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点上，按要求完成下列任务． (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为． 【易错必刷九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 25．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形；若OA：OA'＝2：3，则△ABC和△A'B'C'的面积比为（　　） A．2：3 B．4：3 C．2：9 D．4：9 26．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与位似，点O是它们的位似中心，已知，则与的面积之比为 ． 27．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形的五个顶点坐标分别为，，，，． (1)以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形的位似图形，使它与五边形的相似比为． (2)写出的坐标______． (3)已知五边形的面积为，则五边形的面积为______． 【易错必刷十 在坐标系中画位似中心】 28．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 ． 30．（24-25九年级上·上海宝山·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标__________； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1． 【易错必刷十一 在坐标系中画位似图形】 31．（24-25九年级上·上海松江·期末）如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比(　　) A．形状不变，图形缩小为原来的一半 B．形状不变，图形放大为原来的2倍 C．整个图形被横向压缩为原来的一半　　 D．整个图形被纵向压缩为原来的一半 32．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．    33．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点都在格点上，以点A为位似中心，在x轴上方将放大为原来的2倍，得到，并写出点、的坐标． 【易错必刷十二 利用平行判定相似】 34．（24-25九年级上·上海闵行·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 36．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【易错必刷十三 选择或补充条件使两个三角形相似】 37．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，下列所添加条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，与相交于，要使，需要条件 (只需写一个条件)． 39．（24-25九年级上·上海宝山·课后作业）如图，与在一条直线上，．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形． 【易错必刷十四 利用相似三角形的性质求解】 40．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 41．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，是的三等分点，，则 ． 42．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，过点A作于点E，D是边上一点，连接，过点D作于点F，，，，，求的长． 【易错必刷十五 利用相似求坐标】 43．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A． （0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 44．（24-25九年级上·上海宝山·期末）在直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，4），C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，点D的坐标为 ． 45．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【易错必刷十六 相似三角形——动点问题】 46．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 47．（24-25九年级·上海宝山·阶段练习）如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为 ． 48．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    【易错必刷十七 重心的有关性质】 49．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（　　） A．5 B．7.5 C．9 D．10 50．（2025·上海黄浦·模拟预测）如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示 ． 51．（2025九年级·上海·专题练习）中，点是重心，//，+=7.2cm，求． 【易错必刷十八 实数与向量相乘】 52．（2025·上海崇明·模拟预测）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·上海·期中）化简：3＝ ． 54．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知平行四边形ABCD，=，=． （1）=　　　　　；（用，的式子表示） （2）=　　　　　　　；（用，的式子表示） （3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|=　　　　　　． 【易错必刷十九 向量的线性运算】 55．（2025·上海松江·模拟预测）已知、为非零向量，下列判断错误的是（        ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 56．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，梯形中，，点M是的中点，设，，那么 （用、的线性组合表示）． 57．（24-25九年级上·上海·期中）如图，点E是平行四边形ABCD中边AD上的点，且AE=2DE，延长CE到点F，使EF=CE，已知，求 【易错必二十 相似三角形的综合问题】 58．（24-25九年级上·上海嘉定·单元测试）如图，ΔABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD＝2AD，CD＝10，sin∠BCD＝，那么AE的值为（　　） A．3 B．6 C．7.2 D．9 59．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 60．（2025·上海青浦·模拟预测）如图所示，矩形和矩形ABCD位似，已知矩形ABCD周长为12，AD=2，． (1)画出两个矩形的位似中心P点； (2)求矩形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 相似三角形章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 相似图形】 1．（24-25九年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论． 【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海金山·期末）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似图形的性质，由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意熟记定是关键． 【详解】解：∵两个相似图形的周长比为， ∴其相似比为， ∴其面积比为， 故答案为：． 3．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 【答案】相似 【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断． 【易错必刷二 位似图形的识别】 4．（24-25九年级上·上海青浦·期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行 ∴①②③④能使得是位似图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键． 5．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 【易错必刷三 相似多边形的性质】 7．（24-25九年级上·上海松江·期末）一个四边形各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形最短边为8．则四边形的最长边长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键．设四边形最长边长为x，根据相似多边形的性质列得，从而求出x． 【详解】解：设四边形最长边长为x， ∵四边形相似四边形， ∴， 解得， 故选：D． 8．（24-25九年级上·上海静安·期末）已知两个相似八边形的相似比为，若较小八边形的面积为18，则较大八边形的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用多边形面积比等于相似比的平方得出是解题关键．利用相似多边形的性质，面积比等于相似之比的平方，进而得出较大多边形的面积． 【详解】解：∵两个相似八边形的相似比为， ∴这两个相似八边形的面积比为， ∵较小八边形的面积为18， ∴较大八边形的面积为． 故答案：50． 9．（24-25九年级上·上海宝山·课后作业）如图，四边形ABCD~四边形，求边BC，AB的长度x，y和的大小． 【答案】，，α=83゜． 【分析】根据四边形四边形，得出边长比，求出x和y的值，再根据相似四边形的对应角相等，求出的大小. 【详解】∵四边形四边形 ∴， ∴，. ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了形似四边形的性质，掌握相似四边形的对应边长比等于相似比以及相似四边形的对应角相等是解题的关键. 【易错必刷四 黄金分割】 10．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割的概念，如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．根据黄金分割的概念得到，从而得出结果． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：A． 11．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫．这只大熊猫的头身比接近黄金比．小兰将熊猫的头画成，熊猫的身体画成，与的直径的比按照黄金比画就，若的直径为4，请计算的周长． 【答案】 【分析】先利用黄金分割的定义求出的直径，然后再利用圆的周长公式，进行计算即可解答． 【详解】解：与的直径的比按照黄金比画，的直径为4， 的直径， 的周长， 的周长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义． 【易错必刷五 成比例线段】 13．（24-25九年级上·上海崇明·期末）若线段，则a，b的比例中项线段为（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键． 设线段c是a，b的比例中项，根据比例中项的定义列方程求解即可． 【详解】解：设线段c是a，b的比例中项， ∴，即， ∴（负数舍去）． 故选D． 14．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）若x是4和16的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，列式计算即可． 【详解】解：∵x是4和16的比例中项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）（1）已知，求的值． （2）已知线段，求线段a，b的比例中项． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据比例的基本性质求解即可； （2）根据比例中项的定义得到结果，注意负值舍去． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵线段， ∴， ∴线段a，b的比例中项为（负值舍去） ． 【点睛】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键． 【易错必刷六 由平行判断成比例的线段】 16．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比是解题的关键． 根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，A、D正确，故不符合要求； ∴，C正确，故不符合要求； ，B错误，故符合要求； 故选：B． 17．（24-25九年级上·上海松江·开学考试）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式即可求得的长． 【详解】 DE∥BC， ， DB＝AE， ， ， ， AB＝5，AC＝10， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 18．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点．EC、FB交于G． 求证：EG＝CG 【答案】见解析 【分析】过E作EH∥BF交AC于H,根据平行线分线段成比例定理得到AH=HF，进一步得到HF：CF＝，再结合FH∥FG得出结果． 【详解】证明：过E作EH∥BF交AC于H． ∵AE＝BE，EH∥BF， ∴AH＝HF＝AF， 又∵AF＝CF， ∴HF＝CF， ∴HF：CF＝， ∵EH∥BF， ∴EG：CG＝HF：CF＝， ∴EG＝CG． 【点拨】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【易错必刷七 求两个位似图形的相似比】 19．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形、相似比，位似图形的相似比就是位似图形的位似比，位似图形的位似比就等于位似中心与对应点连线段的长度之比． 【详解】解：， ， ， 和的相似比为． 故选： B． 20．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，位似比为， ， ， ， 故答案为： 12． 21．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，ABC与是位似图形，且相似比是1：2．若AB＝2cm，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】画图见解析，cm 【分析】连接对应点的连线的交点即为位似中心，根据位似比等于相似比，即可求得． 【详解】如图，连接，交点即为位似中心， 相似比是1：2， ， cm， cm． 【点睛】本题考查了根据位似图形找位似中心，根据相似比对应边的长，掌握位似的定义与性质是解题的关键． 【易错必刷八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 22．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 【答案】B 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解∵与位似，点O为位似中心，已知， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积是8． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 23．（24-25九年级上·上海宝山·单元测试）在中，，，以点为位似中心，把放大倍后得到，则 ． 【答案】72° 【分析】在△ABC中，AB=AC，∠A=36º，则∠B=∠C=72º，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得△AEF，则△ABC与△AEF相似，则对应角相等，因而∠E=∠B=72º. 【详解】解：∵AB=AC，∠A=36º， ∴∠B=∠C=72º， ∵△ABC∽△AEF， ∴∠E=∠B=72º. 故答案为72º. 【点睛】本题考查了位似变换. 24．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点上，按要求完成下列任务． (1)画出关于直线的轴对称图形． (2)以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图——轴对称变换及位似变换，正确利用网格，根据轴对称及位似图形的性质找出对应点是解题关键． （1）根据轴对称的性质分别找出点A、B、C的对应点，，，顺次连接即可得答案； （2）连接并延长到，根据网格特征使，同理找出点B、C的对应点B2、C2，顺次连接即可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： 【易错必刷九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 25．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形；若OA：OA'＝2：3，则△ABC和△A'B'C'的面积比为（　　） A．2：3 B．4：3 C．2：9 D．4：9 【答案】D 【分析】首先利用位似图形性质证明△AOC∽△A'OC'，求出△ABC和△A'B'C'的相似比，根据相似比求出面积的比值即可． 【详解】解：∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△A'B'C'，OA∥OA′， ， 又， ∴△AOC∽△A'OC'， ， ∴△ABC和△A'B'C'的相似比为2：3， ∴△ABC和△A'B'C'的面积比为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，解题的关键是要熟练掌握位似图形的定义：两个图形是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 26．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与位似，点O是它们的位似中心，已知，则与的面积之比为 ． 【答案】4：1 【分析】根据位似变换的性质，点A、点C的坐标求出相似比，根据相似三角形的性质计算得到答案． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，已知， ∴△OAB与△OCD的相似比为2：1， ∴与的面积之比为4：1， 故答案为4：1． 【点睛】此题考查的是位似变换的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 27．（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，五边形的五个顶点坐标分别为，，，，． (1)以原点O为位似中心，在原点O的同侧作五边形的位似图形，使它与五边形的相似比为． (2)写出的坐标______． (3)已知五边形的面积为，则五边形的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)54 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的性质是解题的关键； （1）根据位似比为，把A、B、C、D的横纵坐标都乘以2得到的坐标，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求，写出的坐标即可； （3）根据位似图形面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，五边形即为所求； （2）解：由题意得，点的坐标为， 故答案为： （3）解：∵五边形与五边形关于原点位似，且位似比为，五边形的面积为， ∴五边形的面积为， 故答案为：． 【易错必刷十 在坐标系中画位似中心】 28．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 【详解】解：连接，，，如图，交点即为所求，由图可知位似中心的坐标是：．    故选：． 29．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B'C′关于点P位似且顶点都在格点上，则位似中心P的坐标是 ． 【答案】(4，5) 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：连接AA′，BB′，两者相交于点P， ∴位似中心P的坐标是（4，5）． 故答案为：（4，5）． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 30．（24-25九年级上·上海宝山·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形． (1)写出点的坐标__________； (2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1． 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查位似作图，涉及图形与坐标、找位似中心、作位似图形等知识，熟记位似性质是解决问题的关键． （1）连接对应点并延长，交点就是，在平面直角坐标系中直接写出坐标即可得到答案； （2）连接点与的三个顶点并延长，使，连接三个顶点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 点的坐标； （2）解：如图所示： 即为所求． 【易错必刷十一 在坐标系中画位似图形】 31．（24-25九年级上·上海松江·期末）如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比(　　) A．形状不变，图形缩小为原来的一半 B．形状不变，图形放大为原来的2倍 C．整个图形被横向压缩为原来的一半　　 D．整个图形被纵向压缩为原来的一半 【答案】D 【详解】试题解析：∵一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的， ∴整个图形被纵向压缩为原来的一半 故选D． 考点：位似变换． 32．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ．    【答案】（-2,0）或（2,0） 【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可． 【详解】解：由位似比为求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)， 或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)， O点是位似中心，所以位置不变， 所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形, ∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.    【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标． 33．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点都在格点上，以点A为位似中心，在x轴上方将放大为原来的2倍，得到，并写出点、的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键．根据题意延长，至，，使得，，顺次连接A，，，则即为所求，然后写出点、的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求． 由图可得，， 【易错必刷十二 利用平行判定相似】 34．（24-25九年级上·上海闵行·开学考试）将一副三角板按图叠放，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于利用相似三角形的性质和特殊直角三角形的边长关系，确定相似比，进而求出周长比．先证明与相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比即可． 【详解】设， 是等腰直角三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， 与的周长比为：． 故选：D． 35．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，小明用长为米的竹竿做测量工具测量学校的一棵树的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面同一点处，此时，竹竿的影子长为米，竹竿与树的距离长为米，则树高 米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意判定三角形相似，由相似三角形的性质列比例关系，代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∴， 设树高米， ∵米，米，米， ∴， ∴， ∴树高米， 故答案为：． 36．（2025九年级上·上海宝山·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【易错必刷十三 选择或补充条件使两个三角形相似】 37．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，下列所添加条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合所给条件及隐含条件逐一进行判断即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解∶∵，， ∴，故选项A错误，符合题意； ∵，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 38．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，与相交于，要使，需要条件 (只需写一个条件)． 【答案】或或，填一个即可 【分析】根据图中已有，根据相似三角形的判定，再有一个角对应相等，或即可． 【详解】解：图中已具备，要使， 需或或， 故答案为：或或，填一个即可． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 39．（24-25九年级上·上海宝山·课后作业）如图，与在一条直线上，．将图（2）的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形． 【答案】图见解析． 【分析】根据与在一条直线上，，可知∠C=∠F，所以所截的三角形只需要再有一个角和△ABC中的一个非∠C的角相等即可得到与（1）相似的图形． 【详解】解：如下图所示，在上任取一点P（点F除外）．过点P作的平行线，交于点Q，沿将图（2）截开，与相似． 【点睛】本题考查作相似图形．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【易错必刷十四 利用相似三角形的性质求解】 40．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论． 【详解】解：当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 故选：C． 41．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，是的三等分点，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．由点、分别是边、的三等分点及，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：， ， ， ，是的三等分点， ， ， ； ． 故答案为：． 42．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，在中，过点A作于点E，D是边上一点，连接，过点D作于点F，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高的比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，分别是和的高线， 又∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． 【易错必刷十五 利用相似求坐标】 43．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】A 【分析】连接CF，交y轴于点P，根据位似图形的概念得到CD∥GF，根据相似三角形的性质求出GP，进而求出OP，得到答案． 【详解】解：连接CF，交y轴于点P，则点为位似中心， 矩形OEFG与矩形ABCD，（﹣4，4），（2，1）， 由题意得，CD＝4，DG＝3，,， ∵矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形， ∴CD∥GF， ∴△CDP∽△FGP， ∴＝，即＝， 解得，GP＝1， ∴OP＝2， ∴位似中心P的坐标为（0，2） 故选：A． 【点睛】本题考查了位似概念和性质，相似三角形的性质，根据题意作出图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 44．（24-25九年级上·上海宝山·期末）在直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（0，4），C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，点D的坐标为 ． 【答案】（-，0），（，0），（-6，0），（6，0）． 【分析】过C点作AB的平行线，交x轴于D1点，由平行得相似可知D1点符合题意，根据对称得D2点；改变相似三角形的对应关系得D3利用对称得D4，都满足题意． 【详解】解：过C点作AB的平行线，交x轴于D1点， 则△D1OC∽△AOB，， 即，解得OD1=， ∴D1（-，0），根据对称得D2（，0）； 由△COD3∽△AOB，得D3（-6，0），根据对称得D4（6，0）． 故答案为：（-，0），（，0），（-6，0），（6，0）． 【点睛】本题考查了利用相似比求线段的长，根据线段长确定点的坐标的方法． 45．（24-25九年级上·上海松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【易错必刷十六 相似三角形——动点问题】 46．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 47．（24-25九年级·上海宝山·阶段练习）如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为 ． 【答案】或． 【分析】先利用30º角直角三角形的性质求出斜边AB=4，再由勾股定理求直角边BC=2，当PA′∥AC和PA′⊥AB时两种情况证明三角形相似，利用相似，列出比例构造方程，求出AP即可 【详解】解：在中，，，， ，， ∵将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处， ∴AP=A′P， 设． ①如图1中，当PA′∥AC时， ，， ， ， ， ， ∴； ②如图2中，当PA′⊥AB时， ，， ∴， ， ， ， ∴， 综上所述，满足条件的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，和相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质构造方程，利用方程解决问题是关键 48．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    【答案】的值是或 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解． 【详解】解：当△PBQ∽△ABC时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 当△PBQ∽△CBA时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， ∴的值是或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【易错必刷十七 重心的有关性质】 49．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（　　） A．5 B．7.5 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心， ∴BG＝2GE， ∵BE＝BG+GE＝15， ∴BG＝10， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的重心，解决本题的关键是掌握其性质． 50．（2025·上海黄浦·模拟预测）如图，已知点是的重心，过点作，分别交于点，如果设那么用、表示 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，向量的线性运算．熟练掌握三角形重心的性质和相似三角形的性质是解题的关键．连接并延长交于点，根据重心的性质可得，根据相似三角形的性质可得，进而根据向量的计算可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 又， ， ，即 ， 则． ． 故答案为：． 51．（2025九年级·上海·专题练习）中，点是重心，//，+=7.2cm，求． 【答案】4.32． 【分析】连接，并延长交于点，根据三角形重心的性质可得，继而由平行线分线段成比例得到，再设，根据题意列式解出的值即可解题． 【详解】解：连接，并延长交于点， 是重心， 设 则 ． 【点睛】本题考查三角形重心、平行线分线段成比例等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【易错必刷十八 实数与向量相乘】 52．（2025·上海崇明·模拟预测）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为的4倍；向量与方向相同，且其模为的2倍，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质得到，，从而得到． 【详解】解：根据题意知，，， 则，， 则，观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识． 53．（24-25九年级上·上海·期中）化简：3＝ ． 【答案】 【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则． 【详解】解：3＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（++2）＝ 故答案是：． 【点睛】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则． 54．（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知平行四边形ABCD，=，=． （1）=　　　　　；（用，的式子表示） （2）=　　　　　　　；（用，的式子表示） （3）若AC⊥BD，||=4，||=6，则|+|=　　　　　　． 【答案】（1）﹣+；（2）+；（3）2． 【分析】（1）（2）根据平面向量的加法法则计算即可解决问题； （3）利用勾股定理计算即可； 【详解】解：（1）=﹣+； （2）==+； （3）∵AC⊥BD，||=4，||=6， ∴|+|=． 故答案为（1）﹣+；（2）+；（3）2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．平面向量的加法法则等知识，解题的关键是熟练掌握三角形加法法则，属于中考常考题型． 【易错必刷十九 向量的线性运算】 55．（2025·上海松江·模拟预测）已知、为非零向量，下列判断错误的是（        ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量，根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，故本选项正确； 、如果，那么，故本选项正确； 、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误 ； 、如果为单位向量，且，那么，故本选项正确； 故选：． 56．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，梯形中，，点M是的中点，设，，那么 （用、的线性组合表示）． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则是解题的关键． 连接，利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴． 故答案为： 57．（24-25九年级上·上海·期中）如图，点E是平行四边形ABCD中边AD上的点，且AE=2DE，延长CE到点F，使EF=CE，已知，求 【答案】 【分析】首先根据平行四边形的性质得出，然后求出，再通过三角形法则计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴． ∵AE=2DE， ， ． ∵EF=CE， ， ． 【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握三角形法则是解题的关键． 【易错必二十 相似三角形的综合问题】 58．（24-25九年级上·上海嘉定·单元测试）如图，ΔABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD＝2AD，CD＝10，sin∠BCD＝，那么AE的值为（　　） A．3 B．6 C．7.2 D．9 【答案】D 【分析】作于，如图，在中，利用正弦的定义可计算出，再证明，然后利用相似比可计算出的长. 【详解】作于，如图， 在中， ， ， 于， ， ， ， 而， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了相似三角形的判定与性质. 59．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接BC′，根据旋转的性质和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接BC′， ∵矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′， ∴B′C′＝BC＝AD，AB′＝AB，B′C′∥AB， ∵B，D，C′三点在同一直线上， ∴△DB′C′∽△DAB， ∴， ∴， ∴AD2＝AB2﹣AB•AD， ∴AD＝AB（负值舍去） ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似的性质，辅助线的连接，对应边长成比例是本题的难点 60．（2025·上海青浦·模拟预测）如图所示，矩形和矩形ABCD位似，已知矩形ABCD周长为12，AD=2，． (1)画出两个矩形的位似中心P点； (2)求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】（1）根据位似图形的定义，找到对应点，确定位似中心； （2）根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，面积比等于位似比的平方求解． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求做． （2）∵矩形ABCD周长为12，且AD=2， ∴AB=4， 又∵矩形ABCD与矩形位似， ∴， ∴． ∵， ∴ 【点睛】本题考查位似图形的定义和性质，理解位似图形也是相似图形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$