第13章　三角形（13.1-13.2.1）课时作业　2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册　

第十三章 三角形 课时作业1（13.1~13.2.1） 1．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示． (1)图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； (2)在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 3．如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 4．（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 5．下图中共有 个直角三角形． 6．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 7．三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 8．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号） 9．以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．下面各组中的三条线段可以围成等腰三角形的是（   ） A．2厘米、10厘米、10厘米 B．5厘米、5厘米、10厘米 C．2厘米、3厘米、4厘米 D．4厘米、4厘米、10厘米 11．若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 12．已知、、是的三边，且均为正整数，若、满足，则周长的最大值是 ． 13．在中，，，若是偶数．求的周长． 14．工人师傅在做完门框后，为避免变形，常常如图所示钉上两根斜拉的木条（即图中的两根木条），如此做的数学原理是： ． 15．现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法． 16．如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 18．已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　） A． B． C．或 D． 19．若三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的取值范围是 ． 20．如图，是内一点，连接和． (1)试说明：； (2)若，，，求的取值范围． 21．如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．(1)5；，，，，；，，；， (2)；；；（） 【分析】本题考查了三角形的基本概念，包括三角形的计数、表示方法、边与角的对应关系以及三角形间的公共边和公共角，解题的关键是熟练掌握三角形的相关定义并准确识别图形中的元素． （1）按一定顺序逐一识别图中的三角形，避免重复或遗漏；根据三角形的表示方法用符号写出所有三角形；依据“以为边”即边中包含的要求筛选三角形；根据“以为内角”即内角包含的要求筛选三角形． （2）在中，根据“角的对边是指该角不相邻的边”确定的对边；根据“边的对角是指该边不相邻的角”确定的对角；通过观察图形找出与共有的边和角． 【详解】（1）解：图中通过逐一识别可得共有5个三角形，用符号表示为，； 其中以为边的三角形是包含边的； 以为一个内角的三角形是内角有的． 故答案为：5． （2）在中的对边是不与相邻的边； 的对角是不与相邻的角； 通过观察图形可知与的公共边是，公共角是（或． 故答案为：． 3．(1)6个，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形． （1）根据三角形的定义解答； （2）根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】（1）解：图中有6个三角形：，，，，，． （2）解：锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 4． 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可 【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：； 故答案为：； （2）如图，线段BC是和的边； 故答案为：；； （3）如图，的3个内角是，三条边是； 故答案为：；； （4）如图，是的外角． 故答案为：． 5． 【分析】本题考查直角三角形的认识，分两种情况：由个三角形组成的；由多个三角形组成的，分别确定它们的个数，再相加即可．解题的关键的是掌握直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形． 【详解】解：由个三角形组成的直角三角形的个数：， 由多个三角形组成的直角三角形的个数：， ∴（个） ∴图中共有个直角三角形． 故答案为：． 6．D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 7．A 【分析】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 8．②④/④② 【分析】本题考查了三角形的分类，以及等腰三角形和等边三角形的关系．理解等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形是解题的关键． 根据三角形的分类方法逐项判断即可； 【详解】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误； ②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确； ③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按照边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形，故原说法错误； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确． 综上所述：说法正确的有②④． 答案为：②④． 9．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意； B、∵， ∴，，不能组成三角形，该选项不符合题意； C、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； D、∵， ∴不能组成三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 10．A 【分析】此题主要考查三角形的两边之和大于第三边以及等腰三角形的两条腰相等的特点．依据三角形的两边之和大于第三边以及等腰三角形的定义即可解答． 【详解】解：A、 因为有两条边相等，并且，故本选项符合题意； B、 因为，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，能组成三角形，但不是等腰三角形，故本选项不符合题意； D、，三边不能组成三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 11．A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 12． 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，即得，，进而由三角形的三边关系得，即得到的最大值为，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴由三角形的三边关系得，， 即， ∵为正整数， ∴的最大值为， ∴周长的最大值是， 故答案为：． 13．22 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得， 即， ∵为偶数， ∴， ∴的周长． 14．三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知三角形稳定性的特点．根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【详解】解：这样做是运用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 15．7/七 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长为， 则， 即， ∴可取，，，，，，，有7种取法； 故答案为：7． 16．B 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，由于三角形具有稳定性，所以只要添加的木条将四边形分成最少数目的三角形时，所需木条的数量即为最少．利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，我们只需1根木条，即对角线，就可达到不变形的目的． 综上可得，要使四边形木架不变形，至少要钉1根木条． 故选：B． 17．C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)，然后根据三边关系来确定，的取值组合，从而得出整数边三角形的个数． 【详解】解：设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)， 当时，根据三边关系需满足， 又因为， 所以， 则a可以为或或或或或或，此时有种情况满足题意； 同理可得：当时，，则a可以为或或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或，此时有种情况满足题意； ，共有种情况满足题意， 故选：C． 18．C 【分析】本题考查等腰三角形及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论． 分两种情况讨论，当为底边长时和当为底边长时两种情况讨论． 【详解】解：当为底边长时，腰长为， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为； 当为底边长，腰长为时， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为， 故它的周长为或． 故选：C． 19． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理是解题关键．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）延长交于，由三角形三边关系定理得，，即可证明； （2）由三角形三边关系定理得，因此，得到． 【详解】（1）证明：延长交于， 由三角形三边关系定理得：，， ∴， ∴； （2）由三角形三边关系定理得：， 由（1）知， ∴， ，，， ∴． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$