13.2.1三角形的边（大单元分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.2.1三角形的边（原卷版） 目 录 类型一、判断能否构成三角形 1 类型二、已知三角形的两边，求第三边的取值范围 1 类型三、三角形的稳定性 2 类型四、等腰三角形中的分类讨论 4 类型一、判断能否构成三角形 1．下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 2．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 3．下列各组数中，不可能是一个三角形三边长的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，6 C．5，7，12 D．4，4，5 4．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 6．，，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 类型二、已知三角形的两边，求第三边的取值范围 7．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ） A． B． C． D． 8．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 9．如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 10．开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 11．一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 12．已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 13．已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 14．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 15．已知某三角形的三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值有 个． 类型三、三角形的稳定性 16．如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 17．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 18．若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 19．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C．D． 20．网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是 ． 21．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 22．木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 类型四、等腰三角形中的分类讨论 23．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 24．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 25．若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是 ． 1．老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若，，是的三边，试化简： ． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为 ． 4．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 5．已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 6．在如图所示的直角三角形中，斜边为，两直角边分别为，，设，，． (1)试用所学知识说明，斜边是最长的边； (2)试化简． 1．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 3．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2.1三角形的边（解析版） 目 录 类型一、判断能否构成三角形 1 类型二、已知三角形的两边，求第三边的取值范围 3 类型三、三角形的稳定性 6 类型四、等腰三角形中的分类讨论 9 类型一、判断能否构成三角形 1．下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和小于第三边，任意两边之差大于第三边是解题的关键； 根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，所以长度为2，4，8的三条线段不能组成三角形； B、因为，所以长度为5，5，10的三条线段不能组成三角形； C、因为，所以长度为2，10，13的三条线段不能组成三角形； D、因为，所以长度为3，6，8的三条线段能组成三角形； 故选：D. 2．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 3．下列各组数中，不可能是一个三角形三边长的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，6 C．5，7，12 D．4，4，5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，符合题意； D、，能构成三角形，不符合题意； 故选：C 4．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：A选项：，故不能组成三角形； B选项：，故能组成三角形； C选项：，故不能组成三角形； D选项：，故不能组成三角形； 故选：B． 5．现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系． 从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数． 【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有： ； ； ； ； ； ； ． 共有 7 种情况． 故答案为： 7 ． 6．，，（，）分别表示三条线段的长度，试判断以其为边是否能组成三角形． 【答案】不能，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，理解并掌握三角形三边关系是解题关键．三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可获得答案． 【详解】解：，， ∴为较短边的长度， 又， 不能组成三角形． 类型二、已知三角形的两边，求第三边的取值范围 7．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示： 那么，即． 由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径． 故选：A． 8．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 9．如图，折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．确定第三边的取值范围是解题的关键．由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：根据题意，由三角形的三边关系得，， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 10．开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键； 此题可根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 故答案为：（答案不唯一） 11．一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系列出不等式求解，分情况进行求三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得， 即， ∵边长为偶数， ∴或， ∴当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 12．已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 13．已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，8， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的值为，，，，， ∴满足条件的值的和为， 故答案为：． 14．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 15．已知某三角形的三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值有 个． 【答案】7 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系得到． 三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可解决问题． 【详解】解：∵三角形三边长分别为4，x，11， ∴， ∴， ∵x为正整数， ∴x的值是8、9、10、11、12、13、14， ∴满足条件的x值的个数是7个． 故答案为：7． 类型三、三角形的稳定性 16．如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 17．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 18．若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 【答案】B 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意，得即， 故选：B． 19．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 20．网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，根据该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机，得出这样设计的原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机， ∴这样设计的原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 21．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．根据题意即可得到答案． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 22．木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 【答案】稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 类型四、等腰三角形中的分类讨论 23．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 故选：C． 24．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，“分类讨论”的数学思想是解题关键．分情况讨论：腰长为，底为；腰长为，底为，先判断是否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为，底为，，不能构成三角形； 当腰长为，底为，周长． 故答案为：． 25．若等腰三角形的两边长分别是，则它的周长是 ． 【答案】22 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分为腰长和为底边长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 当为底边长时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：22． 1．老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．若，，是的三边，试化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． ∴的周长= 故答案为：． 4．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 5．已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可． （2）根据三角形三边关系，化简解答即可． 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 的周长为． （2）解：∵，，是三角形的三边长， 故， ∴，， ∴ ． 6．在如图所示的直角三角形中，斜边为，两直角边分别为，，设，，． (1)试用所学知识说明，斜边是最长的边； (2)试化简． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段长短比较及去绝对值问题，侧重考查知识点的记忆、理解、应用能力，解题的关键是掌握线段长度比较方法． （1）利用垂线段最短即可确定出的长短关系，问题即可解答； （2）由三角形三边关系可以得到，结合（1）即可去掉绝对值号，然后合并同类项解答题目． 【详解】（1）解：因为点与直线上点，的连线中，是垂线段，所以． 因为点与直线上点，的连线中，是垂线段，所以， 所以，，中，斜边最长． （2）解：因为，，， 所以，，， 所以 ． 1．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 2．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 3．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 (1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； (2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (3)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． （2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． （3）解：设， 由题意可得：，解得：． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$