22.2 二次函数与一元二次方程（同步课堂）2025-2026学年人教版（2024）数学九年级上册　

22.2 二次函数与一元二次方程 目录 题型01 判断抛物线与x轴的交点的情况 6 题型02 根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 8 题型03 利用二次函数求一元二次方程的近似解 10 建体系 新知廊 知识点1：二次函数与一元二次方程根的关系 1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 2．二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数（a≠0）的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 Δ＝b2﹣4ac 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【注意】二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的． 　　（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根． 知识点2：图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点3：二次函数与二次不等式的关系 二次函数（a≠0）与一元二次不等式（a≠0）及（a≠0）之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 或 （或） 无解 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【注意】抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 求甚解 1．利用二次函数图象求二次不等式的步骤： （1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点； （2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解． 2．抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式： 当时，设抛物线与x轴的两个交点为A（，0），B（，0），则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即（） 3．利用二次函数求一元二次方程的近似解 （1）利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下： ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根． （2）用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间． （3）通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下： ①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n； ②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号； ③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度． 练题型 题型01 判断抛物线与x轴的交点的情况 典型例题 典例 01 （2024秋•黔南州期中）抛物线y＝﹣x2+4x﹣5与坐标轴的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】当x＝0时，计算出y＝﹣5，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5），再根据Δ＜0得出抛物线y＝﹣x2+4x﹣5与x轴没有交点，从而得出结论． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣5， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5）， 当y＝0时，﹣x2+4x﹣5＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣1）×（﹣5）＝16﹣20＝﹣4＜0， ∴方程﹣x2+4x﹣5＝0没有实数解， ∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣5与x轴没有交点， ∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣5与坐标轴有1个交点． 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•拱墅区校级月考）抛物线y＝x2﹣3x+5与坐标轴的交点个数为（　　） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】只需要判断Δ与0的大小关系即可． 【解答】解：△＝（﹣3）2﹣4×5＝9﹣20＝﹣11＜0， ∴抛物线与x轴没有交点， 令x＝0代入y＝x2﹣3x+5， ∴y＝5， 即抛物线与x轴无交点，与y轴有一个交点， 故选：B． 【变式练2】　（2025•沈阳模拟）函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴的交点的情况是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】C 【分析】当y＝0时，x2﹣x+1＝0，再根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【解答】解：当y＝0时，x2﹣x+1＝0， 则Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴无实数根， ∴函数y＝x2﹣x+1的图象与x轴无交点， 故选：C． 【变式练3】　（2025春•兴宁区校级期末）二次函数y＝2x2﹣3x+1与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】C 【分析】令y＝0，则2x2﹣3x+1＝0，然后通过根的判别式即可求解． 【解答】解：令y＝0，则2x2﹣3x+1＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝9﹣8＝1＞0， ∴抛物线与x轴有2个交点， 故选：C． 题型02 根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 典型例题 典例 02 （2025•兴庆区校级四模）若二次函数y＝x2+2x﹣2m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵函数y＝x2+2x﹣2m的图象与x轴有且只有一个交点， ∴Δ＝22﹣4×1×（﹣2m）＝0， 解得：m． 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　（2025•中宁县二模）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中，△≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点， ∴， ∴k且k≠0． 故答案为k且k≠0． 【变式练2】　（2024秋•碑林区校级期末）若二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：∵二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1＝0有解， ∴， 解得：k≤3且k≠2． 故答案为：k≤3且k≠2． 【变式练3】　（2024秋•邗江区校级期末）二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×2≥0，解得k≤2， 又∵y＝kx2﹣4x+2是二次函数， ∴k≠0， ∴k的取值范围是k≤2且k≠0． 故答案为：k≤2且k≠0． 题型03 利用二次函数求一元二次方程的近似解 典型例题 典例 03 （2023•晋城模拟）根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 　　 .（精确到0.01） 【答案】1.65． 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【解答】解：根据题意得： 6﹣5.9696＝0.0304， 6.0225﹣6＝0.0225， 0.0304＞0.0225， 可见6.0225比5.9696更逼近6， 当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65； 故答案为：1.65． 即学即练 【变式练1】　（2022秋•天河区校级期中）如表是二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的一组对应值，那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 A．x＝1 B．x＝1.1 C．x＝1.2 D．x＝1.3 【答案】C 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2， 故选：C． 【变式练2】　（2022秋•禹会区校级月考）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　） A．1.4 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【答案】C 【分析】观察表格可得0.03更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2， 故选：C． 【变式练3】　（2024秋•榕城区期末）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x﹣1.1 ﹣0.99 ﹣0.86 ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61 A．0.09 B．1.1 C．1.6 D．1.7 【答案】D 【分析】根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解． 【解答】解：∵x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1的值0.09最小， ∴一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0的最精确的一个近似解是1.7． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$