22.3 实际问题与二次函数（同步课堂）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 目录 题型01 销售利润问题 4 题型02 抛物线形问题 7 题型03 图形面积问题 11 题型04 动态几何问题 16 题型05 二次函数的最值 20 建体系 新知廊 知识点1：利用二次函数解决实际问题的一般步骤 1．审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． 4．解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． 5．验：检验结果，得出符合实际意义的结论． 6．答：写出答案． 知识点2：利用二次函数解决实际问题的常见类型 1．图形面积的最值问题 （1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． （2）常见模型：求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解． （3）关键步骤： ①设出一个适当的自变量（通常是图形的边长、宽、高或变化的长度等）． ②根据图形的性质和题目条件，用含自变量的代数式表示出与面积相关的其他边长或维度． ③根据面积公式列出二次函数关系式． ④求出函数的最值及对应的自变量的值，并检验是否符合实际意义． 2．利润最大化问题 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． （1）基本关系：总利润 = （每件商品的利润）×（销售量），或 总利润 = 总收入 - 总成本． （2）计算公式： 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） （3）关键步骤： ①设出一个自变量（通常是每件商品的涨价或降价金额，或销售单价）． ②用含自变量的代数式表示出每件商品的利润和销售量（销售量往往与单价有关，单价变化会引起销售量反方向变化）． ③根据总利润公式列出二次函数关系式． ④求出利润的最大值及对应的自变量的值（如最佳涨价/降价金额、最佳销售单价）． 3．抛物线形建筑问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答． 利用二次函数解决抛物线形建筑问题的步骤： （1）建立恰当的平面直角坐标系； （2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标； （3）合理地设出函数解析式； （4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式； （5）利用解析式求解． 4．利用二次函数解决动态几何问题 利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法． 求甚解 1．根据实际问题列出二次函数关系式易错点： （1）等量关系找错：未能准确理解题目中的数量关系，导致列出的函数关系式错误． （2）自变量取值范围忽略：只注重列出函数关系式，而忽略了自变量 在实际问题中的取值限制，导致后续求解没有实际意义． （3）单位不统一：在列关系式前，未将所有已知量的单位统一，导致计算错误． （4）表达式不是二次函数：有时可能由于分析错误，列出的表达式不是二次函数，而是一次函数或其他函数． 2．配方或公式法求顶点： 对于列出的二次函数，可以通过配方转化为顶点式． ，或者直接利用顶点坐标公式（，）求出顶点坐标． 3．判断最值： （1）当时，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为（或），此时自变量（或）． （2）当时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为（或），此时自变量（或）． 练题型 题型01 销售利润问题 典型例题 典例 01 （2024秋•靖西市期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【答案】C 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025•福田区校级三模）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A．w＝（99﹣x）[200+2（x﹣50）] B．w＝（x﹣99）[200+2（x﹣50）] C．w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）] D．w＝（x﹣50）[200﹣2（99﹣x）] 【答案】C 【分析】根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式． 【解答】解：∵每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元）， 则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售[200+2（99﹣x）]件， 根据题意得：w＝（x﹣50）[200+2（99﹣x）]， 故选：C． 【变式练2】　（2025•和平区三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过65%．有下列结论： ①每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是y＝﹣10x+1000； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】依据题意，列出函数关系式即可判断①；依据题意，设利润为W元，得出W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣70）2+9000，再求出x≤66，再通过﹣10＜0，开口向下，当x＜70时，W随x的增大而增大，则当x＝66时，W 有最大值，从而可以判断②；依据题意，令w＝﹣10（x﹣70）2+9000＝6750，再根据二次函数性质可知当55≤x≤66时，W≥6750． 【解答】解：由题意，y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，故①正确． 又设利润为W元， ∴W＝（x﹣40）（﹣10x+1000） ＝﹣10x2+1400x﹣40000 ＝﹣10（x﹣70）2+9000． 又∵100%≤65%， ∴x≤66， ∵﹣10＜0，开口向下，当x＜70时，W随x的增大而增大， ∴x＝66时，W 最大为8840元， ∴当销售单价定为66元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是8840元，故②错误． 由题意，令w＝﹣10（x﹣70）2+9000＝6750， ∴x1＝85，x2＝55， ∵﹣10＜0，开口向下，且x≤66， ∴当x＝55时，W＝6750，故③错误． 综上，正确的有①共1个． 故选：B． 【变式练3】　（2024秋•肥乡区期末）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ （2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）销售单价应定为30元或40元； （2）当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元． 【分析】（1）设销售单价为x元，可列方程为（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解方程即可解决问题； （2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设销售单价为x元， 依题意得：（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000， 解得x1＝30，x2＝40， 答：销售单价应定为30元或40元； （2）设销售单价为x元，每天的销售利润y元， 依题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000 ＝﹣10（x﹣35）2+2250． ∵﹣10＜0， ∴当x＝35时，y有最大值，最大值为2250元， 答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元． 题型02 抛物线形问题 典型例题 典例 02 （2025•江岸区校级模拟）如图，小明在一次高尔夫球赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距米．在如图所建立的平面直角坐标系下． （1）直接写出点A的坐标； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式； （3）直接判断小明这一杆能够把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． 【答案】（1）A（12，4）；（2）y（x﹣9）2+12；（3）这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． 【分析】（1）利用30°所对的直角边是斜边的一半求出AC，再根据勾股定理求OC，写出点A的坐标； （2）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式； （3）把点A的横坐标代入抛物线的解析式中，如果y值与相等，则能进入A点；否则，不能打入球洞A点． 【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8， ∴AC＝4，OCAC＝12， ∴A（12，4）； （2）由题意得：顶点B（9，12），且抛物线过原点， 所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣9）2+12， 把（0，0）代入得：0＝a（0﹣9）2+12， a， ∴球的飞行路线所在抛物线的解析式为：y（x﹣9）2+12； （3）当x＝12时，y（12﹣9）2+124， ∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． 即学即练 【变式练1】　（2025•宁明县一模）杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【答案】A 【分析】将函数解析式化为顶点式，再求二次函数的最值即可． 【解答】解：， ∵， ∴当x＝2时，y取得最大值2， ∴羽毛球飞出的最大高度为2米， 故选：A． 【变式练2】　（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【答案】B 【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值． 【解答】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 【变式练3】　（2025•抚州模拟）若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，有以下结论： ①小球在空中经过的路程是40m； ②h与t之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为6s； ④当小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．以上结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次函数图象和性质求解． 【解答】解：由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m．故①是错误的； 设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40， 由题意得：a（0﹣3）2+40＝0， 解得：a， ∴h（t﹣3）2+40．故②是错误的； 当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故③是正确的； 当h＝30时，（t﹣3）2+40＝30， 解得h＝4.5或1.5．故④是错误的； 故选：A． 题型03 图形面积问题 典型例题 典例 03 （2025•红桥区二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论： ①AD的长可以是10m； ②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m； ③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得 AD＝EF＝BC，AB＝CD，即得3AD+CD＝45，可得3AD≥45﹣21，得到AD≥8，即可判断①； 设AD＝BC＝EF＝x m，则CD＝AB＝43﹣3x+2＝45﹣3x，可得S矩形ABCD＝AD•CD＝x（45﹣3x），利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【解答】解：①：四边形ABCD是矩形，EF分别为边AB，CD的中点， ∴AD＝EF＝BC，AB＝CD， ∵篱笆的长度是43m， ∴AD+BC+EF+CD﹣2＝43， ∴3AD+CD＝45， ∵AB的长不超过21m， ∴3AD≥45﹣21， ∴AD≥8， ∴AD的长可以是10m，故①正确； ②设AD＝BC＝EF＝x m，则CD＝AB＝43﹣3x+2＝45﹣3x， ∴S矩形ABCD＝AD•CD＝x（45﹣3x）， 当x（45﹣3x）＝150时，解得x1＝5，x2＝10， ∵AD≥8， ∴x＝10， ∴BC的长为10m，故②错误； ③， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵AD＝x≥8， ∴当x＝8，即BC的长为8m时，矩形菜园ABCD的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有2个， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•都安县期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AD靠墙，AD的长不能超过25m，其余的三边AB，BC，CD用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①AB的长可以为7m；②AB有两个不同的值满足菜园的面积为182m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设AD边长为x m，则AB边长为，根据AB＝7列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝182，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为y m2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为， 当AB＝7时，， 解得x＝26， ∵AD的长不能超过25m， ∴x≤25， 故①不正确； ∵菜园ABCD面积为182m2， ∴， 整理得：x2﹣40x+364＝0， 解得x＝26或x＝14， ∵x＜25， ∴x＝14， ∴AB的长只有一个值满足菜园ABCD面积为182m2， 故②错误； 设矩形菜园的面积为ym2， 根据题意得：， ∵， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200． 故③正确； ∴正确的有1个， 故选：B． 【变式练2】　（2025春•广州期中）如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为10m的篱笆围成一个长方形菜园ABCD，设AD边长为xm，菜园面积为ym2，则y与x之间的函数关系为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】设AD边长为x米，根据已知条件可以推出AB＝10﹣2x，然后根据长方形的面积公式即可求出函数关系式． 【解答】解：菜园ABCD是矩形菜园，设AD边长为x米， ∴AB＝10﹣2x， 菜园的面积y＝AB×AD＝x（10﹣2x）＝﹣2x2+10x， ∵， ∴0＜x＜5． 故答案为：y＝﹣2x2+10x（0＜x＜5）． 【变式练3】　（2025春•南京校级期末）如图，在一块空地上有一段长为a米的旧墙MN，现在利用旧墙一部分AD（不超过MN）和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD． （1）若a＝30，求矩形菜园ABCD面积的最大值； （2）若木栏增加2a米，矩形菜园ABCD面积的最大值为2800米2，则a的值为　40　 ． 【答案】（1）矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米； （2）40． 【分析】（1）设AD＝x米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设AD＝m米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【解答】解：（1）设AD＝x米，0＜x≤30，根据题意，得： 矩形菜园ABCD面积， ∵，图象开口向下， ∴当0＜x≤30时，y随x的增大而增大， 当x＝30时，S有最大值，最大值为1050平方米． 答：最大值为1050平方米； （2）当木栏增加2a米时，木栏总长为（100+2a）米， 设AD＝m米，0＜m≤a， 矩形菜园ABCD面积， ∵，图象开口向下， ∴当0＜m≤a时，y随m的增大而增大， 当m＝a时，S有最大值，最大值为， ∴， 解得：a＝40（负值已舍去）， 故答案为：40． 题型04 动态几何问题 典型例题 典例 04 （2025•金安区校级二模）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A沿线段AC向C运动，点Q先从点A沿线段AB运动，到达点B后，再沿线段BC向C运动，点P和Q到达点C后就停止运动．当点P运动的路程为x时，点Q运动的路程为，则在运动过程中△CPQ面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求得AC＝5，设运动过程中△CPQ面积为y，分点Q在AB，BC上运动，分别求得Q到AC的距离，进而根据三角形的面积公式得出y与x的函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：由勾股定理得：， 设运动过程中△CPQ面积为y， 当，即时，在点Q在AB上运动， 如图，过点Q作DQ⊥AC于点D， ∵， ∵， ∴， ∵PC＝5﹣x， ∴， ∴当，取得最大值，最大值为， 当，即时，Q在BC上， 如图，过点Q作QR⊥AC于点R， ∵，，PC＝5﹣x， ∴， ∵对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴在运动过程中△CPQ面积的最大值为， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•郑州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，先根据题意列出函数关系式，再求其最值． 【解答】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y， 则AP＝x，CQ＝2x， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm， ∴CA3cm． ∴CP＝3﹣x， ∴y3×42x（3﹣x）＝（x）2． ∴当x时，y有最小值， 故选：C． 【变式练2】　（2024秋•莲池区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝7cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF的面积最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】由题意得：AP＝tcm，PD＝（7﹣t）cm，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：，代入可得结论． 【解答】解：设△PCD的面积为y cm2， 由题意得：AP＝tcm，PD＝（7﹣t）cm， ∴， ∴， 由勾股定理可知PC2＝22+（7﹣t）2＝t2﹣14t+53， ∴， 当t为6s时，△DEF的面积最小，且最小值为． 故答案为：． 【变式练3】　（2024秋•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为边AD上的动点，连接CE，以CE为边作正方形ECGF，连接DG，EG，则△DEG面积的最大值为　　 ． 【答案】． 【分析】连接BE，设DE＝x（0≤x≤6），则CE2＝DE2+CD2＝x2+62＝x2+36，证明△BCE≌△DCG，得出S△BCE＝S△DCG，根据，由此利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：连接BE，如图所示： 由条件可知∠CDE＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE＝CG，∠ECG＝90°， 设DE＝x（0≤x≤6），则CE2＝DE2+CD2＝x2+62＝x2+36， ∵∠BCE+∠DCE＝∠DCE+∠DCG＝90°， ∴∠BCE＝∠DCG， ∴△BCE≌△DCG， ∴S△BCE＝S△DCG， ∴S△DEG＝S四边形ECGD﹣S△ECG ＝S△ECD+S△DCG﹣S△ECG ＝S△ECD+S△BCE﹣S△ECG ， ， ∴当x＝3时，最大，且最大值为， 即△DEG面积的最大值为． 故答案为：． 题型05 二次函数的最值 典型例题 典例 05 （2025•杭州模拟）二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【解答】解：∵a＝2＞0，开口向上， ∴当x＝﹣1时，二次函数y＝2（x+1）2﹣7有最小值为﹣7， 故答案为：A． 即学即练 【变式练1】　（2023秋•绵阳期末）二次函数y＝（x﹣3）2+1的最小值是（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点式形式写出最小值即可． 【解答】解：当x＝3时，二次函数y＝（x﹣3）2+1的最小值是1． 故选：A． 【变式练2】　（2024秋•浔阳区校级月考）已知：抛物线y＝x2﹣6x+c的最小值为1，那么c的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】题中已知抛物线y＝x2﹣6x+c的最小值为1，写出最小值的表达时即可进行求解． 【解答】解：因为二次函数y＝x2﹣6x+c的最小值为1， 所以1， 解得c＝10． 故选：A． 【变式练3】　（2025•哈尔滨模拟）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是　　 ． 【答案】3． 【分析】由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求得二次函数的最小值． 【解答】解：当x＝﹣1时，y有最小值3， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $$