第二十一章 一元二次方程 课时作业1（21.1-21.2） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

1．D 【分析】本题考查一元二次方程的概念． 根据一元二次方程的概念，对每一个方程进行分析判断即可． 【详解】解：符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； 展开后为，整理得，最高次数为4，不符合一元二次方程的定义，故不是一元二次方程； 化简后为，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，故不是一元二次方程； 整理为，符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； ，不符合一元二次方程的定义，故不是一元二次方程； 合并同类项得，符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程； ∴一元二次方程有． 故选：D． 2. C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义．把代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2， ∴， 解得：． 故选：D 5．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 6．C 【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长． 本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想． 【详解】解：由一元二次方程，得， 解得，或； ∴等腰三角形的两腰长是5或1； ①当等腰三角形的腰长是1时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ②当等腰三角形的腰长是5时，，，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长； 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由m是方程的根，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，代数式求值，利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ∵方程可以配方成， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 由一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，且， 故选：． 11．D 【分析】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法，正确应用新定义是解题关键． 直接利用新定义，列出方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 整理得， 解得． 故选：D． 12．25 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 所以，， 所以． 故答案为：25． 13．3 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法将二次三项式化为，即可求解． 【详解】解： ， ， 的最小值为0， 的最小值为3，即二次三项式的最小值为3， 14． 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为，进而根据完全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 当且时，的最小值，最小值为， 故答案为：． 15．2 【分析】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 16．有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 17． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，再将方程转化为的形式即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 18．0 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根据一元二次方程的解代入原方程求出结论即可． 【详解】解：由题意得：把代入， ， 故答案为：0． 19． 3 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．先将一元二次方程化为一般形式，再识别二次项系数及一次项即可． 【详解】解：去括号，得， 移项及合并同类项，得， 二次项系数是3；一次项是． 故答案为：3；． 20. 【详解】（1）解： ，． （2）解： ，． （3）解： ∴ 或 （4）解： ∴ 或 5）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （6）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （7）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （8）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （9）解： ∴ 解得，； （10） ∴或 解得，． （11）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （12）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； (1)当时，方程的解为，， 当时，方程的解为， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，三角形三边关系，勾股定理等知识，掌握一元二次方程相关知识是解题的关键． （1）由方程的判别式的值为可列方程，可得的值，再由的值解出方程； （2）由等腰三角形的腰是正数和三角形三边关系，确定腰长，根据勾股定理求得底边上的高，进而求得面积． 【详解】（1）解：方程的判别式的值为， ， 解得：， 当时，方程的解为，， 当时，方程的解为，； （2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根， 当时，方程的解为，，不符合题意， 等腰三角形的腰长是方程的解为，， 当腰为时，，不能构成三角形， 等腰三角形的腰长是， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级 第二十一章 一元二次方程 课时训练1（21.1~21.2） 1．有下列方程：；；；；；．其中，是一元二次方程的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②⑥ D．①④⑥ 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 4．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．14 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 6. 已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 7. 一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 8．若是方程的根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 9．如果方程可以配方成，那么（    ） A．0 B．1 C． D． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 11. 对于实数，定义运算“※”如下：，例如，※．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 13．二次三项式的最小值等于 ． 14．若多项式．那么的最小值是 ． 15．若a是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 16. 若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 17．一元二次方程化为一般形式是 ． 18．若一元二次方程有一根是1，则 ． 19．一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 ，一次项是 ． 20. 解方程： (1)； (2)． (3)； (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)； (10)． (11)； (12)； 21. 已知方程的判别式的值为． (1)求的值并求出方程的根． (2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$