第1章 有理数 章节复习提升（8大考点+12种题型） 【精英班课程】2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义（沪教版2024）

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章有理数章节复习提升 题型01：正数与负数 1. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）如果规定向东走为正，那么走表示的意义是_____． 【答案】向西走米 【解析】 【分析】本题考查相反意义的量，根据向东为正，得出向西走即为负是解题的关键．利用相反意义的量可知向东为正，那么向西走即为负，即可得出结论． 【详解】向东走为正， 表示的意义是向西走米， 故答案为：向西走米． 2．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）如果零上15℃记作+15℃，那么零下10℃可记作 　　℃． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果零上15℃记作+15℃，那么零下10℃可记作﹣10℃． 故答案为：﹣10． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 3.（2024秋•海曙区校级期中）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　　 （填“合格”或“不合格”）． 【考点】正数和负数． 【分析】φ20±0.02 mm，知零件直径最大是20+0.02＝20.02mm，最小是20﹣0.02＝19.98mm，合格范围在19.98mm和20.02mm之间． 【解答】解：零件合格范围在19.98mm和20.02mm之间．19.9mm＜19.98mm，所以不合格． 故答案为：不合格． 【点评】本题考查数学在实际生活中的应用． 4.. 在，，，0，，，七个数中，正有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的分类，比0大的数为正有理数对各数进行一一判断即可． 【详解】解：是正有理数，是负有理数，是负有理数，0既不是正有理数也不是负有理数，是正有理数，是正有理数，是正有理数， 故正有理数有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的概念，有理数的乘方，绝对值的意义等知识，掌握正有理数的概念是解题关键． 题型02：有理数的概念与分类 5. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，解题的关键是注意不是有理数．根据有理数的概念即可得出答案． 【详解】有理数有，，0，，，，，， 共有个， 故选：D． 6．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）已知下列各数：﹣（﹣5）、、0.45、0、﹣52、﹣（﹣5）2，这六个数中非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】先化简各数，然后再根据非负数的定义判断即可． 【解答】解：﹣（﹣5）＝5，，﹣52＝﹣25，﹣（﹣5）2＝﹣25， 所以非负数有：﹣（﹣5）、0.45、0，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，有理数，熟知非负数的定义是解题的关键． 题型03：数轴 7.（2024秋•杭州月考）如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①ab＜0，②﹣a＜0，③a+b＜0，其中说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．② D．①②③ 【考点】数轴． 【分析】根据数轴可知b＜0＜a，|a|＜|b|，据此根据乘法和加法计算法则求解即可． 【解答】解：∵b＜0＜a，|a|＜|b|， ①∴ab＜0，正确， ②﹣a＜0，正确， ③a+b＜0，正确， ∴正确的有①②③， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法和乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． 8.（2024秋•鹿城区校级期中）将点A沿数轴向左移动2个单位长度可到达点B，若点B在数轴上对应的数为﹣1，则点A对应的数为（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【考点】数轴． 【分析】点A向左移动2的单位长度得到点B，已知点B在数轴上对应的数为﹣1，则﹣1+2，求出点A对应的数即可． 【解答】解：由条件可知：点A对应的数为：﹣1+2＝1． 故选：B． 【点评】本题考查数轴的知识，解题的关键是熟练掌握数轴的性质． 9. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）在数轴上标出下列各数所对应的点：①的绝对值；②；③绝对值等于的数；④2的相反数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：，绝对值等于的数为，2的相反数为， 数轴表示如下所示： 10. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道点表示的数是，那么点表示的数是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查数轴，解题关键是熟悉分数的意义．根据点表示的数是，可得从到分成了份，一份为，再由相隔份，即可得点表示的数． 【详解】点表示的数是， 从到分成了份，一份为， 点表示的数是． 故答案为：． 11. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）如图，点为数轴的原点，点，在数轴上分别表示数，，且，满足，在数轴上有一点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，求点在数轴上表示的数________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，先由非负数的性质得到，则，设点M表示的数为x，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设点M表示的数为x，则， ∵点到点的距离是点到点的距离的3倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴点M表示的数为或， 故答案：或． 12. （2024-25学年闵行区六年级上期中）在数轴上有A、B、C、D四个点，点A、点B的位置如图所示，点C表示的数是，点D表示的数是． （1）点A表示的数是________，点B表示的数是________； （2）在数轴上分别画出点C、点D； （3）将A、B、C、D四个点所表示的数用“<”连接________． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【小问1详解】 解：点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图， ； 【小问3详解】 由数轴知：． 故答案为： 题型04：相反数与绝对值 13. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）的相反数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解： 的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 14.（2024-25学年闵行区六年级上期中） ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，求一个数的绝对值，先计算乘方，再计算绝对值，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15. （2024-25学年闵行区六年级上期中）绝对值小于3.2的整数有____________． 【答案】0，±1，±2，±3 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，利用数形结合的数学思，先画出图形，再从图中得出答案． 【详解】解：如图， 绝对值小于3.2的整数是：﹣3；﹣2；﹣1；0；1；2；3． 故答案为：0；±1；±2；±3． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，正确理解绝对值的意义是解题的关键． 16. （2024-25学年闵行区六年级上期中）在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义：一个数的绝对值，即数轴上表示这个数的点到原点的距离． 【详解】根据绝对值的意义得：数轴上距离原点4.5个单位长度的点所表示的有理数，即绝对值是4.5的数，是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了考查了绝对值的几何意义，即数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，解体的关键是理解并掌握绝对值的意义． 17. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）下列说法正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定不小于它本身 B. 两个有理数的和一定大于每一个加数 C. 如果两个数的和为0，那么这两个数都等于0 D. 如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数都等于0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加法运算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键，根据绝对值的概念和有理数的加法运算法则逐个判断即可． 【详解】A．一个数的绝对值一定不小于它本身，所以A正确， B．两个有理数相加，和不一定大于每个加数， 例如与相加，所以B错误， C．如果两个数的和为0，那么这两个数不一定都等于0， 例如与相加，所以C错误， D．如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定都等于0， 例如，所以D错误． 题型05：绝对值的性质、化简 18．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：B． 19. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数；m的绝对值是最小的正整数，则____． 【答案】0 【解析】 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出，，或，代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数且，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数， ∴，，，或， 当m=1时，原式； 当m=-1时，原式， 故答案为：0． 【点睛】此题考查了求代数式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）如果 ，化简：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据去绝对值法则去掉绝对值．然后合并同类项化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值的化简及整式的加减，关键是掌握去绝对值法则：． 21.（2024秋•萧山区期中）若abc≠0，则（　　） A．0或±1 B．±3或0 C．±3或0或±1 D．±3或±1 【考点】绝对值． 【分析】分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解． 【解答】解：有四种情况讨论如下： ①都为正数，则原式； ②都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设a为正数，b，c为负数，则原式＝﹣1； ④一个负数，两个正数，假设a为负数，b，c为正数，则原式＝1； 综上，的值为±3或±1， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 22.（2024秋•杭州期中）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　﹣2a+b　 ． 【考点】绝对值． 【分析】利用数轴知识解答． 【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b＜c，|a|＜b＜c， ∴a﹣c＜0，c﹣b＞0， ∴|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b| ＝﹣a+[﹣（a﹣c）]﹣（c﹣b） ＝﹣a﹣a+c﹣c+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，从而可得，即可得解； （2）由数轴可得，从而得出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∴， ∴； （2）解：由数轴可得：， ∴，， ∴． 题型06：有理数大小比较 24. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）比较大小：____________．（用“>”或“<”填空） 【答案】＜ 【解析】 【分析】先化简再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即：， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查有理数大小的比较，熟练根据绝对值和有理数的运算将原式进行化简是解题的关键． 25．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）比较大小： 　＞　﹣（﹣1.7）（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：∵＝，﹣（﹣1.7）＝1.7， ∴＞﹣（﹣1.7）． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 26.（2023秋•路桥区期末）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列大小关系正确的是（　　） A．m＞n＞0 B．m＞0＞n C．n＞m＞0 D．n＞0＞m 【考点】有理数大小比较；数轴． 【分析】根据数轴上点坐标的特点：数轴上原点右边的数大于0可得m大于0，原点左边的数小于0，可得n小于0作出解答即可． 【解答】解：由数轴上m、n的位置可知：m＞0＞n， 故选：B． 【点评】此题考查了数轴，利用了数形结合的思想是关键． 27．下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值等知识点．根据绝对值的性质，通过举反例逐项判断即可． 【详解】解：①当，，满足，而，故①错误； ②当，，满足，而，故②错误； ③当，，满足，而，故③错误； ④若，则，故④正确； 综上，错误的有①②③共3个． 故选：C． 28.（2024秋•吴兴区期中）已知五个数分别为﹣5，|﹣1|，，﹣（﹣3），4．在如图所示的数轴上表示各数，并用“＜”号把这些数连接起来． 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值． 【分析】先在数轴上表示各个数，再根据右边的数总比左边的数大用“＜”把这些数连接起来即可． 【解答】解：|﹣1|＝1； ﹣（﹣3）＝3 如图所示： 故：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，在数轴上表示各数是关键． 题型07：有理数的乘方运算 29.有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 30. （2024-25学年闵行区六年级上期中）下列各对数中，数值相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，先化简各数，然后比较即可求解． 【详解】解：A. 与，不相等，故该选项不正确，不符合题意； B. 与，不相等，故该选项不正确，不符合题意； C. 与，相等，故该选项正确，符合题意； D 与，不相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 31．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）下列各组式子中，结果相等的是（　　） A．32与23 B．[（﹣2）×（﹣3）]2与（﹣2）×（﹣3）2 C．（﹣3）3与﹣33 D．（﹣1）2024与﹣12024 【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法法则计算各选项，然后比较结果即可． 【解答】解：A、32＝9，23＝8，所以32≠23，故此选项不符合题意； B、[（﹣2）×（﹣3）]2＝62＝36，（﹣2）×（﹣3）2＝（﹣2）×9＝﹣18，所以[（﹣2）×（﹣3）]2≠（﹣2）×（﹣3）2，故此选项不符合题意； C、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，所以（﹣3）3＝﹣33，故此选项符合题意； D、（﹣1）2024＝1，﹣12024＝﹣1，所以（﹣1）2024≠﹣12024，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 32. （2024-25学年闵行区六年级上期中）已知，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平方数和绝对值的非负性质有：a-3=0，b-2=0，求出a=3，b=2再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴a-3=0，b-2=0， 解得：a=3，b=2， 所以：==9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查平方数和绝对值的非负性质，乘方，熟悉掌握平方数和绝对值的非负性质是解题的关键． 33. （2024-25学年闵行区六年级上期中）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律．通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可． 【详解】解：，，，，，，，． 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为2， ，，，，，，，，， 其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现， ， 的末尾数字与的尾数相同为7， 的末位数字是9， 故答案为：9． 题型08：有理数的四则混合运算 34．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）定义一种新运算：a*b＝ab﹣b．例如：1*2＝1×2﹣2＝0．则（﹣4）*[2*（﹣3）]的值为 　　． 【分析】先计算出2*（﹣3）＝﹣3，再计算（﹣4）*[2*（﹣3）]＝（﹣4）*（﹣3）即可得出答案． 【解答】解：2*（﹣3）＝2×（﹣3）﹣（﹣3） ＝﹣6+3 ＝﹣3， （﹣4）*[2*（﹣3）] ＝（﹣4）*（﹣3） ＝（﹣4）×（﹣3）﹣（﹣3） ＝12+3 ＝15， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 35．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数b＝，那么输入的数a是 　　． 【分析】根据运算程序示意图，可知运算分成两种情况，一种是时，求出a；一种是时，求出a． 【解答】解：当时， a＝， 当时， ， ， ； 所以输入的数a是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是根据流程图，分情况求出a的值． 36.（2024-25学年闵行区六年级上期中）计算： （1）（2）． 【答案】0，5 解：（1） =0． （2） 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 37．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）计算：（1）． （2）计算：． 【分析】先把小数化为分数，带分数化为假分数，再把除法运算变为乘法运算，根据有理数乘法法则计算即可． 解：（1） ＝ ＝ ＝． （2） 38．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）计算：． 【分析】运用乘法分配律进行简便计算即可． 【解答】解：原式＝﹣28×﹣（﹣28）×+（﹣28）× ＝﹣36+70﹣10 ＝24． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算定律进行简便计算． 39. （2024-25学年闵行区六年级上期中）计算： 【答案】 【解析】 【分析】先把除法化为乘法运算，再利用乘法分配律，展开分别计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法分配律使运算简便是解题关键． 40．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）计算：． 【分析】先算小括号里面的，再算乘法，最后算加法即可得出答案． 【解答】解：原式＝4.5+1+ ＝+1+ ＝ ＝． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． 41. （2024-25学年闵行区六年级上期中）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序．先算乘法及绝对值，再算加减． 【详解】解：原式， ， 42. （2024-25学年闵行区六年级上期中）计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 43．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按步骤计算即可． （1）先算括号里面的，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09：有理数混合运算的实际应用 44．李老师的新能源汽车上周日行驶里程为75km，记该汽车上周日的行驶里程为0，下表是该汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少，上周日的行驶里程记为0）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化/km (1)本周哪一天该汽车行驶里程最多？这一天该汽车行驶了多少千米？ (2)本周该汽车的行驶里程为多少千米？ (3)已知该汽车满电续航里程（汽车充满电时可以行驶的总路程）为550km，当续航里程不足满电续航里程的10％时需要为汽车充电，本周一早上出发时该汽车为满电状态．请通过计算说明，本周日胡老师使用完该汽车后，是否需要为该汽车充电？ 【答案】(1)本周五该汽车行驶里程最多，这一天该汽车行驶了80千米； (2)本周该汽车的行驶里程为520千米； (3)本周日胡老师使用完该新能源汽车后，需要为该新能源汽车充电． 【分析】本题考查有理数混合运算及正数和负数的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义分别求得本周每天的实际行驶里程，据此即可求得答案； （2）将每天的行驶里程相加并计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算并与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得，本周每天的实际行驶里程如下： 周一：（千米）； 周二：（千米）， 周三：（千米）， 周四：（千米）， 周五：（千米）， 周六：（千米）， 周日：（千米）， 则本周五该汽车行驶里程最多，这一天该汽车行驶了80千米； （2）解：本周该新能源汽车行驶里程共为：（千米） 即本周该汽车的行驶里程为520千米； （3）解：（千米），（千米）， 因为，， 所以，本周日胡老师使用完该新能源汽车后，需要为该新能源汽车充电． 45．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每周计件工资制”．小颖本周工资是多少？ 【答案】(1)23 (2)191 (3)元 【分析】本题考查了正数与负数，有理数的混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据记录可知，小颖星期二生产玩具（个）； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）用基本工资加上奖励工资即可求出本周工资． 【详解】（1）解：小颖星期二生产玩具（个）； 故答案为：23； （2）解：本周实际生产玩具：（个）； 故答案为：191； （3）解：由题意得，（元）， 答：每周计件工资制，小颖本周的工资总额是元． 题型10：有理数的简便运算与规律计算 46．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可． （2）利用分配律，计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，分配律的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 47．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）观察式子：，，，⋯⋯⋯， ，⋯⋯⋯ （1）请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； （2）请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：＝ 　　． 【分析】（1）利用例子中的拆分方法计算即可； （2）运用拆分方法计算即可． 【解答】解：（1）①由题意可知，＝； 故答案为：99，100； ②＝； 故答案为：99，101； （2）①＝+...+＝1﹣＝； ②＝ 1﹣+...+＝1﹣＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了分数的混合运算，掌握拆分方法是解答本题的关键． 题型11：绝对值与数轴综合题 48.（2024-25学年闵行区六年级上期中）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示，可得，由可得，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ，故①错误； ∵， ∴． ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，③正确； ∵， ∴ ，④错误， ∴正确的个数有2个． 故选B． 【点睛】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握． 49. （2024-25学年闵行区六年级上期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【答案】（1）；； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）用点A表示的数加上M运动的路程即为点C表示的数，用点B表示的数减去N运动的路程即为点D表示的数，据此求解即可； （2）先根据时间等于路程除以速度求出t，进而求出M运动的路程，最后求出点P表示的数即可． 【小问1详解】 解：∵M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒，且二者相向而行，运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴点P表示数为． 50. 如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)点C表示的数为5； (2)点表示的数为或1； (3)运动4秒后，点P可以追上点Q． 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图： 表示，表示1， 表示的数为5； （2）解：由题意，可知点在点的左边或右边： 当点在点的左边时，如图： 由图可知点表示的数是； 当点在点的右边时，如图： 由图可知点表示的数为1， 故当时，点表示的数为或1； （3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A， 则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 51．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，（写成也可） (2)或 (3)，，，，， (4)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的意义． 根据题干中提供的两点之间的距离公式计算即可； 根据绝对值的定义可得，解方程即可得到的值； 根据绝对值表示的意义分当、、时三段分别求解； 根据绝对值表示的意义可知数式表示到和的距离之和，所以可知当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间且和的距离是，可得，根据绝对值的意义解方程求出． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； 数轴上表示与的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：， ， 或， 或； （3）解：当时， ， ， 整理得：， 解得：， ， 不在取值范围之内，故不符合题意； 当时， 可得：， 整理得：， 即当时，恒成立， 在之间的整数有、、、、、； 当时，， 解得：，不在取值范围之内，故不符合题意； （4）解：代数式表示到和的距离之和， 当代数式取最小值时，表示的点一定在和之间，且和的距离是， 即， ， 解得：或． 题型12：材料阅读与新定义问题 52. （2024-25学年闵行区六年级上期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． （1）直接写出计算结果：________，________； （2）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及除方定义的运用． （）根据的圈次方定义计算可得； （）根据计算结果得出规律即可； （）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及的圈次方的法则计算即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（）得： ． 53．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”． 素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：2×（2+3+4+6+7+8+9+11）÷4＝25． 问题解决 任务1 如图2，小明将﹣2、4、﹣6、8、﹣10、12、﹣14、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 　　，x处所填的数字是 　　； （2）y与z两处所填的数字之和是 　﹣16　． 任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是 　　； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整． 　　． 【分析】任务1：根据素材2提供的方法求解； 任务2：根据素材2提供的方法求解． 【解答】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是2×（﹣2+4﹣6+8﹣10+12﹣14+16 ）÷4＝4，x处所填的数字是 4﹣（﹣14+12+16）＝﹣10， 故答案为：4，﹣10； （2）x+y＝4﹣（12+8）＝﹣16， 故答案为：﹣16； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是：2×（﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5+6）÷6＝2， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ． 【点评】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章有理数章节复习提升 题型01：正数与负数 1. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）如果规定向东走为正，那么走表示的意义是_____． 2．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）如果零上15℃记作+15℃，那么零下10℃可记作 　　℃． 3.（2024秋•海曙区校级期中）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　　 （填“合格”或“不合格”）． 4.. 在，，，0，，，七个数中，正有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 题型02：有理数的概念与分类 5. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）已知下列各数：﹣（﹣5）、、0.45、0、﹣52、﹣（﹣5）2，这六个数中非负数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型03：数轴 7.（2024秋•杭州月考）如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①ab＜0，②﹣a＜0，③a+b＜0，其中说法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．② D．①②③ 8.（2024秋•鹿城区校级期中）将点A沿数轴向左移动2个单位长度可到达点B，若点B在数轴上对应的数为﹣1，则点A对应的数为（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 9. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）在数轴上标出下列各数所对应的点：①的绝对值；②；③绝对值等于的数；④2的相反数． 10. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道点表示的数是，那么点表示的数是_____． 11. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）如图，点为数轴的原点，点，在数轴上分别表示数，，且，满足，在数轴上有一点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，求点在数轴上表示的数________． 12. （2024-25学年闵行区六年级上期中）在数轴上有A、B、C、D四个点，点A、点B的位置如图所示，点C表示的数是，点D表示的数是． （1）点A表示的数是________，点B表示的数是________； （2）在数轴上分别画出点C、点D； （3）将A、B、C、D四个点所表示的数用“<”连接________． 题型04：相反数与绝对值 13. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）的相反数是___________． 14.（2024-25学年闵行区六年级上期中） ________． 15. （2024-25学年闵行区六年级上期中）绝对值小于3.2的整数有____________． 16. （2024-25学年闵行区六年级上期中）在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是_______． 17. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）下列说法正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定不小于它本身 B. 两个有理数的和一定大于每一个加数 C. 如果两个数的和为0，那么这两个数都等于0 D. 如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数都等于0 题型05：绝对值的性质、化简 18．如果，那么x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数；m的绝对值是最小的正整数，则____． 20. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）如果 ，化简：_____． 21.（2024秋•萧山区期中）若abc≠0，则（　　） A．0或±1 B．±3或0 C．±3或0或±1 D．±3或±1 22.（2024秋•杭州期中）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝　　 ． 23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空） (2)化简：． 题型06：有理数大小比较 24. （2024-25学年上海实验西校六年级上期中）比较大小：____________．（用“>”或“<”填空） 25．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）比较大小： 　　﹣（﹣1.7）（填“＞”、“＜”或“＝”）． 26.（2023秋•路桥区期末）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列大小关系正确的是（　　） A．m＞n＞0 B．m＞0＞n C．n＞m＞0 D．n＞0＞m 27．下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28.（2024秋•吴兴区期中）已知五个数分别为﹣5，|﹣1|，，﹣（﹣3），4．在如图所示的数轴上表示各数，并用“＜”号把这些数连接起来． 题型07：有理数的乘方运算 29.有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 30. （2024-25学年闵行区六年级上期中）下列各对数中，数值相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 31．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）下列各组式子中，结果相等的是（　　） A．32与23 B．[（﹣2）×（﹣3）]2与（﹣2）×（﹣3）2 C．（﹣3）3与﹣33 D．（﹣1）2024与﹣12024 32. （2024-25学年闵行区六年级上期中）已知，则________． 33. （2024-25学年闵行区六年级上期中）观察下列算式：，，，，，，，，，，，，，，，，，，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 题型08：有理数的四则混合运算 34．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）定义一种新运算：a*b＝ab﹣b．例如：1*2＝1×2﹣2＝0．则（﹣4）*[2*（﹣3）]的值为 　　． 35．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数b＝，那么输入的数a是 　　． 36.（2024-25学年闵行区六年级上期中）计算： （1）（2）． 37．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）计算：（1）． （2）计算：． 38．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）计算：． 39. （2024-25学年闵行区六年级上期中）计算： 40．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）计算：． 41. （2024-25学年闵行区六年级上期中）计算：． 42. （2024-25学年闵行区六年级上期中）计算：． 43．计算 (1)； (2)． 题型09：有理数混合运算的实际应用 44．李老师的新能源汽车上周日行驶里程为75km，记该汽车上周日的行驶里程为0，下表是该汽车本周行驶里程的变化情况（正号表示里程比前一天多，负号表示里程比前一天少，上周日的行驶里程记为0）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 里程变化/km (1)本周哪一天该汽车行驶里程最多？这一天该汽车行驶了多少千米？ (2)本周该汽车的行驶里程为多少千米？ (3)已知该汽车满电续航里程（汽车充满电时可以行驶的总路程）为550km，当续航里程不足满电续航里程的10％时需要为汽车充电，本周一早上出发时该汽车为满电状态．请通过计算说明，本周日胡老师使用完该汽车后，是否需要为该汽车充电？ 45．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每周计件工资制”．小颖本周工资是多少？ 题型10：有理数的简便运算与规律计算 46．简便计算： (1) (2) 47．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）观察式子：，，，⋯⋯⋯， ，⋯⋯⋯ （1）请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； （2）请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：＝ 　　． 题型11：绝对值与数轴综合题 48.（2024-25学年闵行区六年级上期中）如图，点、、在数轴上表示的数分别为、、，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 49. （2024-25学年闵行区六年级上期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． （1）若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； （2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 50. 51. 如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 51．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 题型12：材料阅读与新定义问题 52. （2024-25学年闵行区六年级上期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． （1）直接写出计算结果：________，________； （2）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 53．（2024-2025学年虹口区六年级上期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”． 素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：2×（2+3+4+6+7+8+9+11）÷4＝25． 问题解决 任务1 如图2，小明将﹣2、4、﹣6、8、﹣10、12、﹣14、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 　　，x处所填的数字是 　　； （2）y与z两处所填的数字之和是 　　． 任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是 　　； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整． 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$