精品解析：安徽省皖南八校2025-2026学年高三上学期8月摸底大联考数学试题

2026届安徽省高三摸底大联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则＝（ ） A B. C. D. 3. 如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量＝（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在R上的奇函数，满足当时，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. //平面 C. 与是异面直线 D. 三棱锥体积为 10. 已知定义域为的函数f（x）＝的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为，，令，且数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 11. 已知的内角所对的边分别为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，为抛物线C上一点，则______． 13. 若直线与曲线相切，则______． 14. 某学校为增强学生体质，拟举办长跑比赛，学校给某三个班级共分配9个参赛名额，每班至少1个参赛名额，从所有可能的分配方案中随机选择一种，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望E（X）＝______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某研究小组为了探究成年男士的身高与体重之间是否存在关联，随机选取成年男士人，其中身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布，得到数据如下表．参考数据：若，则． 身高 体重 合计 大于 小于或等于 大于 小于或等于 总计 附：，其中． （1）根据正态分布估计和值； （2）若，根据小概率值的独立性检验，分析成年男士身高超过与体重超过是否有关联？ 16. 已知数列为等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）设，且，求数列的前n项和． 17. 已知椭圆：左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 18. 在矩形ABCD中，，E为AD的中点，将点D沿着CE翻折到点P，形成四棱锥P－ABCD，其中二面角P－EC－D大小为． （1）证明：； （2）当时，求直线PB与平面PEC所成角的正弦值； （3）求四面体PABC的外接球表面积的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）求证：（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届安徽省高三摸底大联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，结合虚部的概念即可求出. 【详解】由题意得，，故复数的虚部为. 故选：D． 2. 已知集合，，则＝（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数型函数定义域的求法把集合具体化，再根据集合的基本运算法则即可得答案. 【详解】， 则，又因为， 所以. 故选：A 3. 如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定方格图，利用向量的加减法计算即得. 【详解】如图所示，． 故选：B 4. 已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为. 故选：B． 5. 已知定义在R上的奇函数，满足当时，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值后与条件联立求出，进而求出，再利用奇函数性质计算即得. 【详解】当时，，则，且， 又，联立解得，因此， 又是R上奇函数，所以. 故选：A 6. 已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到点到圆心的距离为，从而得到，由正切二倍角公式进行求解即可. 【详解】变形为， 故圆心为，半径为2，所以点到圆心的距离为， 则切线长为，所以，则. 故选：D． 7. 将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据函数图象变换可得新函数的解析式，由整体思想可得参数值，根据正切值建立方程，可得答案. 【详解】由题意可知，设，则， 设将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象， 则， 易知，则，即， 可得，解得. 故选：B. 8. 已知随机变量，均服从正态分布，其中，且，设函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，判断函数的对称性，可排除AC；求的值，可排除D.即可得到正确答案. 【详解】， 因为，所以， 即， ＝， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. //平面 C. 与是异面直线 D. 三棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定和性质定理证明判断A；根据∥CD且CD与平面有交点判断B；根据异面直线的概念判断C；根据等体积法求解判断D. 【详解】如图： 对于A，因为为正方体，所以，且⊥， 平面，所以⊥平面， 又平面，则，所以A正确； 对于B，因为//CD，平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于C，，，三点共面，且点不在平面内，点不在直线上， 所以与是异面直线，所以C正确； 对于D，，所以D错误． 故选：AC 10. 已知定义域为的函数f（x）＝的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为，，令，且数列的前n项和为，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，可得，，即，结合单调性可判断A，B选项，利用判断C，求得判断D选项. 【详解】，令＞0，得＞0， 所以，即， 所以当x＞时，f（x）的单调增区间为， 其中，故，， 所以，所以是递增数列，故A错误，B正确； 令，求导可得， 当时，，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，故C，D均正确. 故选：BCD． 11. 已知的内角所对的边分别为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由得，即，则或，分类讨论即可判断；对于B，由得，进而得，令，得，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可判断；对于C，由，得，由，得，即，进而得，由，得，即，即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】对于A，由，得， 即，由，，即， 因为，则或，当时，，与矛盾，舍去， 故，又，故，即，故A正确； 对于B，因为，则， 则，即， 故，即， 因为，故B为钝角，令， 令，由， 故在上单调递减，有，，所以，故B正确； 对于C，因为，，则， 由，得，则， 所以，则，又，则，所以，即，故C错误； 对于D，又，则，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的焦点为，为抛物线C上一点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，将代入抛物线方程求得，然后利用抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点，准线， 由，得，所以． 故答案为：3 13. 若直线与曲线相切，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据曲线切点处的导数值是切线斜率可得，再结合切点在切线上也在曲线上即可求得答案. 【详解】设直线与曲线的切点为， 对求导，得，直线斜率为1， 由导数的几何意义知，在切点处，即， 又切点既在直线上又在曲线上，∴且， 即，将代入， 得，即． 故答案为：1. 14. 某学校为增强学生体质，拟举办长跑比赛，学校给某三个班级共分配9个参赛名额，每班至少1个参赛名额，从所有可能的分配方案中随机选择一种，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望E（X）＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析三个班级中分配的最少名额数的取值情况，及相应的分配方案数，得到相应的概率，根据数学期望的公式求得X的数学期望. 【详解】若三个班级名额数分别为a，b，c，则a＋b＋c＝9． 又每个班级至少一个名额，所以，相当于9个相同的小球分成3份，且每份至少有一个球，因此可用隔板法，即用2个隔板插入8个空，则共有＝28种情况． 由题意设X＝min{a，b，c}，则X＝1，2，3.记各班级名额数为（a，b，c）， 其中时只有一种情况，即， 时,有共九种情况． 即，所以， 所以的分布列为: 1 2 3 综上，． 方法二：当时，因为,所以共有(种) 当时，因为所以共有(种) 当时,因为所以只有一种情况. 综上，共有28种情况. 所以，,,. 所以的分布列为: 1 2 3 所以，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 某研究小组为了探究成年男士的身高与体重之间是否存在关联，随机选取成年男士人，其中身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布，得到数据如下表．参考数据：若，则． 身高 体重 合计 大于 小于或等于 大于 小于或等于 总计 附：，其中． （1）根据正态分布估计和的值； （2）若，根据小概率值的独立性检验，分析成年男士身高超过与体重超过是否有关联？ 【答案】（1）a＋b＝16，b＋d＝84 （2）有关联 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质结合参考数据求出，由此确定选取的成年男士中身高大于的大致人数，由此可得，再根据正态分布的性质结合参考数据求出，由此确定选取的成年男士中体重大于的大致人数，再求， （2）由条件确定，提出零假设，再求，根据所得数据与临界值的大小判断结论. 【小问1详解】 因为该地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布， 由正态分布可得， 所以可得从该地区随机选取成年男士人， 则身高大于的人数约为人，所以， 因为体重（单位：）服从正态分布． 由正态分布可得， 所以可得从该地区随机选取成年男士人，则体重大于的人数约为人， 所以体重小于或等于的人数约为人，故． 【小问2详解】 若，则，，， 零假设：该地区成年男士身高超过与体重超过无关， 计算可得， 由小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以该地区成年男士身高超过与体重超过有关联． 16. 已知数列为等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）设，且，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得，进而得到数列的通项公式； （2）根据题意，利用二项展开式，求得，得到，结合乘公比错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，则，解得， 所以． 【小问2详解】 解：由， 则，所以， 所以， 则， 两式相减，得 ， 所以． 17. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程． （2）如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程； （2）①由条件可得，结合向量数量积坐标运算公式列方程可求，设，根据关系及点在椭圆上列方程求， ②由条件可得，所以，设，根据关系及点在椭圆上列方程可得，再证明，由此可得结论. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由条件可知，，， 所以，， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 由已知，，， 因为点在以为直径的圆上，所以，故， 又，， 所以，故，即． 设，，， ，， 由题意可知，解得， 则点的纵坐标为． 由题知，，，， 由，可得， 所以，故， 设，，，，， 因为，故， 所以，且， 化简得，又， 所以，即， 由，得，所以． 18. 在矩形ABCD中，，E为AD的中点，将点D沿着CE翻折到点P，形成四棱锥P－ABCD，其中二面角P－EC－D大小为． （1）证明：； （2）当时，求直线PB与平面PEC所成角的正弦值； （3）求四面体PABC的外接球表面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到线线垂直，进而得到线面垂直，结合线面垂直的性质可证结论； （2）根据求出点的坐标，求出平面法向量，结合线面角向量公式可得答案； （3）设球心坐标，利用等量关系得到，结合范围可得范围，进而可求答案. 【小问1详解】 证明：取EC中点为T，连接DT，PT，则由等腰三角形的性质可知，， 因为， 平面PDT，故平面PDT， 因为平面PDT，所以． 【小问2详解】 过P作，垂足为， 由（1）可知且为二面角P－EC－D的平面角， 故，当时，， ， 因为平面ABCD，故平面平面ABCD， 平面平面，平面PDT， 故平面ABCD， 连接BD与AC交于点O，如图以点O为原点， 以过点O且与BC平行的方向为x轴，以过点O且与CD平行的方向为y轴， 以过点O且与平面ABCD垂直的方向为z轴，建立空间直角坐标系， 可得,P， ，，， 设平面PEC的一个法向量为， 则，令x＝1，可得， 设直线PB与平面PEC所成角为α， 则，故直线PB与平面PEC所成的角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知， ，P， 由于球心在过△ABC的外心且垂直于平面ABC的直线上， 所以设球心的坐标为，半径为, 因为， 所以， 解得， 而，所以，， ，， 所以四面体PABC的外接球表面积的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）求证：（）． 【答案】（1）在上单调递增 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，研究导数的正负情况，即可得单调性； （2）容易得到时成立；当时，利用，可得，令，求导可得到恒成立，进而可得到，与矛盾，即时不成立，即得答案； （3）分析法把原不等式的证明转化为证明成立，构造函数，求导，结合不等式可证明. 【小问1详解】 ， 由，则，故， ，故在上恒成立， 故在上单调递增． 【小问2详解】 令，， 由（1）得在上单调递增，又， 所以， （i）当时，恒成立． （ii）当时，令，则， 当时，，单调递减， 又，所以，故时，，（*） 由（*）式可得， 令，则， 由（*）式可得， 令，，， 故在上单调递增，又，， 所以存使得，即时，， 所以时，，单调递减， 又，所以， 即时，，与矛盾． 综上，满足条件的的取值范围是． 【小问3详解】 证明：由，则，， 要证，只需证， 即只需证， 由（2）知，故只需证， 即只需证，令，， 则， 由，当且仅当时等号成立， 又，故不能取等，即有， 则， 令，，则， 故在上单调递增，则， 即，故在上单调递增，则， 即有，即得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $