2.2 基本不等式同步练习 -2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册人教A版 2.2 基本不等式 层级(一) “四基”落实练 1.若n>0,则n+的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为( ) A.25 B. C. D. 3.若-4<x<1,则( ) A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值-1 D.有最大值-1 4.(多选)已知正数a,b,则下列不等式中恒成立的是( ) A.a+b≥2 B.(a+b)≥4 5.设x∈R,对于使-x2+2x≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫做-x2+2x的上确界.若a>0,b>0,且a+b=1,则-的上确界为( ) A.-5 B.-4 C. D.- 6.设a+b=M(a>0,b>0),M为常数,且ab的最大值为4,则M=_. 7.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要_小时. 8.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:≥9. 层级(二) 能力提升练 9.(多选)设0<a<b,a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.0<b-a< B.a<a2+b2 C.ab的最大值为 D.<a2+b2<1 10.(多选)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( ) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 11.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为_ m. 12.设a>0,b>0,且a+b=+. (1)求a+b的最小值; (2)证明:a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 13.某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6 t,每吨大米的价格为6 000元,大米的保管费用z(单位:元)与购买天数x(单位:天)的关系为z=9x(x+1)(x∈N*),每次购买大米需支付其他固定费用900元.问:该食堂多少天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少? 层级(三) 素养培优练 14.设a>b>c,且+≥恒成立,则m的取值范围为_. 15.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AE=CE,AB>AD,矩形的周长为8 cm. (1)设AB=x cm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围; (2)计划在 ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使 ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽. 参考答案 1.解析:选B ∵n>0,∴n+≥2=4,当且仅当n=,即n=2时等号成立,故选B. .解析:选D ∵a>0,b>0,a+2b=5, ∴ab=a 2b≤ 2=, 当且仅当a=,b=时取等号. 3.解析:选D =. 又∵-4<x<1,∴x-1<0.∴-(x-1)>0. ∴=-≤-1, 当且仅当x-1=,即x=0时等号成立. 4.C.(a+b)2≥2(a2+b2) D.< 解析:选AB 当a>0,b>0时,由基本不等式得,a+b≥2,当且仅当a=b时取等号,A成立; (a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b时取等号,B成立; 2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,则(a+b)2≤2(a2+b2),C不恒成立; 因为a+b≥2,所以2ab≤(a+b), 当且仅当a=b时取等号,D不恒成立. 5.解析:选D ∵a>0,b>0,+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当a=,b=时取等号,∴-≤-. 6.解析:∵a+b=M(a>0,b>0),由基本不等式,得ab≤2=.又ab的最大值为4,∴=4(M>0).∴M=4. 答案:4 7.解析:设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则t==+≥2 =8(小时),当且仅当=,即v=100时,等号成立,所以这批货物全部运到B市,最快需要8小时. 答案:8 8.证明:∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1+=1+=2+, 同理,1+=2+, ∴= =5+2≥5+4=9, 当且仅当a=b=时等号成立. 9.解析:选BD 由0<a<b,a+b=1,则0<a<<b<1. 对A,因为-<-a<0,<b<1,所以0<b-a<1,所以A错误; 对B,<b 1<2b a<2ab<a2+b2,所以B正确; 对C,ab≤2=(当且仅当a=b时取“=”),由于a<b,所以“=”不可取,所以C错误; 对D,因为a2+b2>=,又a2<a,b2<b a2+b2<a+b=1,所以D正确. 10.解析:选BC 对于A、B,由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3()2,解得-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;对于C、D,由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以x2+y2≤2,所以C正确,D不正确.故选B、C. 11.解析:如图,过点A作AH⊥BC交BC于点H,交DE于点F,易知===,则AF=x,所以FH=40-x. 所以矩形面积S=x(40-x)≤2=400, 当且仅当40-x=x,即x=20时,取“=”. 所以满足题意的矩形花园的边长x为20 m. 答案:20 12.解:由a+b=+=,且a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,知a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故a+b的最小值为2. (2)证明:由(1)知a2+b2≥2ab=2,且a+b≥2,因此a2+b2+a+b≥4,① 假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则a2+b2+a+b<4,② ①②两式矛盾,故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 13.解:设平均每天所支付的总费用为y元, 则y=[9x(x+1)+900]+0.6 6 000 =+9x+3 609≥2+3 609 =180+3 609=3 789, 当且仅当=9x,即x=10时取等号, 所以该食堂10天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少. 14.解析:由a>b>c知,a-b>0,b-c>0,a-c>0. ∴原不等式等价于+≥m. 要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可. ∵+=+=2++≥2+2 =4, 当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立. 故m的取值范围为{m|m≤4}. 答案:{m|m≤4} 15.解:(1)由题意可得AD=4-x,且x>4-x>0,可得2<x<4, 又AE=CE=x-DE, 在直角三角形ADE中,可得AE2=AD2+DE2, 即(x-DE)2=(4-x)2+DE2, 化简可得DE=4-(2<x<4). (2)S ADE=AD DE=(4-x) =2≤2=12-8, 当且仅当x=2,4-x=4-2, 即队徽的长和宽分别为2,4-2时, ADE的面积最大. 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$