2.1等式性质与不等式性质同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册人教A版 2.1 等式性质与不等式性质 层级(一) “四基”落实练 1.若x≠2且y≠-1,则M=x2+y2-4x+2y与-5的大小关系是( ) A.M>-5 B.M<-5 C.M=-5 D.不能确定 2.已知a<b,那么下列式子中,错误的是( ) A.4a<4b B.-4a<-4b C.a+4<b+4 D.a-4<b-4 3.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是( ) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 4.(多选)下列四个选项中能推出<的有( ) A.b>0>a B.0>a>b C.a>0>b D.a>b>0 5.已知a,b均为实数,则(a+3)(a-5)_(a+2)(a-4).(填“>”“<”或“=”) 6.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为_;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为_. 7.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,则z=2x-3y的取值范围是_. 8.已知a,b∈R,a+b>0,试比较a3+b3与ab2+a2b的大小. 层级(二) 能力提升练 9.有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是( ) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b 10.(多选)设a,b为正实数,下列命题正确的是( ) A.若a2-b2=1,则a-b<1 B.若-=1,则a-b<1 C.若|-|=1,则|a-b|<1 D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab| 11.设a1≈,a2=1+. (1)求证:介于a1与a2之间; (2)判断a1,a2哪个更接近于,并说明理由. 12.若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤. 层级(三) 素养培优练 13.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 14.建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件就越好,试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由. 参考答案 1.解析:选A 因为x2+y2-4x+2y-(-5)=(x-2)2+(y+1)2,又x≠2且y≠-1,所以(x-2)2+(y+1)2>0,故M>-5. 2.解析:选B 根据不等式的性质,a<b,4>0 4a<4b,A项正确;a<b,-4<0 -4a>-4b,B项错误;a<b a+4<b+4,C项正确;a<b a-4<b-4,D项正确. 3.解析:选C 用作商法比较,由题意x>0,y>0, ∵==<1,∴x<y. 4.解析:选ABD < <0 ab(a-b)>0. A.ab<0,a-b<0,ab(a-b)>0成立; B.ab>0,a-b>0,ab(a-b)>0成立; C.ab<0,a-b>0,ab(a-b)<0,不成立; D.ab>0,a-b>0,ab(a-b)>0成立. 5.解析:因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0, 所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 答案:< 6.解析:①原来每天行驶x km,现在每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”,写成不等式为8(x+19)>2 200.②若每天行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”,写成不等式为8x>9(x-12). 答案:8(x+19)>2 200 8x>9(x-12) 7.解析:∵z=-(x+y)+(x-y), -2≤-(x+y)≤,5≤(x-y)≤, ∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8, ∴3≤z≤8. 答案:{z|3≤z≤8} 8.解:因为a+b>0,(a-b)2≥0, 所以a3+b3-ab2-a2b=a3-a2b+b3-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0, 所以a3+b3≥ab2+a2b. 9.解析:选A ∵a+b=c+d,a+d>b+c, ∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c.∴b<d. 又∵a+c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c. 10.解析:选AD 对于A,若a,b为正实数,则a2-b2=1 a-b= a-b>0 a>b>0,故a+b>a-b>0,若a-b≥1,则≥1 a+b≤1,这与a+b>a-b>0矛盾,故a-b<1成立,所以A正确; 对于B,取a=5,b=,则-=1,但a-b=5->1,所以B不正确; 对于C,取a=4,b=1,则|-|=1,但|a-b|=3<1不成立,所以C不正确; 对于D,(a-b)2-(1-ab)2=a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)≤0,即|a-b|≤|1-ab|,所以D正确. 11.解:(1)证明:∵(-a1)(-a2) =(-a1)=<0, ∴介于a1,a2之间. (2)∵=>1,∴|a1-|>|a2-|,∴a2更接近于. 12.证明: ≥ +1≥+1 ≥ ≤. 13.解析:选B 法一:∵x<y<z,且a<b<c, ∴ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,∴ax+by+cz>az+by+cx; 同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(z-x)(b-c)<0,∴ay+bz+cx<ay+bx+cz; 同理,az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(z-y)(a-b)<0,∴az+by+cx<ay+bz+cx,∴最低费用为(az+by+cx)元.故选B. 法二:特殊值法,取x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=1 1+2 2+3 3=14,az+by+cx=1 3+2 2+3 1=10,ay+bz+cx=1 2+2 3+3 1=11,ay+bx+cz=1 2+2 1+3 3=13,故选B. 14.解:设住宅窗户面积、地板面积分别为a,b,同时增加的面积为m,根据问题的要求a<b,且≥10%.由于-=>0,于是>.又≥10%,因此>≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了. 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$