1.5.1 全称量词与存在量词同步练习 -2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册人教A版 1.5.1 全称量词与存在量词 层级(一)　“四基”落实练 1．“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式是(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3 B．对有些x∈R，使得x2＞3 C．任选一个x∈R，使得x2＞3 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3 2．(多选)下列命题中全称量词命题是(　　) A．每一个一次函数都是增函数 B．至少有一个自然数小于1 C．存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0 D．圆内接四边形，其对角互补 3．下列命题中存在量词命题的个数为(　　) ①至少有一个偶数是质数； ②∃x∈R，x2≤0； ③有的奇数能被2整除． A．0 B．1 C．2 D．3 4．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．有的三角形没有外接圆 D．某些四边形不存在外接圆 5．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 B．所有菱形的4条边都相等 C．若2x为偶数，则x∈N D．π是无理数 6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用“∃”或“∀”符号表示为________________． 7．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为______________． 13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2， 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2， … 8．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断其真假． (1)没有一个实数α，tan α无意义． (2)存在一条直线，它经过原点． (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？ (4)圆外切四边形，其对角互补． (5)有的反比例函数图象经过原点． 层级(二)　能力提升练 9．(多选)下列命题中，错误的是(　　) A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命题 10．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________． 11．下列命题： ①∀x∈R，x2＋1＞0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x∈Z，x3＜1；④∃x∈Q，x2＝3；⑤∃x∈R，x2＋1＝0.其中真命题的序号是________，全称量词命题的序号是________． 12．若命题“∀1≤x≤3，一次函数y＝2x＋b的图象在x轴上方”为真命题，求实数b的取值范围． 13．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 层级(三)　素养培优练 14.已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}． (1)若a＝3，求(∁RP)∩Q； (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案 1.解析：选C　“∀”和“任选一个”都是全称量词，故选C. 2.解析：选AD　A、D是全称量词命题，B、C是存在量词命题． 3.解析：选D　①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题． 4.解析：选ABD　A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，是真命题． 5.解析：选B　对于A：∀x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，故A是假命题；对于B：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B正确；对于C：－2为偶数，但－1∉N，故C是假命题；对于D：π是无理数不是全称量词命题，故D错误． 6.解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于零”就是“≥0”．因此命题用符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”． 答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0 7.解析：根据已知条件的规律可得：∀n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2. 答案：∀n∈N*,13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 8.解：由于(1)的实质是“所有的实数α，tan α有意义”，含有全称量词，所以(1)为全称量词命题，是假命题． (2)中含有存在量词，所以(2)是存在量词命题，是真命题． (3)是疑问句，不是命题． (4)“圆外切四边形，其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称量词命题，是假命题． (5)中含有存在量词，所以(5)是存在量词命题．因为所有的反比例函数都不经过原点，所以此命题是假命题． 9.解析：选ABD　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C正确．故选A、B、D. 10.解析：由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4. 答案：{m|m≤－4} 11.解析：①∀x∈R，x2＋1＞0；②∀x∈N，x2≥0；③∃x＝0∈Z，x3＜1；④x2＝3⇒x＝±∉Q；⑤∀x∈R，x2＋1≥1＞0.所以①③为真命题．命题①②中含有全称量词，是全称量词命题． 答案：①③　①② 12.解：当1≤x≤3时，2＋b≤2x＋b≤6＋b. ∵一次函数y＝2x＋b的图象在x轴上方， ∴2＋b＞0，∴b＞－2. 故实数b的取值范围是{b|b＞－2}． 13.解：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题． ∵当x≥－2时，x＋1≥－1， ∴－9＜3－4m＜－1， 解得1＜m＜3.又m为整数，∴m＝2. 故存在整数m＝2，使得命题“∀x≥－2，－9＜3－4m＜x＋1”是真命题． 14.解：因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. (1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4或x>7}，Q＝{x|－2≤x≤5}， 所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}． (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ， 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2， 即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$