精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁区科尔沁实验初中2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

科尔沁实验初中八年级下学期期中考试数学试题 试卷分值：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 计算等于（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. ，， D. 32，42，52 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵12+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵42+52≠62，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘除，根据二次根式的加减、二次根式的乘除的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 4. 如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接．如果，那么菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由点、分别是、的中点，，利用三角形中位线的性质，即可求得的长，然后由菱形的性质，求得菱形的周长． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形是菱形， 菱形的周长是：． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．求出的长是解题的关键． 5. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：， 由题意得，， 由图可得，点在原点的右侧， ∴点在数轴上表示的数为． 故选：B． 6. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 4.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． 先求出BC′，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：∵点是AB边的中点，， ∴， 由图形折叠特性知，， 在中，， ∴， 解得，， 故选：A． 7. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 8. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得，再根据是边的中点，可得，再证得四边形为矩形，即可求解． 【详解】解：连接，         四边形是菱形，，， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ， 四边形为矩形， ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 9. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（　　） A. B. C. 14 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． 由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积 ， 故选：D． 11. 如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，菱形的面积，等边三角形的判定，矩形的判定；由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质及菱形的面积逐一判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 故①正确； ②四边形是菱形， ， 故②正确； ③，， 四边形的面积为， 故③正确； ④四边形是菱形，， ，， 是等边三角形； 故④正确； ⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是矩形． 故⑤错误； ①②③④正确，共个； 故选：C． 12. 如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3-3t=t；当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3t-3=t；解方程即可． 【详解】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3-3t=t， 解得t=； 当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3t-3=t， 解得t=， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选择判定方法，合理分类是解题的关键． 二、填空题 13. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 则． 故答案为：． 14. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，由勾股定理得，，，即可求解． 【详解】解：如图， 所有的三角形都是直角三角形， ， ， ， （负值已舍去）， 最大正方形E的边长是， 故答案为：． 15. 矩形的两条对角线的一个夹角为120°，两条对角线的长度的和为24cm，则这个矩形的一条较短边为________cm. 【答案】6 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，可得AB＝OA，问题得解． 【详解】解：如图，∠AOD＝120° ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AC＋BD＝24 cm， ∴AC＝BD＝12cm， ∴OA＝OB＝6cm， ∵OA＝OB，∠AOB＝180°－120°＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝6cm，即这个矩形的一条较短边为6cm， 故答案为6． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定和性质的应用，解此题的关键是证明三角形OAB是等边三角形并求出OA的长，题目比较典型，是一道比较好的题目． 16. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果. 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键. 17. 如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查轴对称 最短路线问题、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据两点之间线段最短和点和点关于对称，即可求得周长的最小值，本题得以解决． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，，两点关于对称， ∴连接于交于点，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴此时的周长就是周长的最小值， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴周长的最小值是， 故答案为：6． 三、解答题 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、加减乘除运算及完全平方公式的应用，解题的关键是将各项二次根式化为最简二次根式，再根据相应运算法则进行计算，同时注意运算顺序和公式的正确使用． （1）先将、、分别化为最简二次根式、、；再合并同类二次根式． （2）第一步利用完全平方公式展开得；第二步将化为最简二次根式；第三步计算除法，根据二次根式除法法则化为；最后合并同类项和常数项． 【小问1详解】 【小问2详解】 19. 若，． （1）求，的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）代入的值计算即可； （2）利用完全平方公式变形可得，再整体代入和的值计算即可． 【小问1详解】 解：，， ，； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴且AD=BC， 又∵， ∴AD=CE， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到BC=AD，根据进而可得出AD=CE，结合即可证明． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 21. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 【答案】够用 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 22. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF． 求证： （1）AE＝BF； （2）AE⊥BF． 【答案】 证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF； （2）∵△ABE≌△BCF， ∴∠BAE＝∠CBF， ∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°， ∴AE⊥BF． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，即可得出结论； （2）根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE与BF所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，， （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明即可； （2）先根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在矩形中，， 是直角三角形， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟记相关知识点是解题的关键． 24. 水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水池深尺，芦苇长尺 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，垂足为点F，交直线MN于点E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由： （3）在（2）的条件下，当∠A＝45°时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 四边形是菱形， 理由是：点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，点为中点， ， 四边形是菱形； （3）当时，四边形是正方形，理由： ， ， 由（）可知，四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的判定证得四边形ADEC为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证结论． （2）求出四边形BDCE为平行四边形，再根据对角线即可求解． （3）由（2）中的性质，求出，根据正方形的判定即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质，熟练则知识点是解题的关键． 26. 新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是___________． （2）性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，则： ①求证：． ②___________． 【答案】（1）菱形、正方形 （2） 性质探究： 正确．理由如下： 连接、 四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得， ； （3）①连接， 正方形和正方形， ， ， 即， ； ② 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，结合垂美四边形的定义，即可求解； （2）由勾股定理得，即可求解； （3）①连接，由正方形的性质得，由即可得证；②由垂美四边形得，，即可求解． 【小问1详解】 解：概念理解：菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形． 故答案为：菱形、正方形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：问题解决：①略 ②， ， 又 ∴，即， ∴四边形是垂美四边形． 由（2）得，， ∵，， ，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等；理解新定义，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科尔沁实验初中八年级下学期期中考试数学试题 试卷分值：120分；考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 计算等于（ ） A. B. 2 C. 4 D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. ，， D. 32，42，52 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，点是的中点，点是的中点，连接．如果，那么菱形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 4.5 D. 5 7. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 8. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12 9. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则阴影部分面积是（　　） A. B. C. 14 D. 24 11. 如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或 二、填空题 13. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 14. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是11、13、12、11，则最大正方形E的边长是__________． 15. 矩形的两条对角线的一个夹角为120°，两条对角线的长度的和为24cm，则这个矩形的一条较短边为________cm. 16. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 17. 如图，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接，，当点在上运动时，周长的最小值是______. 三、解答题 18. 计算： （1）； （2）． 19. 若，． （1）求，的值． （2）求代数式的值． 20. 已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 22. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF． 求证： （1）AE＝BF； （2）AE⊥BF． 23. 如图，在平行四边形中，， （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，求的长． 24. 水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，垂足为点F，交直线MN于点E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由： （3）在（2）的条件下，当∠A＝45°时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由． 26. 新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，如图①． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是___________． （2）性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即：如图②，若四边形是垂美四边形，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）问题解决：如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．若，则： ①求证：． ②___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $