10.1.1平方根 讲义 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

10.1平方根 【题型1】平方根的概念与表示 1. 知识点 定义：如果一个数的平方等于（），那么这个数叫做的平方根，记作，其中为被开方数，根指数2通常省略。 被开方数的取值范围：（负数没有平方根）。 2. 考点 识别一个数的平方根（如“4的平方根是”）。 用数学符号表示平方根（如“9的平方根是”记作）。 3. 易错点 忽略被开方数的非负性（如误认为“-4的平方根是”）。 混淆平方根的符号表示（如将“”写成“”）。 4. 解题技巧 判断一个数是否有平方根，先看其是否为非负数（）。 表示平方根时，“”不可省略，体现两个互为相反数的根。 【例题1】．（2024-2025•立山区三模）9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（　　） A． B．± C． D．±±3 【答案】D 【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定； B、根据平方根的定义即可判定； C、根据算术平方根的定义即可判定； D、根据平方根的定义即可判定． 【解答】解：A、表示9的算术平方根，故选项错误； B、±，故选项错误； C、等式左右两边不可能相等，故选项错误； D、±±3，故选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查平方根的定义及其应用，比较简单． 【变式题1-1】．（2024-2025•平山县期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是9，进而求出答案． 【解答】解：若是整数，则自然数m的最小值是3， 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确计算的前提． 【变式题1-2】．（2024-2025•平桥区期末）如果实数m没有平方根，那么m可以是（　　） A．﹣52 B．|﹣3| C．（﹣5）2 D．﹣（﹣5） 【答案】A 【分析】利用乘方、绝对值的性质及去括号法则逐一化简各选项，根据只有非负数有平方根，负数没有平方根即可得答案． 【解答】解：A、∵﹣52＝﹣25＜0， ∴﹣52没有平方根，符合题意． B、∵|﹣3|＝3＞0， ∴|﹣3|有平方根，不符合题意． C、∵（﹣5）2＝25＞0， ∴（﹣5）2有平方根，不符合题意． D、∵﹣（﹣5）＝5＞0， ∴﹣（﹣5）有平方根，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查平方根的性质，掌握只有非负数有平方根，负数没有平方根是解题关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•重庆期中）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 【答案】D 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A．9的平方根是±3，选项错误，不符合题意； B．﹣9没有平方根，选项错误，不符合题意； C． （﹣2）2的平方根为±2，选项错误，不符合题意； D．2是4的一个平方根，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 【题型2】算术平方根的概念与表示 1. 知识点 定义：正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作；0的算术平方根是0。 表示方法：（），读作“根号”。 2. 考点 求一个非负数的算术平方根（如“16的算术平方根是4”）。 区分算术平方根与平方根（如“表示25的算术平方根，即5”）。 3. 易错点 误认为算术平方根有两个（如将“”的结果写成“”）。 忽略算术平方根的非负性（如认为“可以是负数”）。 4. 解题技巧 算术平方根是“非负的平方根”，结果一定是非负数。 记住特殊值：算术平方根等于自身的数是0和1。 【例题2】．（2024-2025•怀柔区期末）的值为（　　） A．2 B． C．4 D．±2 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义化简即可求得结果． 【解答】解：∵22＝4， ∴2， 故选：A． 【点评】此题主要考查了算术平方根定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 【变式题2-1】．（2024-2025•阜平县期末）如图是一个程序图，当输入的x为81时，输出的实数是（　　） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【分析】当输入的x为81时，根据程序框图取它的算术平方根，直至结果为无理数即可． 【解答】解：当输入的x为81时，其算术平方根为9，它是有理数，返回继续运算， 9的算术平方根为3，它是有理数，返回继续运算， 3的算术平方根为，它是无理数，输出结果， 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根，理解题意并进行正确地计算是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•庄河市期末）下列说法： ①任何数都有算术平方根；②a2的算术平方根是a；③﹣3是9的平方根；④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π； 其中，不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】根据算术平方根，平方根的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：①任何非负数都有算术平方根，故①不正确； ②a2的算术平方根是|a|，故②不正确； ③﹣3是9的平方根，故③正确； ④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π，故④正确； 所以，上列说法，其中，不正确的有①②，共2个， 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•绥棱县期末）下列写法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根和平方根的定义即可得出答案． 【解答】解：A选项，7，故该选项不符合题意； B选项，7，故该选项不符合题意； C选项，±±7，故该选项不符合题意； D选项，7，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根和平方根，注意算术平方根和平方根的区别． 【题型3】平方根的性质 1. 知识点 正数有两个平方根，它们互为相反数（如6的平方根是）。 0的平方根是0（只有一个）。 负数没有平方根。 2. 考点 根据数的类型判断平方根的个数（如“判断-3是否有平方根”）。 利用相反数性质求平方根（如“已知一个正数的一个平方根是3，求另一个平方根”）。 3. 易错点 混淆“正数的平方根”与“算术平方根”（如认为“正数的平方根是正数”）。 错误应用性质（如“0的平方根是”，实际0的平方根只有0）。 4. 解题技巧 口诀：“正两反，零自身，负无根”（正数有两个相反数根，0的根是0，负数无根）。 【例题3】．（2024-2025•南充校级期末）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．﹣2 【答案】C 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：4，4的平方根是±2． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【变式题3-1】．（2024-2025•集宁区期末）已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 【答案】D 【分析】根据一个正数的两个平方根是互为相反数，列出关于n的方程，解方程求出n，再求出其中的一个平方根，然后求出m即可． 【解答】解：∵一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7， ∴2n+1+n﹣7＝0， 3n﹣6＝0， 3n＝6， n＝2， ∴2n+1＝2×2+1＝4+1＝5， ∴正数m的值为：52＝25， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方根与立方根，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 【变式题3-2】．（2024-2025•路北区期中）25的平方根与1的差的结果为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣4或6 D．4或﹣6 【答案】D 【分析】根据平方根的定义求25的平方根，然后求差即可． 【解答】解：∵25的平方根是±5， ∴25的平方根与1的差为5﹣1＝4或﹣5﹣1＝﹣6， 即25的平方根与1的差为4或﹣6． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•耀州区校级月考）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的算术平方根． 【答案】（1）a＝﹣1；x＝9； （2）5． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列式计算，求出a的值，进而求出x的值； （2）将a，x的值代入代数式，求出代数式的值，再求算术平方根即可． 【解答】解；（1）由条件可得：2a﹣1﹣a+2＝0， 解得：a＝﹣1， ∴x＝[2×（﹣1）﹣1]2＝（﹣2﹣1）2＝9； （2）当a＝﹣1，x＝9时，则有． 【点评】本题考查平方根和算术平方根．熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 【题型4】算术平方根的双重非负性 1. 知识点 双重非负性：①被开方数非负（）；②算术平方根非负（）。 2. 考点 利用非负性求参数（如“若，求”）。 结合绝对值、平方等非负形式综合解题（如“若，求”）。 3. 易错点 忽略被开方数的非负性（如求解时，未考虑）。 漏解非负性方程（如认为“仅需”，忽略本身的非负性）。 4. 解题技巧 若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（“0+0=0”模型）。 【例题4】．（2024-2025•太湖县期末）若a，b满足，则（a+b）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．2024 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2024＝（1﹣2）2024＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•江岸区校级月考），则mn的算术平方根为（　　） A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16 【答案】A 【分析】根据算术平方根和偶次方的非负数性质可得m、n的值，再根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得， ∴mn＝（﹣4）2＝16， ∴mn的算术平方根为4． 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根和偶次方的非负数性质，正确求出m、n的值是解答本题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•红安县期中）已知：实数a，b满足． （1）可得a＝　﹣2　 ，b＝　3　 ； （2）若一个正实数m的两个平方根分别是2x+a和b﹣x，求x和m的值． 【答案】（1）﹣2，3；（2）x＝﹣1，m＝16． 【分析】（1）非负数之和等于0时，各项都等于0，得到a+2＝0，b﹣3＝0，即可求出a、b的值； （2）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即可求出x的值，由平方根的定义即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， 故答案为：﹣2，3． （2）由题意可得2x+a+b﹣x＝0， ∴x＝﹣a﹣b． ∵a＝﹣2，b＝3， ∴x＝﹣1， ∵b﹣x＝3﹣（﹣1）＝4 ∴m＝42＝16． 【点评】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握平方根的性质，非负数的性质． 【变式题4-3】．（2024春•乐陵市期末）已知|2a+b|与互为相反数． （1）求2a﹣3b的平方根； （2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可； （2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可． 【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得 b＝﹣4，a＝2． （1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16， ∴2a﹣3b的平方根为±4． （2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9， 解得x＝±3． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键． 【题型5】平方根与算术平方根的区别与联系 1. 知识点 项目 算术平方根 平方根 定义 正数的正的平方根 平方等于a的数 个数 1 个（正数或 0） 2 个（正数，互为相反数） 符号 （） （） 取值范围 非负数 一正一负（正数）或 0 联系 算术平方根是平方根的正值 平方根包含算术平方根 2. 考点 辨析两者的概念（如“判断‘是16的平方根’是否正确”）。 利用区别解题（如“已知，求的平方根”）。 3. 易错点 符号混淆（如将“”写成“”）。 忽略“0的算术平方根与平方根相同”这一特例。 4. 解题技巧 记准符号：算术平方根无“”，平方根必须带“”。 【例题5】．（2024-2025•东港区期末）下列说法中，正确的是（　　） A． B．的平方根是 C．1的立方根是±1 D．﹣32的算术平方根是3 【答案】B 【分析】根据算术平方根的求法可判断A与D，根据平方根的求法可判断B，根据立方根的求法可判断C． 【解答】解：根据算术平方根、平方根、立方根的概念判断如下： A．，故A错误； B．，的平方根是，故B正确； C．1的立方根是1，故C错误； D．﹣32＝﹣9，负数没有的算术平方根，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，求一个数的立方根，解题关键是理解算术平方根、平方根、立方根的概念． 【变式题5-1】．（2024-2025•蓬江区校级期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A． B．的平方根为 C．0.49的平方根为0.7 D．的相反数为 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的概念、相反数的概念判断即可． 【解答】解：A、3，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、的平方根是±，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、0.49的平方根为±0.7，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、的相反数是，是真命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式题5-2】．（2024春•仪陇县校级期中）的平方根是 　±2　 ，的相反数是 　　 ． 【答案】±2，． 【分析】根据平方根和相反数的定义即可求解． 【解答】解：∵， ∴的平方根是±2， 的相反数为， 故答案为：±2，． 【点评】本题考查了平方根的定义，相反数的定义，掌握平方根和相反数的定义是解题的关键． 【变式题5-3】．（2009秋•杭州校级期中）小明思考课本63页提到的算术平方根的定义：“正数的正平方根和零的平方根，统称为算术平方根”，由此他得到实数a（a≥0）的算术平方根是一个非负数，即0．由此，你能解决下面这道习题吗？ 若，求yx的平方根． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“几个非负数的和为0，则这几个数同时为0”，求得x，y的值；再根据乘方的意义求得yx的值，再根据正数的平方根的定义即可进行求解． 【解答】解：∵，|2+y|≥0，， ∴x＝4，y＝﹣2． ∴±±±4， ∴yx的平方根±4． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，解题的关键是根据非负数的性质求得x，y的值．初中所涉及的非负数的形式有：，|a|，a2． 【题型6】开平方与平方的互逆关系 1. 知识点 开平方：求一个数的平方根的运算，与平方运算互为逆运算。 公式：①（）；②。 2. 考点 利用互逆关系求平方根（如“求的平方根”）。 化简含平方与开平方的式子（如“化简”）。 3. 易错点 误用公式（忽略的情况，如）。 混淆“开平方”与“平方”的运算顺序（如与结果相同，但适用范围不同）。 4. 解题技巧 计算时，先判断的符号，再化简为。 【例题6】．（2024-2025•蒙阴县期末）下列各式中，正确的是（　　） A．2 B．9 C．±3 D．±±3 【答案】D 【分析】根据开平方、完全平方，二次根式的化简的知识分别计算各选项，然后对比即可得出答案． 【解答】解：A、2，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、3，故本选项错误； D、±3，故本选项正确； 故选：D． 【点评】此题考查了算术平方根的知识，属于基础题，解答本题的需要我们掌握开平方、完全平方的计算，难度一般． 【变式题6-1】．（2024-2025•南川区期末）的值是（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．9 【答案】C 【分析】由|a|与|a|，即可求得答案． 【解答】解：|﹣3|＝3． 故选：C． 【点评】此题考查了算术平方根的意义与二次根式的化简．题目比较简单，解题要细心． 【变式题6-2】．（2024-2025•禹州市期中）若a≤3，则（　　） A．0 B．π C．a﹣π D．π﹣a 【答案】D 【分析】先根据a≤3，知a﹣π＜0，再根据算术平方根的定义可得答案． 【解答】解：∵a≤3， ∴a﹣π＜0， 则π﹣a， 故选：D． 【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 【变式题6-3】．（2022秋•青神县期末）若，则x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≤﹣2 C．x≤2 D．x≥2 【答案】C 【分析】根据算术平方根的非负性即可求解． 【解答】解：∵， ∴2﹣x≥0， ∴x≤2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的双重非负性是解题的关键． 【题型7】利用算术平方根的非负性求代数式的值 1. 知识点 若或，则，，（非负数和为0）。 2. 考点 综合非负形式求参数（如“若，求的值”）。 结合几何意义（如三角形边长为非负数）解题。 3. 易错点 漏解非负性方程（如仅考虑，忽略的前提）。 混淆不同非负形式（如认为“与的非负性不同”）。 4. 解题技巧 常见非负形式：算术平方根、绝对值、平方数，若和为0，则分别为0。 【例题7】．（2024-2025•齐齐哈尔期末）若，则a+b的相反数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【分析】求一个数的相反数，根据非负性求出a，b的值，进而求出a+b的值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：由原式得：a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴a+b＝﹣1+2＝1的相反数为：﹣1； 故选：D． 【点评】本题考查非负性，掌握非负性的性质是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•武冈市期末）已知|a﹣3|，求（）2和ba的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的性质列方程求解得到a、b的值，然后将a、b的值代入求出（）2和ba的值． 【解答】解：由题意得a﹣3＝0，a+b﹣1＝0， 解得a＝3，b＝﹣2， 则（）2＝（）2＝5， ba＝（﹣2）3＝﹣8． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 【变式题7-2】．（2024-2025•汝南县期末）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足． （1）求a、b、c的值： （2）求（a+b+c）2的平方根． 【答案】（1）a＝2，b＝5，c＝﹣1； （2）±6． 【分析】（1）根据题意可得4a+1＝32，b﹣5＝0，c+1＝0，再进行解题即可； （2）先将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求平方根即可． 【解答】解：（1）∵4a+1的算术平方根是3， ∴4a+1＝32＝9， ∴a＝2， ∵b、c满足， ∴b﹣5＝0，c+1＝0， ∴b＝5，c＝﹣1； （2）由（1）可知a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴（a+b+c）2＝（2+5﹣1）2＝36， ∴36的平方根是±6． 【点评】本题考查算术平方根的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024春•临沭县校级月考）已知x、y是实数，且（y﹣2）2与互为相反数，求x2+y3的平方根． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【解答】解：∵（y﹣2）2与互为相反数， ∴y﹣2＝0，2x+2＝0， 解得：y＝2，x＝﹣1， 则x2+y3＝（﹣1）2+23＝9， 故x2+y3的平方根为：±3． 【点评】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义，正确得出x，y的值是解题关键． 【题型8】 二次根式有意义的条件及非负性综合应用 1. 知识点 二次根式有意义的核心条件：被开方数为非负数（即有意义时，）。 特殊情况：当两个二次根式的被开方数互为相反数（如与），则被开方数必须为0（即），否则式子无意义。 非负性性质：绝对值、二次根式（），若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（如时，且）。 2. 考点 确定使二次根式（含单个或互为相反数的被开方数）有意义的字母取值（如求中的值，或中的取值范围）。 利用非负性求参数值（如由求，或由求）。 代入参数值计算代数式（如求、、代数式的平方根等）。 3. 易错点 忽略互为相反数的被开方数必须为0（如认为与中可任意取值，未意识到仅时式子有意义）。 未结合二次根式有意义的条件化简绝对值（如在中，直接令，忽略的限制）。 代入计算时漏项或符号错误（如中，求得后漏加，或计算时符号出错）。 4. 解题技巧 分步确定参数范围：先根据二次根式有意义的条件列不等式（组），缩小参数取值范围（如需）。 利用特殊情况快速求解：遇互为相反数的被开方数，直接令被开方数为0（如得）。 非负性化简：结合参数范围化简绝对值（如时，），再由“非负数和为0”得各部分为0，求出参数。 代入验证：将求得的参数值代入原式，验证二次根式是否有意义及代数式计算是否正确（如代入，确认式子有意义）。 【例题8】．（2024春•邹城市期中）若，则　　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件可知x﹣6＝0，由此求得x、y的值，代入求值即可． 【解答】解：根据题意，得x﹣6≥0且6﹣x≥0，则x＝6， ∴y＝2． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的意义和性质，化简二次根式，式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【变式题8-1】．（2024春•玉州区期中）（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值． （2）已知实数m满足，求m﹣20232的值． 【答案】（1）a＝2，； （2）2024． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得出a的值，再根据非负数的和为0得出b的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得m的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可． 【解答】解：（1）∵和均有意义， ∴4﹣2a≥0且a﹣2≥0， 即a≤2且a≥2， ∴a＝2， 当a＝2时，， 可得b2﹣8＝0， ∴b2＝8，即， ∴a＝2，； （2）∵有意义， ∴m≥2024， ∴|2023﹣m|＝m﹣2023， 因此，可变为， 即， ∴m﹣2024＝20232， 即∴m﹣20232＝2024， ∴m﹣20232的值是2024． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键． 【变式题8-2】．（2013秋•蕲春县校级月考）化简计算： （1）已知：，求代数式的值． （2）已知，试求下列各式的值①x2+y2+xy ②． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出xy的值，再把所求的代数式化简，代入求出即可． （2）求出x+y，xy的值，再代入求出即可． 【解答】解：（1）∵要使有意义，必须 1﹣8x≥0，8x﹣1≥0， ∴x ∴把x代入得：y＝0+0， ∴ ＝1． （2）∵， ∴x（），y（）， ∴x+y，xy， ∴①x2+y2+xy ＝（x+y）2﹣xy＝（）24； ②8 【点评】本题考查了分母有理化，完全平方公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力． 【变式题8-3】．（2024-2025•荆州期中）（1）若x，y为实数，且y2，求的值； （2）若实数m满足|2024﹣m|m，求m﹣20242的值． 【答案】（1）； （2）m﹣20242＝2025． 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件确定字母的值，再代入求解； （2）先确定字母的取值范围，再求出字母的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）x，y为实数，且y2， ∴2x﹣6≥0，6﹣2x≥0， ∴x＝3， ∴y＝﹣2， ∴； （2）∵m﹣2025≥0， ∴m≥2025， ∴2024﹣m＜0， ∴可化为， ∴， ∴m﹣2025＝20242， ∴m﹣20242＝2025． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式被开方数大于或等于0和运算法则，准确进行推理计算． 【题型9】平方根的实际应用 1. 知识点 应用场景：正方形面积与边长（边长）、几何图形边长计算等。 2. 考点 用平方根解决面积问题（如“一个正方形面积为25，求边长”）。 结合实际意义取舍平方根（如边长只能取算术平方根，因长度为非负数）。 3. 易错点 实际问题中保留负的平方根（如求正方形边长时，误取负根）。 单位换算错误（如面积单位为，边长单位应为$cm$）。 4. 解题技巧 实际问题中，若结果表示长度、面积等非负量，仅取算术平方根。 【例题9】．（2024-2025•阳信县期末）如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　20cm　 ； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【解答】解：（1）大正方形的边长是20（cm）； 故答案为：20cm； （2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm， 则4x•3x＝360， 解得：x， 4x＝420， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2． 【点评】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． 34．（2024-2025•新乡期末）为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 山西省景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2． 计算结果 …… 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【分析】设长方形的宽为x cm，则长为2x cm，根据长方形封皮的面积为140cm2得到x•2x＝140，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【解答】解：设长方形的宽为x cm，则长为2x cm， 依题意，得x•2x＝140， 整理，得x2＝70，解得（负值已舍去）， ∵正方形卡片的面积为64cm2， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【点评】此题考查了算术平方根的实际应用，读懂题意是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•潜江期末）如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． （1）原长方形空地的长为 　16　 m，宽为 　9　 m； （2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； （3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的化简和运算是解题的关键．（1）由正方形的面积可得边长分别为m，m，再利用算术平方根的性质化简，即可求解；（2）根据题意求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度，即可求解；（3）先求出阴影部分的长和宽，再求其面积即可． 【解答】解：（1）根据题意得：正方形ABCD的边长分别为， 正方形CEFG的边长分别为， ∴BG＝BC+CG＝7+9＝16m，FG＝9m， 故答案为：16，9； （2）根据题意得：围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度为： （EF+FG+GC+CE）+（AB+BC+DA）＝4×9+7×3＝57（m）； （3）根据题意得：AD＝7m，ED＝CE﹣CD＝9﹣7＝2m， ∴长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积为＝7×2＝14m2． 【点评】本题考查了正方形、长方形面积的求法，以及算术平方根的化简运算，第（1）的关键点是熟练掌握正方形的面积公式，第（2）题的关键点是理解题意中的栅栏与图中的边长的关系，第（3）题的关键点是得到阴影部分长方形的长和宽，从而得到结果． 【变式题9-2】．（2024-2025•紫阳县校级期末）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1的小正方形纸片剪拼成一个面积为n的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当n＝2时，拼成的大正方形ABCD的边长为　　 ；如图2，当n＝5时，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为　　 ； （2）小李想沿着面积为5的正方形纸片A1B1C1D1边的方向裁出一块面积为2.42的长方形纸片，使得它的长宽之比为2：1，他能裁出吗？请说明理由． 【答案】（1）；．（2）能，理由见解析． 【分析】（1）先得出n＝2和n＝5的正方形的面积，根据正方形的面积公式得出边长； （2）设长方形的长宽分别是2x，x，然后根据长方形面积公式求出x的值，再与边长比较，即可得到答案． 【解答】解：（1）当n＝2时，S大正方形ABCD＝2，则边长为， 当n＝5时，S大正方形A1B1C1D1＝5，则边长为， 故答案为：，； （2）能裁出， 理由：设长方形的长为2x，则宽为x， ∴2x•x＝2.42，解得：x＝1.1（舍去负值）， ∴2x＝2.2， ∵2.2， ∴能裁出． 【点评】本题考查图形的探究、算术平方根等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． 同步练习 选择题快对 题号 1 2 3 4 5 答案 B A C A D 一．选择题（共5小题） 1．若，则ab＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，由此可解出a和b的值，再计算ab． 【解答】解：， ∴且， ∴，b＝﹣2， ∴， 故选：B． 【点评】题目主要考查平方及算术平方根的非负性，求代数式的值，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 2．2025的算术平方根为（　　） A．45 B．55 C．±45 D．±55 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：45． 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．的值是（　　） A．±5 B． C．5 D．﹣5 【答案】C 【分析】根据25是5的平方，求的值即可． 【解答】解：∵52＝25， ∴5， ∴的值是5． 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．4的平方根是（　　） A．±2 B． C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】依据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵（±2）2＝4， ∴4的平方根是±2． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 5．若一个正数x的两个平方根是2﹣3a和1+2a，则x的值为（　　） A．3 B．7 C．﹣7 D．49 【答案】D 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值． 【解答】解：根据题意可知，2﹣3a+1+2a＝0， 解得：a＝3， 则1+2a＝1+6＝7， ∴x＝72＝49． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根，掌握平方根的性质是关键． 二．填空题（共4小题） 6．若一个正数的两个平方根分别为3a和4﹣2a，则这个数是　144　 ． 【答案】144． 【分析】根据平方根的定义求出a的值，进而确定这个正数的两个平方根，再根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为3a和4﹣2a， ∴3a+4﹣2a＝0， 解得a＝﹣4， 当a＝﹣4时，3a＝﹣12，4﹣2a＝12， ∴这个数为（±12）2＝144． 故答案为：144． 【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 7．若9x2﹣25＝0，则x的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：9x2﹣25＝0， 移项得，：9x2＝25， 两边都除以9得， x2， 根据平方根的定义可知， x． 故答案为：． 【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键． 8．，则a+b＝　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，从而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解． 【解答】解：∵， ，|2a﹣4|≥0， ∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0， 解得：a＝2，b＝﹣1， ∴a+b＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． 9．已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和m﹣7，则这个正数为 　25　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出m的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数． 【解答】解：∵正数x的两个平方根是2m+1和m﹣7， ∴2m+1+（m﹣7）＝0， 解得：m＝2， ∴这个正数的两个平方根是±5， ∴这个正数是25， 故答案为：25． 【点评】此题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 三．解答题（共7小题） 10．若，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴4x+2＝0，y﹣3＝0， ∴x，y＝3， ∴4． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 11．已知2a+3是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值． 【答案】﹣1． 【分析】根据一个正数有两个平方根设它的两个平方根分别我m（m＞0）、﹣m，根据题意得出m﹣（﹣m）＝2，即可求出m的值，从而得出原数，即可求出a的值． 【解答】解：设它的一个平方根是m（m＞0）， 则另一个平方根是﹣m， 根据题意得m﹣（﹣m）＝2， 解得m＝1， ∴2a+3＝12＝1， ∴a＝﹣1． 【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 12．小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm，由长方形的面积可求出x的值，从而求出长方形信封的长和宽； （2）先计算出正方形贺卡的边长，然后与长方形信封的宽进行比较，得出结论． 【解答】解：（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意得3x•2x＝420， ∴， ∴，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）面积为256cm2的正方形贺卡的边长是16cm， ∵70＞64， ∴， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的运算是解题的关键． 13．如图，计划建一个面积为50米2的长方形苗圃ABCD（AB＜BC），一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2． （1）求BC的长； （2）求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】（1）5米； （2）9米． 【分析】（1）根据矩形面积的计算方法进行计算即可； （2）苗圃所用篱笆总长为BC+2AB代入计算即可． 【解答】解：（1）设BC＝5x米，则AB＝2x米，由题意得，5x•2x＝50， 解得x（取正值）， 所以BC＝5米，AB＝2米， 答：BC＝5米； （2）苗圃所用篱笆总长为BC+2AB＝549（米）， 答：苗圃所用篱笆总长为9米． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． 14．现有一张面积为210cm2的长方形纸片，它的长与宽的比为3：2． （1）求长方形纸片的长和宽； （2）要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为144cm2正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 【答案】（1）长方形的长为3cm，宽为2cm； （2）不能在这张长方形纸片上裁剪一个面积为144cm2正方形纸片． 【分析】（1）设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm，由题意得3x•2x＝210，求出x的值即可得出答案； （2）求得正方形的边长，与长方形的长宽比较即可得出答案． 【解答】解：（1）设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意得：3x•2x＝210， 解得：x或x（舍去）， ∴长方形的长为3cm，宽为2cm； （2）∵这张正方形纸片面积为144cm2， ∴正方形的边长为12cm， 而212， ∴不能在这张长方形纸片上裁剪一个面积为144cm2正方形纸片． 【点评】本题考查了算术平方根，实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．如图1，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形． （1）如图2，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为 　　 dm． （2）如图3，若正方形的面积为25dm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12dm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由． 【答案】（2）；（2）他能裁出这样的长方形，理由见解析． 【分析】（1）由正方形的面积公式，算术平方根的定义即可求出AC的长； （2）设长方形纸片长和宽分别是3x dm，2x dm，得到2x×3x＝12，求出x的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵正方形纸片的面积为1dm2， ∴AC2＝1， ∴（dm）． 故答案为：． （2）可以，理由如下： 设长方形纸片长和宽分别是3x dm，2x dm， 由题意得：2x×3x＝12， ∴， ∴长方形的长是3dm， ∵正方形的面积为25dm2， ∴正方形的边长是5dm， ∵35， ∴他能裁出这样的长方形． 【点评】本题考查算术平方根，长方形的面积，关键是求出长方形的长边． 16．根据如表回答下列问题： x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 x2 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 （1）17.64的平方根是 　±4.2　 ， 　4.3　 ； （2）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2.有一个物体从99m高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到0.1s） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据表格数据填空即可； （2）将h＝99代入公式h＝4.9t2计算即可． 【解答】解：（1）根据表格数据可知：17.64的平方根是±4.2，4.3； 故答案为：±4.2；4.3． （2）由h＝4.9t2得，当h＝99时，t220.204， ∴t4.5． 答：物体到达地面需要时间约4.5s． 【点评】本题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方根性质的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.1平方根 【题型1】平方根的概念与表示 1. 知识点 定义：如果一个数的平方等于（），那么这个数叫做的平方根，记作，其中为被开方数，根指数2通常省略。 被开方数的取值范围：（负数没有平方根）。 2. 考点 识别一个数的平方根（如“4的平方根是”）。 用数学符号表示平方根（如“9的平方根是”记作）。 3. 易错点 忽略被开方数的非负性（如误认为“-4的平方根是”）。 混淆平方根的符号表示（如将“”写成“”）。 4. 解题技巧 判断一个数是否有平方根，先看其是否为非负数（）。 表示平方根时，“”不可省略，体现两个互为相反数的根。 【例题1】．（2024-2025•立山区三模）9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（　　） A． B．± C． D．±±3 【变式题1-1】．（2024-2025•平山县期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【变式题1-2】．（2024-2025•平桥区期末）如果实数m没有平方根，那么m可以是（　　） A．﹣52 B．|﹣3| C．（﹣5）2 D．﹣（﹣5） 【变式题1-3】．（2024-2025•重庆期中）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 【题型2】算术平方根的概念与表示 1. 知识点 定义：正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作；0的算术平方根是0。 表示方法：（），读作“根号”。 2. 考点 求一个非负数的算术平方根（如“16的算术平方根是4”）。 区分算术平方根与平方根（如“表示25的算术平方根，即5”）。 3. 易错点 误认为算术平方根有两个（如将“”的结果写成“”）。 忽略算术平方根的非负性（如认为“可以是负数”）。 4. 解题技巧 算术平方根是“非负的平方根”，结果一定是非负数。 记住特殊值：算术平方根等于自身的数是0和1。 【例题2】．（2024-2025•怀柔区期末）的值为（　　） A．2 B． C．4 D．±2 【变式题2-1】．（2024-2025•阜平县期末）如图是一个程序图，当输入的x为81时，输出的实数是（　　） A． B．9 C．3 D． 【变式题2-2】．（2024-2025•庄河市期末）下列说法： ①任何数都有算术平方根；②a2的算术平方根是a；③﹣3是9的平方根；④（π﹣4）2的算术平方根是4﹣π； 其中，不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式题2-3】．（2024-2025•绥棱县期末）下列写法正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型3】平方根的性质 1. 知识点 正数有两个平方根，它们互为相反数（如6的平方根是）。 0的平方根是0（只有一个）。 负数没有平方根。 2. 考点 根据数的类型判断平方根的个数（如“判断-3是否有平方根”）。 利用相反数性质求平方根（如“已知一个正数的一个平方根是3，求另一个平方根”）。 3. 易错点 混淆“正数的平方根”与“算术平方根”（如认为“正数的平方根是正数”）。 错误应用性质（如“0的平方根是”，实际0的平方根只有0）。 4. 解题技巧 口诀：“正两反，零自身，负无根”（正数有两个相反数根，0的根是0，负数无根）。 【例题3】．（2024-2025•南充校级期末）的平方根是（　　） A．4 B．±4 C．±2 D．﹣2 【变式题3-1】．（2024-2025•集宁区期末）已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 【变式题3-2】．（2024-2025•路北区期中）25的平方根与1的差的结果为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣4或6 D．4或﹣6 【变式题3-3】．（2024-2025•耀州区校级月考）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的算术平方根． 【题型4】算术平方根的双重非负性 1. 知识点 双重非负性：①被开方数非负（）；②算术平方根非负（）。 2. 考点 利用非负性求参数（如“若，求”）。 结合绝对值、平方等非负形式综合解题（如“若，求”）。 3. 易错点 忽略被开方数的非负性（如求解时，未考虑）。 漏解非负性方程（如认为“仅需”，忽略本身的非负性）。 4. 解题技巧 若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（“0+0=0”模型）。 【例题4】．（2024-2025•太湖县期末）若a，b满足，则（a+b）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2024 D．2024 【变式题4-1】．（2024-2025•江岸区校级月考），则mn的算术平方根为（　　） A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16 【变式题4-2】．（2024-2025•红安县期中）已知：实数a，b满足． （1）可得a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若一个正实数m的两个平方根分别是2x+a和b﹣x，求x和m的值． 【变式题4-3】．（2024春•乐陵市期末）已知|2a+b|与互为相反数． （1）求2a﹣3b的平方根； （2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0． 【题型5】平方根与算术平方根的区别与联系 1. 知识点 项目 算术平方根 平方根 定义 正数的正的平方根 平方等于a的数 个数 1 个（正数或 0） 2 个（正数，互为相反数） 符号 （） （） 取值范围 非负数 一正一负（正数）或 0 联系 算术平方根是平方根的正值 平方根包含算术平方根 2. 考点 辨析两者的概念（如“判断‘是16的平方根’是否正确”）。 利用区别解题（如“已知，求的平方根”）。 3. 易错点 符号混淆（如将“”写成“”）。 忽略“0的算术平方根与平方根相同”这一特例。 4. 解题技巧 记准符号：算术平方根无“”，平方根必须带“”。 【例题5】．（2024-2025•东港区期末）下列说法中，正确的是（　　） A． B．的平方根是 C．1的立方根是±1 D．﹣32的算术平方根是3 【变式题5-1】．（2024-2025•蓬江区校级期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A． B．的平方根为 C．0.49的平方根为0.7 D．的相反数为 【变式题5-2】．（2024-2025•仪陇县校级期中）的平方根是 　 　 ，的相反数是 　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•杭州校级期中）小明思考课本63页提到的算术平方根的定义：“正数的正平方根和零的平方根，统称为算术平方根”，由此他得到实数a（a≥0）的算术平方根是一个非负数，即0．由此，你能解决下面这道习题吗？ 若，求yx的平方根． 【题型6】开平方与平方的互逆关系 1. 知识点 开平方：求一个数的平方根的运算，与平方运算互为逆运算。 公式：①（）；②。 2. 考点 利用互逆关系求平方根（如“求的平方根”）。 化简含平方与开平方的式子（如“化简”）。 3. 易错点 误用公式（忽略的情况，如）。 混淆“开平方”与“平方”的运算顺序（如与结果相同，但适用范围不同）。 4. 解题技巧 计算时，先判断的符号，再化简为。 【例题6】．（2024-2025•蒙阴县期末）下列各式中，正确的是（　　） A．2 B．9 C．±3 D．±±3 【变式题6-1】．（2024-2025•南川区期末）的值是（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．9 【变式题6-2】．（2024-2025•禹州市期中）若a≤3，则（　　） A．0 B．π C．a﹣π D．π﹣a 【变式题6-3】．（2022秋•青神县期末）若，则x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≤﹣2 C．x≤2 D．x≥2 【题型7】利用算术平方根的非负性求代数式的值 1. 知识点 若或，则，，（非负数和为0）。 2. 考点 综合非负形式求参数（如“若，求的值”）。 结合几何意义（如三角形边长为非负数）解题。 3. 易错点 漏解非负性方程（如仅考虑，忽略的前提）。 混淆不同非负形式（如认为“与的非负性不同”）。 4. 解题技巧 常见非负形式：算术平方根、绝对值、平方数，若和为0，则分别为0。 【例题7】．（2024-2025•齐齐哈尔期末）若，则a+b的相反数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【变式题7-1】．（2024-2025•武冈市期末）已知|a﹣3|，求（）2和ba的值． 【变式题7-2】．（2024-2025•汝南县期末）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足． （1）求a、b、c的值： （2）求（a+b+c）2的平方根． 【变式题7-3】．（2024春•临沭县校级月考）已知x、y是实数，且（y﹣2）2与互为相反数，求x2+y3的平方根． 【题型8】 二次根式有意义的条件及非负性综合应用 1. 知识点 二次根式有意义的核心条件：被开方数为非负数（即有意义时，）。 特殊情况：当两个二次根式的被开方数互为相反数（如与），则被开方数必须为0（即），否则式子无意义。 非负性性质：绝对值、二次根式（），若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（如时，且）。 2. 考点 确定使二次根式（含单个或互为相反数的被开方数）有意义的字母取值（如求中的值，或中的取值范围）。 利用非负性求参数值（如由求，或由求）。 代入参数值计算代数式（如求、、代数式的平方根等）。 3. 易错点 忽略互为相反数的被开方数必须为0（如认为与中可任意取值，未意识到仅时式子有意义）。 未结合二次根式有意义的条件化简绝对值（如在中，直接令，忽略的限制）。 代入计算时漏项或符号错误（如中，求得后漏加，或计算时符号出错）。 4. 解题技巧 分步确定参数范围：先根据二次根式有意义的条件列不等式（组），缩小参数取值范围（如需）。 利用特殊情况快速求解：遇互为相反数的被开方数，直接令被开方数为0（如得）。 非负性化简：结合参数范围化简绝对值（如时，），再由“非负数和为0”得各部分为0，求出参数。 代入验证：将求得的参数值代入原式，验证二次根式是否有意义及代数式计算是否正确（如代入，确认式子有意义）。 【例题8】．（2024春•邹城市期中）若，则　 　 ． 【变式题8-1】．（2024春•玉州区期中）（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值． （2）已知实数m满足，求m﹣20232的值． 【变式题8-2】．（2013秋•蕲春县校级月考）化简计算： （1）已知：，求代数式的值． （2）已知，试求下列各式的值①x2+y2+xy ②． 【变式题8-3】．（2024-2025•荆州期中）（1）若x，y为实数，且y2，求的值； （2）若实数m满足|2024﹣m|m，求m﹣20242的值． 【题型9】平方根的实际应用 1. 知识点 应用场景：正方形面积与边长（边长）、几何图形边长计算等。 2. 考点 用平方根解决面积问题（如“一个正方形面积为25，求边长”）。 结合实际意义取舍平方根（如边长只能取算术平方根，因长度为非负数）。 3. 易错点 实际问题中保留负的平方根（如求正方形边长时，误取负根）。 单位换算错误（如面积单位为，边长单位应为$cm$）。 4. 解题技巧 实际问题中，若结果表示长度、面积等非负量，仅取算术平方根。 【例题9】．（2024-2025•阳信县期末）如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　 　 ； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 【变式题9-1】．（2024-2025•新乡期末）为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 山西省景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2． 计算结果 …… 【变式题9-2】．（2024-2025•潜江期末）如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）． （1）原长方形空地的长为 　 　 m，宽为 　 　 m； （2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度； （3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积． 【变式题9-3】．（2024-2025•紫阳县校级期末）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1的小正方形纸片剪拼成一个面积为n的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当n＝2时，拼成的大正方形ABCD的边长为　 　 ；如图2，当n＝5时，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为　 　 ； （2）小李想沿着面积为5的正方形纸片A1B1C1D1边的方向裁出一块面积为2.42的长方形纸片，使得它的长宽之比为2：1，他能裁出吗？请说明理由． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．若，则ab＝（　　） A． B． C． D． 2．2025的算术平方根为（　　） A．45 B．55 C．±45 D．±55 3．的值是（　　） A．±5 B． C．5 D．﹣5 4．4的平方根是（　　） A．±2 B． C．2 D．﹣2 5．若一个正数x的两个平方根是2﹣3a和1+2a，则x的值为（　　） A．3 B．7 C．﹣7 D．49 二．填空题（共4小题） 6．若一个正数的两个平方根分别为3a和4﹣2a，则这个数是　 　 ． 7．若9x2﹣25＝0，则x的值为　 　 ． 8．，则a+b＝　 　 ． 9．已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和m﹣7，则这个正数为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 10．若，求的值． 11．已知2a+3是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值． 12．小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 13．如图，计划建一个面积为50米2的长方形苗圃ABCD（AB＜BC），一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2． （1）求BC的长； （2）求出苗圃所用篱笆总长． 14．现有一张面积为210cm2的长方形纸片，它的长与宽的比为3：2． （1）求长方形纸片的长和宽； （2）要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为144cm2正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 15．如图1，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形． （1）如图2，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为 　 　 dm． （2）如图3，若正方形的面积为25dm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12dm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由． 16．根据如表回答下列问题： x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 x2 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 （1）17.64的平方根是 　 　 ， 　 　 ； （2） 物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2.有一个物体从99m高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到0.1s） 学科网（北京）股份有限公司 $$