三角函数的概念（6大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

三角函数的概念 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 【解题方法总结】 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 例1．下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． ) C． ) D． ) 例2．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 题型二：象限角的判定 【解题方法总结】 判断角是第几象限角的常用方法为将写成（其中，在范围内）的形式，观察角的终边所在的象限即可. 例4．下列说法中正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．若，则为第一或第二象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．三角形的内角是第一或第二象限角 例5．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例6．（多选题）已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 题型三：弧长与扇形面积公式的计算  【解题方法总结】 应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 例7．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（    ）． A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6 例8．如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（    ） A． B． C． D． 例9．在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________. 题型四：三角函数的定义及应用 【解题方法总结】 （1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． （2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 例10．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．或 例11．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 例12．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________. 题型五：三角函数值在各象限的符号 【解题方法总结】 对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角的终边所在的象限来判断角的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决. 例13．若且，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例14．设是第一象限的角，且，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例15．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度 B．若，则为第二象限角 C．若，则为第一象限角 D．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限 题型六：根据同角三角函数的基本关系求值 【解题方法总结】 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论； 第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值. 例16．已知，则（    ） A． B． C． D．5 例17．已知，且，（    ） A． B． C． D． 例18．已知,则的值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数的概念 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 【解题方法总结】 （1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决． （2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角． 例1．下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B． ) C． ) D． ) 【解题思路】根据终边相同角的表示，即可得解. 【解答过程】与角终边相同角可以表示为 对A，由 找不到整数让，所以A错误 对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误， C项正确， 对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误， 故选：C. 例2．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确； 对于C，因为与是终边相同的角， 故与角的终边相同的角可表示为，C正确； 对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误， 故选：C 例3．如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可. 【解答过程】利用终边相同的角的关系， 得，. 则与有关，故AC错误； 又． 因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示， 所以. 故选：D． 题型二：象限角的判定 【解题方法总结】 判断角是第几象限角的常用方法为将写成（其中，在范围内）的形式，观察角的终边所在的象限即可. 例4．下列说法中正确的是（    ） A．第二象限角大于第一象限角 B．若，则为第一或第二象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．三角形的内角是第一或第二象限角 【解题思路】利用任意角的知识，对选项分别判断即可. 【解答过程】对A选项，如，故A错误. 对B选项，为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误. 对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确. 对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误. 故选: C. 例5．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案. 【解答过程】因为是第三象限角，所以，， 所以，，则是第二或第四象限角， 又，即，所以是第四象限角. 故选：D． 例6．（多选题）已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【解题思路】确定，考虑的奇偶两种情况，分别计算得到答案. 【解答过程】与是终边相同的角，且，故， 故， 当时，，是第四象限角； 当时，，是第二象限角. 综上所述：可能是第二或四象限角. 故选：BD. 题型三：弧长与扇形面积公式的计算  【解题方法总结】 应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 例7．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（    ）． A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6 【解题思路】根据弧长之比得到半径之比，从而求出小扇形的半径，再根据弧长公式计算可得. 【解答过程】解：如图，依题意可得弧AB的长为，弧CD的长为， 则，即． 因为，所以， 所以该扇形的中心角的弧度数． 故选：B. 例8．如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得，再根据扇形面积公式可得，结合条件即得. 【解答过程】设扇形的圆心角为，则， 在中，， 又， ∴，又， ∴. 故选：B. 例9．在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________. 【答案】 【解析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为， 则，， 因为，即，即， 所以. 故答案为： 题型四：三角函数的定义及应用 【解题方法总结】 （1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． （2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 例10．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．或 【解题思路】先求得点P与原点间的距离，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分，两种情况讨论求解. 【解答过程】由题意可得：点P与原点间的距离， ∴. 当时，则，故； 当时，则，故. 故选：D. 例11．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的定义得到方程，解得即可. 【解答过程】解：因为，是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）. 故选：B. 例12．如图所示，在平面直角坐标系中，动点P，Q从点出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________. 【答案】 【解析】由题意求得，P，Q两点每一秒钟相遇一次，则P，Q两点在第2019次相遇时，经过了2019秒，求得点P转过的周数，可得点P的坐标．因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此时点P所转过的弧度为，由终边相同的角的概念可知，与的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为. 故答案为：. 题型五：三角函数值在各象限的符号 【解题方法总结】 对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角的终边所在的象限来判断角的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决. 例13．若且，则角所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据三角函数的正负，确定角所在的象限. 【解答过程】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限， 所以满足且，角在第四象限. 故选：D. 例14．设是第一象限的角，且，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由的范围进而得出的范围，结合即可得出结果. 【解答过程】因为是第一象限的角，所以， 所以，即为第一或第三象限角， 又因为，即，所以所在的象限是第一象限， 故选：A. 例15．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．经过30分钟，钟表的分针转过弧度 B．若，则为第二象限角 C．若，则为第一象限角 D．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限 【解题思路】根据任意角的概念可判断A；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将平方推出，判断为第一象限角，判断C;举反例可判断D. 【解答过程】对于A, 经过30分钟，钟表的分针转过弧度，A错误； 对于B，若，则为第二象限角，正确； 对于C，因为，故， 即，结合可知， 故为第一象限角，C正确； 对于D，第一象限角不都是锐角，比如是第一象限角，但不是锐角， 故D错误； 故选：BC. 题型六：根据同角三角函数的基本关系求值 【解题方法总结】 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论； 第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值. 例16．已知，则（    ） A． B． C． D．5 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可. 【解答过程】解：因为，所以. 故选：D. 例17．已知，且，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得的值，结合的范围确定与的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得的值. 【解答过程】因为，两边平方得， 故，所以与导号， 又因为，所以，， 所以. 故选：C. 例18．已知,则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以,将弦化切,代入求解即可. 【解答过程】 , . 故选:A. 学科网（北京）股份有限公司 $$