2.3 二次根式 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是： 观察下列代数式： 都含有开方运算， 并且被开方数都是非负数。 一般地，形如 的式子叫作二次根式。 “ a ”叫作被开方数。 注意：a 可以是数，也可以是式子。 两个必备特征 ① 外形特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数 a≥0 （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ 。 6 6 尝试•思考 ＝ ， 20 ＝ ； 20 ＝ ， 6.480 ＝　 　； （2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证。 ＝ ， ＝　 　 。 6.480 0.9255 0.9255 尝试•思考 （3）用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？ 尝试•思考 （a≥0，b≥0）。 （a≥0，b＞0）。 （a≥0，b≥0）。 （a≥0，b＞0）。 商的算术平方根。 积的算术平方根。 算术平方根的积等于 算术平方根的商， 二次根式的乘法法则和除法法则： 例1 计算： 解：(1)原式 = 例2 计算： (2)原式 = (3)原式 = (4)原式 = 解：(5)原式 = (6)原式 = 例2 计算： 1.计算： 1.计算： 1.计算： 二次根式的化简 二次根式的乘法法则和除法法则 （a≥0，b≥0） （a≥0，b＞0）。 （a≥0，b≥0） （a≥0，b＞0）。 将等号的左边与右边交换 例3 化简： 解：(1) (2) (3) （1） ； （2） ； （3） 。 　　 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 例4 化简： 解： (1) 你是怎么发现 的被开方数含有开得尽方的因数的？你是怎么判断 是最简二次根式的？ 的根号内不含能开得尽方的因数，分母中又不含根号。 的被开方数 50 = 2×25，其中 25 开方开得尽； 思考•交流 (2) 将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。 思考•交流 一是化去被开方数的分母，使被开方数的因数是整数，因式是整式， 二是将被开方数中能开得尽方的因数或因式开平方，把它们的算术平方根移到根号外。 解：(1)原式 = 例5 计算： (2)原式 = (3)原式 = 1.计算： 2.下列计算是否正确？ × × × （1）请你计算： （2）小明是这样计算 的： 分子、分母同乘 的目的是什么？ 将分母有理化，即把分母中的根式去掉，使分母变为有理数，从而化简计算。 （3）计算 ，你有哪些方法？ 例6 计算： 解： （1）原式 （2）原式 解法一： （3） 你还有其他 解法吗？ 解法二：原式= （3） 解： 原式 = 思考：还可以继续化简吗？为什么？ 如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化。 问题：化简 ，其中 a = 3，b = 2。 你是怎么做的？ 解法一： 把 a = 3，b = 2 代入式子中， 原式 = 解法二： 原式 = 把 a = 3，b = 2 代入式中， 原式 先代入后化简 先化简后代入 哪种更简便？ 尝试•思考 解二次根式化简求值题目时，直接代入求值往往很麻烦，一般应先化简所求式子，再用代入数字求值。 尝试•思考 如图，小正方形的边长为 1。 （1）求梯形 ABCD 的周长。 （2）求梯形 ABCD 的面积。你有哪些求解方法？ 思考•交流 （1）C梯形ABCD=AD+DC+CB+BA = = 如图，小正方形的边长为 1。 （1）求梯形 ABCD 的周长。 （2）求梯形 ABCD 的面积。你有哪些求解方法？ 思考•交流 （2）分割法、 补图法、 直接法。 可把梯形 ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，如图所示。 方法 1：分割法 S1 S2 S3 S梯形ABCD = S1 + S2 + S3 通过补图，可把梯形ABCD 变成一个大梯形，如图所示。 方法2：补图法 S1 S2 S梯形ABCD = S梯形ABEF－S1－S2 E F 过点 D 作 AB 边的高 DE，如图所示。 方法3：直接法 S梯形ABCD E 解： 1. 计算： （3） （4） 1、一般地，形如 的式子叫作二次根式。“ a ”叫作被开方数。 2、二次根式的乘法法则和除法法则： （a≥0，b≥0）。 （a≥0，b＞0）。 3、 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 4、化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 作业一：习题2.3 作业二：导学案 作业三：对下一节课进行预习 $$