第1-4章综合检测试卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

第1-4章综合检测试卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册 全卷共三大题，26小题，满分为120分． 1、 选择题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．⊙O的半径为1，同一平面内，若点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（　 　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 2． 用配方法解一元二次方程，方程可变形为（　 　） A． B． C． D． 3． 已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程；    乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当时，该方程有实数根；    丁说：只有当且时，该方程有实数根． 正确的是（　 　） A．乙和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．甲和丙说的对 D．乙和丁说的对 4． 数学小组的同学为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，绘制了如图所示的统计图， 这组数据的中位数和众数分别是（　 　） A．中位数是25人，众数是20人 B．中位数和众数都是8小时 C．中位数是13人，众数是20人 D．中位数是6小时，众数是8小时 5． 如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，， 若，，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 6． 如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，， 若给出下列结论：①；②，则． 其中下列判断正确的是（　 　） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 二、填空题：本大题共10个小题．每小题3分，共30分．把答案填在答题卡的横线上． 7．一元二次方程：的解为： ． 8． 已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 9． 某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元， 则平均每次降价的百分率为 ． 10. 杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”． 如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是， 则扇形的面积为________． 11. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形， 大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针， 则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是 ． 12．如图，为的直径，点、在上，若，则的度数是 ． 13．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯． 现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表： 甲组 11 12 13 14 15 乙组 x 6 7 5 8 如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝ ． 14．如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m． 15． 小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的 折线统计图，这6次成绩的中位数是 ． 16． 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F， 则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤△CEF≌△BED， 其中一定成立的结论是 ．（填序号） 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．如图，在中，弦、于点，且． 求证：． 19. 截止至年月日，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破亿元人民币， 成为全球动画电影票房冠军．如图，有张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片： 哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．    将这张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片不放回， 记录后搅匀，再随机取出张卡片．求下列事件发生的概率： (1) 第一次取出的卡片图案为“太乙真人”的概率为__________； (2) 用画树状图或列表的方法，求取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率． 20. 新县是红军的故乡，将军的摇篮，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感， 我市某校组织七、八年级学生前往新县鄂豫皖苏区首府革命博物馆开展研学旅行， 并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果， 校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析 （成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表：请结合以上信息回答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“全面调查”或“抽样调查”）； (2)填空： ， ， ； (3)样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分， 请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； 21. 某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为元，现以每个元销售，每天可售出个， 为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价元， 则每天多售出个． (1) 未降价之前，该商场的总盈利为多少元？ (2) 为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到元，销售单价应定为多少元？ 22．已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 23． 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 24．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1) 求证：直线是的切线； (2) 若，垂足为M，的半径为10，求的长． 25． 综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子 如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形， 折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．(纸板厚度忽略不计) （1）求将要剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)， 经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子． ① 请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕)； ② 若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 26．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C， 使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1-4章综合检测试卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册（教师版） 全卷共三大题，26小题，满分为120分． 1、 选择题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．⊙O的半径为1，同一平面内，若点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（　 　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 【答案】B 【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【详解】解：∵OP＝1，⊙O的半径为1， 即d＝r， ∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上， 故选：B． 2．用配方法解一元二次方程，方程可变形为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，再在方程的左右同时加上一次项系数一半的平方，然后化为平方式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故选：B． 3．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程；    乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当时，该方程有实数根；    丁说：只有当且时，该方程有实数根． 正确的是（　 　） A．乙和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．甲和丙说的对 D．乙和丁说的对 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当时，此时方程一定有实数根，当时，根据根的判别式，可以得到的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，的取值范围． 【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确； ①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0； ②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即， 解得， 且， 综上所述：当时，方程有实数根，故丙的说法正确，丁的说法错误， 故选：A． 4． 数学小组的同学为了解学生每周阅读的时间，随机调查了50名同学，绘制了如图所示的统计图， 这组数据的中位数和众数分别是（　 　） A．中位数是25人，众数是20人 B．中位数和众数都是8小时 C．中位数是13人，众数是20人 D．中位数是6小时，众数是8小时 【答案】B 【详解】分析：众数是在一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数，据此进行解答． 详解：因数据总数为50，故中位数为第25和26个数据的平均数，而条形统计图是按从小到大的顺序排列的，前3组的和为24，前4组的和为44， 故第25和26个数据落在第4组，故中位数是8（小时）； 条形统计图中出现频数最大的条形对应第四组，故众数是8（小时）； 故选B． 点睛：本题考查的是众数和中位数的定义．解题时注意：判断一组的数据的中位数，需要将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列． 5． 如图，在中，，是弦，点D在的延长线上，连接，， 若，，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得出，，根据等腰三角形的性质得出，，则，求出，根据等腰三角形的性质得出，即，求出x的值，最后根据平行线的性质得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6． 如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，， 若给出下列结论：①；②，则． 其中下列判断正确的是（　 　） A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错 【答案】B 【分析】连接，，先证明，可得出，再得出，，再由，得出，最后由三角形内角和得出结论，从而判断①；证明是等边三角形，则，即，但根据题目现有条件不能推导出，再判断②． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 是的直径， ， ， 又，则， ， 又因为， 所以是等边三角形， 则，即， 但根据题目现有条件不能推导出， 即不能推导出， 故②错误． 故选：B． 二、填空题：本大题共10个小题．每小题3分，共30分．把答案填在答题卡的横线上． 7．一元二次方程：的解为： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，用因式分解法解方程即可解得答案． 【详解】解：， 即， 解得，． 故答案为：，． 8．已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键． 【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为∶． 9． 某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元， 则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】20%． 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，故可求解． 【详解】设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：5000（1﹣x）2＝3200， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 10. 杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”． 如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是， 则扇形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故答案为 11. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形， 大正方形与小正方形的边长之比是2：1，若随机在大正方形及其内部区域投针， 则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是 ． 【答案】 【分析】设大正方形边长为2，则小正方形边长为1，所以大正方形面积为4，小正方形面积为1，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是. 【详解】设大正方形边长为2，则小正方形边长为1， 所以大正方形面积为4，小正方形面积为1， 则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是， 故答案为． 12．如图，为的直径，点、在上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案． 【详解】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=42°， ∴∠A=90°-∠ABD=48°， ∴∠BCD=180°-∠A=132°． 故答案为：132°. 13．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯． 现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表： 甲组 11 12 13 14 15 乙组 x 6 7 5 8 如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝ ． 【答案】4或9 【分析】先分别求得甲与乙的平均数，再根据方差的计算方法求得甲的方差，即可得出关于x的方程，求解后即可得出结果． 【详解】解：甲的平均数为：， 乙的平均数为：， 甲的方差为：， 乙的方差为：， 整理得：， 解得或； 故答案为：4或9． 14．如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m． 【答案】29 【分析】考查垂径定理以及勾股定理，设圆弧形圆心为，作交于点C，连接，交于点D，设这个门拱的半径为r，则，根据垂径定理得到，在中，由勾股定理得，然后即可得到关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设圆弧形圆心为，作交于点C，交于点D，连接，设这个门拱的半径为r， 由题意得：， 则， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴， 这个门拱的半径为m． 故答案为：． 15． 小明在体考时选择了投掷实心球，如图是体育老师记录的小明在训练时投掷实心球的6次成绩的 折线统计图，这6次成绩的中位数是 ． 【答案】9.75 【分析】将这组数有小到大排列，因为共有6个数，所以中位数为第3、4个数的平均数． 【详解】由6次成绩的折线统计图可知： 这6次成绩从小到大排列为： 9.5，9.6，9.7，9.8，10，10.2， 所以这6次成绩的中位数是：＝9.75． 故答案为：9.75． 16． 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与BC，OC分别相交于点E，F， 则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤△CEF≌△BED， 其中一定成立的结论是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】①由直径所对圆周角是直角， ②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角， ③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC=∠DBC； ④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦； ⑤得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等． 【详解】解：①∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， 故①正确； ②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角， ∴∠AOC≠∠AEC， 故②不正确； ③∵OC∥BD， ∴∠OCB=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC=∠DBC， ∴BC平分∠ABD， 故③正确； ④∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BD， ∵OC∥BD， ∴∠AFO=90°， ∵点O为圆心， ∴AF=DF， 故④正确； ⑤∵△CEF和△BED中，没有相等的边， ∴△CEF与△BED不全等， 故⑤不正确； 综上可知：其中一定成立的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴x+4=0或x-1=0 ∴ （2）解：（x-5）（x+3）=0 ∴x-5=0或x+3=0 ∴ 18．如图，在中，弦、于点，且． 求证：． 证明：∵， ∴，， ∴ 在与中， ∵， ∴， ∴． 19. 截止至年月日，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破亿元人民币， 成为全球动画电影票房冠军．如图，有张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片： 哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．    将这张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片不放回， 记录后搅匀，再随机取出张卡片．求下列事件发生的概率： (1) 第一次取出的卡片图案为“太乙真人”的概率为__________； (2) 用画树状图或列表的方法，求取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“太乙真人”的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数以及取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“太乙真人”的结果有种， ∴第一次取出的卡片图案为“太乙真人”的概率为， 故答案为：； （2）解：任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，作出树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 答：取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率为． 20. 新县是红军的故乡，将军的摇篮，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感， 我市某校组织七、八年级学生前往新县鄂豫皖苏区首府革命博物馆开展研学旅行， 并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果， 校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析 （成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表：请结合以上信息回答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“全面调查”或“抽样调查”）； (2)填空： ， ， ； (3)样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分， 请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； 【答案】(1)抽样调查； (2)6，89，95； (3)七年级学生甲在本年级的排名更靠前，见解析 【分析】本题考查了调查的分类，中位数和众数的定义，以及中位数的意义． （1）根据题意判断调查方式即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义分析即可． 【详解】（1）解：由题意可知，在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查 （2）解：由数据可知，八年级抽取学生成绩为的人数有6人，即； 七年级抽取的20名学生成绩的中位数为第10和11名成绩的平均数，即； 八年级抽取学生的成绩中，分有三人，人数最多，即； 故答案为：6，89，95； （3）解：由题意可知，七年级抽取学生成绩的中位数为分，八年级抽取学生成绩的中位数为分， 而90分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数 即七年级学生甲在本年级的排名更靠前． 21. 某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为元，现以每个元销售，每天可售出个， 为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价元， 则每天多售出个． (1) 未降价之前，该商场的总盈利为多少元？ (2) 为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)800元 (2)元 【分析】（1）：总盈利=（售价进价）乘以销售数量，列式计算即可； （2）：设降价后售价为元，根据利润=(售价进价)乘以销售数量，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：未降价之前，总盈利为元． （2）解：设降价后售价为元，根据题意，得 ． 解得 为减少库存不合题意，舍去， 故， 答：销售单价应定为元． 22．已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 23． 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及求根公式， 熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． （）利用一元二次方程根的判别式判断即可得解； （）先求解一元二次方程，再根据方程两个根都是负根判断的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵不论为何值， ∴方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程中， ， ∴， ∴，， ∵方程的两个根都是负根， ∴， ∴． 24．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1) 求证：直线是的切线； (2) 若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）本题连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用等腰三角形性质得到，利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和定理求得，即可解题． （2）本题根据垂径定理得到，利用30度所对直角边等于斜边的一半得到，利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ， ，， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：是的直径，且于点M，    ， ，， ， ， ， ． 25． 综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子 如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形， 折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．(纸板厚度忽略不计) （1）求将要剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)， 经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子． ① 请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕)； ② 若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）剪去正方形的边长为 （2）①图见解析；②剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． （1）设剪去的正方形的边长为．根据底面积为，列出一元二次方程，解方程，即可求解． （2）①根据题意画出图形，②设剪去的正方形的边长为，根据折成的有盖长方体盒子的表面积为，可列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去正方形的边长为． 根据题意列方程为． 解，得，． 当时，，，所以不符合题意舍去． 答：剪去正方形的边长为3cm； 【小问2详解】 ①画出的图形如图所示． ②设剪去的正方形的边长为． 根据题意得：． 解得(舍)，． 答：剪去的正方形的边长为． 26．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C， 使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点G作于H，于P，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， 即， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （3）解：过点G作于H，于P， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵点E是半圆的中点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∴矩形是正方形， 设， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$