1.1.1空间向量及其线性运算（一）课件 -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 选择性必修第一册 学习目标 1.通过类比的方法，理解并掌握空间向量及相关概念。 2.理解并掌握空间向量运算的几何表示法和字母表示法，体会数形结合思想 在向量中的应用。 3.理解并掌握空间向量的基本关系，能用向量解决空间中的共线与共面问题。 温故知新 知识点1：空间向量的有关概念 平面向量 空间向量 定义 平面内既有大小又有方向的量 长度（模） 表示向量的有向线段的长度 表示 几何表示：有向线段 字母表示： 单位向量 长度为1的向量 零向量 长度为0的向量 阅读教材后，运用类比思想，完成如下表格 空间中具有大小和方向的量 表示空间向量的有向线段的长度 几何表示：有向线段 字母表示： 长度为1的向量 长度为0的向量 平面向量 空间向量 零向量： 单位向量： 相反向量： 相等向量： 共线向量： 长度为0的向量，记作: 模为1的向量.         [微提醒]　理解空间向量有关概念的注意点 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． (2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．因此，关于两个向量的比较，我们仅研究二者是否相等． 牛刀小试 (1) 两个空间向量相等, 则它们的起点相同, 终点也相同 (2) 若空间向量和满足,则; (3) 空间中任意两个单位向量必相等; (4) 任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内, 成为同一平面内的两个向量. 辨一辨 判断以下命题是否正确： × × × √ 温故知新 知识点2：空间向量的线性运算 运算 代数法 几何法 加法运算 减法运算 数乘运算 O A a P Q λa(λ＞0) N M λa(λ＜0) 三角形法则a＋b= 或平行四边形法则，平行六面体法则 三角形法则 a－b= 当λ=0时， λa=0; 当λ＞0时， λa= 当λ＜0时， λa= a O A b B a+b C a-b 运算律 交换律 a＋b＝______ 结合律 (a＋b)＋c＝ ，λ(μ a)＝_____ 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝________ b＋a a＋(b＋c) (λμ)a λa＋λb 续表 基础巩固 2．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________. 答案：3a－2b 1．已知λ∈R，则下列命题正确的是 (　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 答案：C 温故知新 知识点3：共线向量、共面向量 1.空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使__________. 2.直线的方向向量 如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,可知=λa,把与向量a平行的非零向量称为直线l的__________.直线可以由其上一点和它的方向向量确定. a=λb 方向向量 3.向量与平面平行 如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA______________或____________,那么称向量a平行于平面α. 平行于平面α 在平面α内 4.共面向量 定义 平行于同一个______的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x,y),使______________ 平面 唯一 p=xa+yb 1.0与空间任意向量a都是共线向量.( ) 2.在向量共线的充要条件中的b≠0可去掉.( ) 提示　b≠0不可去掉,否则当a=0时实数λ不唯一. 3.由于向量可以平移,所以任意两个向量共面,任意三个向量共面.( ) 提示　任意三个向量不一定共面,如图所示,,,三个向量不共面,但,,三个向量共面. √ × × 基础巩固 4.对于空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是(　　) A．共线向量　　　　　 B．共面向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 答案：B 5. 已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若=m+n,则m+n=　　　 .  1 基础巩固 提升：已知点M在平面ABC内,并且对不在平面ABC内的任意一点O,都有 =x++,则x的值为　　　　.  - 3．化简：(eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(CD,\s\up17(―→)))－(eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(BD,\s\up17(―→)))＝________. 答案：0 $$