精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高一上学期入学考试数学试题

2025年8月高一数学入学考试试题 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 一次函数与的图象交点组成的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题错误的个数有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已集合，若，则实数a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，反比例函数的图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ） A. -12 B. -9 C. -6 D. -3 5. 已知菱形的边长为5，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则等于（ ） A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 6. 若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ） A. 2 B. －20 C. 2或－20 D. 2或20 二、多选题（每题5分，共15分） 7. 下列选项正确的有（ ） A. 比较接近1的整数的全体能构成一个集合 B. 由实数，，，，所组成的集合，其元素的个数最多为2 C. 设，，，，则 D. 若集合，集合，则 8. 已知集合，，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列选项正确的有（ ） A. 已知全集，，，则实数p的值为3. B. 若，则或 C. 已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D. 若，，且，则. 三、填空题（每题4分，共12分） 10. 现有六张分别标有数字，，，，，的卡片，其中标有数字，，的卡片在甲手中，标有数字，，的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________ 11. 分解因式：_______. 12. 定义运算，若集合，则______. 四、解答题（共75分） 13. 设，其中，如果，求实数的取值范围. 14. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 15. （1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值； （2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围； （3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年8月高一数学入学考试试题 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 一次函数与的图象交点组成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可. 【详解】因为，解得， 所以两函数图象交点组成的集合为. 故选：C. 2. 下列命题错误的个数有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、圆周角性质、确定圆的条件、反比例函数图象性质、三角形的内心性质和外心定义逐一分析即可得出结果. 【详解】因为平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ，所以①错误； 因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确； 因为经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以③错误； 因为，所以反比例函数的图象在一、三象限， 当时，，当时，，，与y随x 的增大而减小矛盾，所以④错误； 因为三角形的内心到三角形三条边距离相等，三角形三边的垂直平分线的交点叫做外心，所以 ⑤正确. 综上，①③④错误. 故选：C. 3. 已集合，若，则实数a的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用子集的定义即可求解. 【详解】， ∴当时，，满足； 当时，若，则时，时，． 的取值集合是． 故选：C． 4. 如图，反比例函数的图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ） A. -12 B. -9 C. -6 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数中的几何意义及图形面积的割补法求解. 【详解】反向延长交于点，设，则， ∵轴，轴，∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵反比例函数的图象经过两点，∴， ，， 则 ，解得. 故选：. 5. 已知菱形的边长为5，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则等于（ ） A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值． 【详解】由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3，∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5． 又∵△＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m，∴m＝﹣3， 故选：A． 【点睛】将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 6. 若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ） A. 2 B. －20 C. 2或－20 D. 2或20 【答案】B 【解析】 【分析】 利用韦达定理可求的值. 【详解】因为，，故为方程的两个根， 故. 又 ， 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题. 二、多选题（每题5分，共15分） 7. 下列选项正确的有（ ） A. 比较接近1的整数的全体能构成一个集合 B. 由实数，，，，所组成的集合，其元素的个数最多为2 C. 设，，，，则 D. 若集合，集合，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的性质和定义以及集合间的关系一一分析即可. 【详解】对A，比较接近没有一个标准，故不符合集合确定性的性质，故A错误； 对B，因为，，所以当时，这几个数均为0， 当时，它们分别是，， 当时，它们分别是，，均最多表示两个不同的数， 故所组成的集合中的元素最多为2个，故B正确； 对C，集合中包含，而集合中不含，故C错误； 对D，对于集合，对于集合， 是奇数集，是整数集，则，故D正确. 故选：BD. 8. 已知集合，，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 化简集合A,B,再逐项判断即可得解. 【详解】化简得，， 所以， 所以，， 故选：BD． 9. 下列选项正确的有（ ） A. 已知全集，，，则实数p的值为3. B. 若，则或 C. 已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D. 若，，且，则. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D作答. 【详解】对于A，全集，由，得， 则是方程的两实根，解得，A正确； 对于B，由，得， 因此，解得，则，B错误； 对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素； 当时，集合中最多只有一个元素，即一元二次方程最多一个实根， 于是，解得，所以实数a的范围是或，C错误； 对于D，因为，所以当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，D正确. 故选：AD 三、填空题（每题4分，共12分） 10. 现有六张分别标有数字，，，，，的卡片，其中标有数字，，的卡片在甲手中，标有数字，，的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲出的卡片数字比乙大的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【详解】列表如下： 共有种等可能的结果， 其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：，，，，共种， 甲出的卡片数字比乙大的概率为. 故答案为：. 11. 分解因式：_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式法结合完全平方公式以及平方差公式即可求得答案. 【详解】 , 故答案为： 12. 定义运算，若集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 四、解答题（共75分） 13. 设，其中，如果，求实数的取值范围. 【答案】或 【解析】 【分析】由，然后利用集合的元素个数分别讨论，求出的取值范围即可. 【详解】由，而， 对于集合有： 当，即时，，符合； 当，即时，，符合； 当，即时，中有两个元素，而； ∴得； 综上，或. 14. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由补集的定义即可得出答案； （2）由，得，讨论和，列出不等式求得结果. 【小问1详解】 集合，当时，， 所以． 【小问2详解】 由，得． ①当时，则有，解得：，符合题意； ②当时，则有，解得：． 综合①②可得：实数的取值范围为或． 15. （1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值； （2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）（2）或. 【解析】 【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值； （2）先求出对称轴，再分和讨论即可. 【详解】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得： ， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以顶点的纵坐标即为最小值是， 而当时，函数值最大， 所以最大值是. 综上当，；当，. （2） 当时，不符合最大值为4，不合题意； 其对称轴为， ①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远， 当时有最大值，最大值为， ，解得； ②当，其图象开口向下， 则当时函数有最大值，最大值为， ，解得. 综上所述的值为或. 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围； （3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，坐标为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点和对称轴公式列方程组求出即可； （2）根据题意解出直线方程，讨论左右平移时与线段的交点即可求解； （3）解法一：先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可；解法二：分别将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出点坐标，由轴可知平分时，代入斜率公式求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线过点，且对称轴为直线， 所以，解得， 所以抛物线的解析式为. 【小问2详解】 当时，直线为， 令解得，令解得，所以，， 所以，将代入解得，所以直线方程为， 因为抛物线可由平移得到， 当点在抛物线上，由解得或， 结合图象可知至多向右平移个单位， 当的图象向左平移至与有一个交点时， 联立得， 令解得， 此时由解得，即交点坐标为，在线段上， 结合图象可知至多向左平移个单位， 综上的取值范围为. 【小问3详解】 解法一：因为直线，所以当时，，即， （根据对称性在这里不妨只考虑的情况） 因为所以抛物线的对称轴为直线，所以点在抛物线的对称轴上， 因为过点，且与直线垂直，所以， 设直线的解析式为，将代入得，故， 在直线上取点，,在上取点，使，作轴，轴， 则，， ，,所以 所以， 所以，则，， 所以，解得， 所以直线的解析式为，即：， 联立整理，得， 所以，， 由为的中点，得， 联立，同理可得， 假设存在点，设，使得总是平分， 如图，作， 因为平分，所以，故， 所以，则， 由于要在的同一侧，故 同正或者同负，解得 所以抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 解法二：对于直线令解得，所以，则在抛物线对称轴上， 联立得，设，， 由韦达定理可得， 因为是中点，所以点横坐标，则，即， 因为，且，所以， 又直线过点，所以直线方程为， 联立得，设，， 由韦达定理可得， 因为是中点，所以点横坐标，则，即， 因为轴，所以平分时,， 设，则， 所以对任意恒成立时，解得， 所以存在定点使得总是平分，其坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $