精品解析：四川省广安友谊实验学校2022-2023学年高二上学期第二次月考数学 试题

2022-2023学年度上期高2024届第二次月考 数学 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（ ） A. 1.4米 B. 3.0米 C. 3.6米 D. 4.5米 4. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A. B. C. D. 5. 与圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，则弦AB所在直线的方程为(　　) A. 2x－3y－1＝0 B. 2x＋3y－1＝0 C. 3x＋2y－1＝0 D. 3x－2y－1＝0 7. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A. B. C. D. 9. 若与相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是 A. B. C. 0 D. 1 11. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 14. 已知，，点在圆上运动，那么的最小值是_______． 15. 已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是________ 16. 若方程仅表示一条直线，则实数的取值范围是________． 三．解答题（本大题共6小题，共70分．17题10分，18-22题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 求下列各圆的标准方程： （1）圆心在x轴上，且圆过两点，； （2）圆心在直线上，且圆与直线切于点． 18. 已知，设命题p：函数在R上单调递增；命题q：不等式对恒成立．若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围. 19. 已知的斜边为，且.求： （1）直角顶点的轨迹方程； （2）直角边的中点的轨迹方程. 20. 已知圆：和： （1）求证：圆和圆相交； （2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 21. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 22. 已知圆O：及点． （1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明； （2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度上期高2024届第二次月考 数学 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 2. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】设所求直线为， 由直线与圆相切得， ， 解得．所以直线方程为或．选A. 3. 一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（ ） A. 1.4米 B. 3.0米 C. 3.6米 D. 4.5米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，由垂直条件对应的勾股定理求解出结果. 【详解】可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得米． 故选：C. 4. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”. 考点：不等式性质、充分必要性. 5. 与圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程. 【详解】由题意，圆的圆心坐标， 设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点， 满足，解得， 即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等， 所以所求圆的方程为，故选A. 【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，则弦AB所在直线的方程为(　　) A. 2x－3y－1＝0 B. 2x＋3y－1＝0 C. 3x＋2y－1＝0 D. 3x－2y－1＝0 【答案】B 【解析】 【详解】以PO为直径的圆与圆x2＋y2＝1的公共弦即为所求，两圆作差可得直线方程为2x＋3y－1＝0. 7. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案. 【详解】 可得:其圆心为 根据点到直线距离公式可得到距离为: 设与直线距离是. 根据平行线间距离公式可得: 解得:或 与直线距离是的直线有两条:和 又圆心到距离: 圆心到距离: 如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个. 圆与不相交, 如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个, 圆只能与相交,与相离 . 故选:B. 【点睛】本题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位置关系解法,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 8. 已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）．圆心C为点（2，﹣3）， 由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6， ∴r=， 则此圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13， 即x2+y2﹣4x+6y=0． 故选A． 9. 若与相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解． 【详解】由题意作出图形分析得： 由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心． 则在中，， 斜边上的高为半弦，且,用等积法可得： ． 故选D． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了圆的切线性质及直角三角形中求解线段长度的等面积的方法，属于基础题． 10. 已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是 A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算. 11. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用祖暅原理的含义可判断，利用同一圆锥正放与倒放，可得推不出，进而可得结论. 【详解】由“幂势既同，则积不容异”的含义可知，在等高处的截面积恒相等，则体积相等， 则可知“若体积不相等，在等高处的截面积不恒相等”，故， 反之，如同一圆锥正放与倒放，它们在等高处的截面积不恒相等，但体积相等， 所以“在等高处的截面积不恒相等未必几何体的体积不相等”，故不能推出， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 12. 已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得D,E,F,代入即可求得圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为，点Q是的外接圆与y轴的另一个交点， 分别令，则，． 设，则，又曲线与x轴交于M，N两点， 则，，，，，所以，， 故外接圆的方程． 故选：C. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 【答案】[－2，5] 【解析】 【详解】试题分析：，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即 考点：充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件． 2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 14. 已知，，点在圆上运动，那么的最小值是_______． 【答案】26 【解析】 【分析】设，已知，，用两点间的距离公式可得．由点在圆上运动，可得，用三角换元可得，代入，化简可得三角函数关系式，利用辅助角公式化成一个角的三角函数，进而求其最小值． 【详解】设. 因为点在圆上运动， 所以． 所以 因为 ，， 所以 其中 当时，取得最小值 点睛：⑴ 对于，求其最值时，可利用辅助角公式化成，然后利用三角函数的性质可求其最值． ⑵ 当满足，求有关的关系式的最值时，可用三角换元，设，然后利用辅助角公式，用正弦、余弦函数的性质解决问题． 15. 已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是________ 【答案】[2，6] 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系以及圆切线的几何性质求解即可 【详解】因为点M在圆C外，当AM，BM与圆C相切时，∠AMB最大，要使在圆C上存在两点A和B，使得MA⊥MB，只需当AM，BM与圆C相切时， ∠AMB≥90°，即∠AMC ≥ 45°，则sin∠AMC＝ ≥ ，解得2≤t≤6. 故答案为：[2，6]. 16. 若方程仅表示一条直线，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数的取值范围． 【详解】原方程可变形为，∴① 显然，时，； 当时，①式右边有两值，则直线不唯一； 当时，①式右边一正一负，负值不满足， 故所求的取值范围是或． 故答案为或． 【点睛】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．化简或者变形时，注意变形前后的方程的等价性. 三．解答题（本大题共6小题，共70分．17题10分，18-22题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 求下列各圆的标准方程： （1）圆心在x轴上，且圆过两点，； （2）圆心在直线上，且圆与直线切于点． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设圆心坐标，由圆的性质结合两点间距离公式列方程可得圆心坐标，再求得半径后即可得解； （2）设圆心坐标，由直线与圆相切的性质列方程可得圆心坐标，再求得半径后即可得解. 【详解】（1）因为圆心在x轴上，设圆心坐标为，则， 即，解得，即圆心为， 半径 则所求圆的标准方程为； （2）设圆心坐标为 则，解得， 则 则所求圆的标准方程为. 18. 已知，设命题p：函数在R上单调递增；命题q：不等式对恒成立．若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】或 【解析】 【分析】由函数在R上单调递增，依据指数函数的性质可得命题为真时，由关于的不等式对一切恒成立可得，据此求出命题为真时的取值范围，由为真命题，为假命题，可知中一个为真，一个为假，据此分情况求解. 【详解】由题意可知命题， 因为不等式对恒成立， 所以，结合，解得， 所以命题. 由为真命题，为假命题得真，假或假，真. 当真，假时，，解得； 当假，真时，，解得， 综上所述：或. 19. 已知的斜边为，且.求： （1）直角顶点的轨迹方程； （2）直角边的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据，得到，结合斜率公式，即可求得顶点的轨迹方程； （2）设，根据是线段的中点，得到，代入的轨迹方程，即可求得动点的轨迹方程. 【小问1详解】 解：设，因为三点不共线，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 整理得，即， 所以直角顶点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 由（1）知，点的轨迹方程为， 将代入得，即 所以动点的轨迹方程为. 20. 已知圆：和： （1）求证：圆和圆相交； （2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 【答案】（1） 标准方程是，，， 标准方程是，，， ，显然， 所以两圆相交． （2）， 【解析】 【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得； （2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程， 到直线的距离为， 所以公共弦长． 21. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1． 故由，解得：． 故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点． （2）设M；N， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程， 可得， ∴， ∴， 由，解得 k=1， 故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 22. 已知圆O：及点． （1）若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明； （2）过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】（1） 四边形为菱形，证明如下： 的中点为，， 的垂直平分线为，即， 代入圆，得， 设， 则， 所以的中点为，则四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形. （2）或 【解析】 【分析】（1）的中点为， 求出的垂直平分线，代入圆，得，由韦达定理及中点坐标公式得到的中点为，再由，推导出四边形OACB为菱形． （2）当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设的方程为，，圆心到直线的距离为，由平面几何知识得，推导出当且仅当时，取得最大值，由此能求出直线的方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，的方程为， 则的坐标为，所以， 当直线的斜率存在时，设的方程为，， 则圆心到直线的距离为， 由平面几何知识得， 所以， 当且仅当，即，取得最大值为， 此时由，解得或， 此时直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $