10.1.4 概率的基本性质 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第10章 概率 10.1 随机事件与概率 数学必修第二册（人教A版） 1 10.1.4 概率的基本性质 导入新课 若随机事件A和B互斥, A,B发生的概率均不是0,且P(A)=2-t,P(B)= 4t-5,则实数t的取值范围是多少? 概率的基本性质 精彩课堂 1.概念形成 前面已学过古典概型的概率,任意事件的概率的取值范围是什么?如果两个事件互为对立事件,那么它们的概率有什么特点?如果两个事件是互斥事件,那么它们的概率又有什么特点? 精彩课堂 概率的基本性质: 性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.(概率的非负性) 性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1- P(B). 性质5 如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B). 精彩课堂 2.概念深化 问题1 任何事件、必然事件、不可能事件的概率分别有什么特点? 任何事件的概率都是非负的;在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生. 性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.(概率的非负性) 性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 精彩课堂 问题2 (1)设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A,B的概率之间具有怎样的关系? (2)如果事件A和事件B互为对立事件,它们的概率又有什么关系呢? 因为事件A与事件B互斥,即A与B不含有相同的样本点,所以n(A∪ B)=n(A)+n(B),这等价于P(A∪B)=P(A)+P(B),即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和. 因为事件A和事件B互为对立事件,所以和事件A∪B为必然事件,即P(A∪B)=1.结合(1)中讨论,得1=P(A∪B)=P(A)+P(B). 精彩课堂 概率的基本性质: 性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)= 1-P(B). 针对所得到的性质3,如果不是两个事件互斥,而是多个事件两两互斥,其概率间又有什么关系呢? 如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+ P(A2)+…+P(Am). 精彩课堂 【注意】 (1)对立事件一定是互斥事件,且互为对立事件的两个事件概率之和为1,但互斥事件的概率之和不一定是1. (2)互斥事件的概率加法公式应用的前提是“事件A和事件B互斥”,否则不可以用这个公式.实际上,对于事件A,B,有P(A∪B)≤P(A)+ P(B),只有当事件A和事件B互斥时,等号才成立. (3)性质4适用于一个事件的概率不容易直接求出,但其对立事件的概率易于求出的情况. 精彩课堂 问题3 函数具有单调性,那么概率也具有单调性吗? 一般地,对于事件A与事件B,如果A⊆B,即事件A发生,则事件B一定发生,那么事件A的概率不超过事件B的概率. 性质5 如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 由性质5可以知道,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1. 精彩课堂 问题4 对于性质3,如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+ P(B),如果这里对于事件A和事件B的互斥关系不作要求,而是任意两个事件,结论还成立吗? 精彩课堂 思考 在10.1.2节例6的摸球试验中,“两个球中有红球”=R1∪R2, 那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗?如果不相等,请你说明原因,并思考如何计算P(R1∪R2). 因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10, 所以P(R1)=P(R2)=,P(R1∪R2)=. 因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠⌀,即事件R1,R2不是互斥的. 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2). 精彩课堂 概率的基本性质: 性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B). 概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上有区别: 在公式P(A)+P(B)=P(A∪B)中,事件A,B是互斥事件; 在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.显然,性质3是性质6的特殊情况. 精彩课堂 3.应用举例 例1一个盒子中装有各种颜色的大小形状完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中任取1个球.设事件A=“取出1个红球”,事件B=“取出1个黑球”,事件C=“取出1个白球”,事件D=“取出1个绿球”,且P(A)=152,P(B)=3,P(C)=言，P(D)=12 (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率. 精彩课堂 解：由题意知P(A)=152,P(B)=3,P(C)=6,P(D)=1,且事件A,B,C,D彼此为互斥事件. (1)“取出1个球为红球或黑球”的概率P(AUB)=P(A)+P(B)=152+3=3 (2)方法一：“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=123+6=12 方法二：“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即AUBUC的对立事件为D,所以“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率P(AUBUC)=1-P(D)=1-1=12 精彩课堂 【解题技巧】 对于一个复杂的概率问题,可以从两个角度分析:一方面可以将其分解为几个互斥的简单事件,利用互斥事件的概率加法公式求概率;另一方面可以先求该事件的对立事件,再利用对立事件的概率加法公式求解,这体现出“正难则反”的思想原则. 精彩课堂 变式训练 围棋是一种策略性两人棋类游戏.已知一个围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是3,都是白子的概率是30 (1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率； (2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率. 解：(1)设事件A=“从中任意取出2粒都是黑子”,事件B=“从中任意取出2粒都是白子”,事件C=“从中任意取出2粒恰好是同一色”,则C=AUB,且事件A与B互斥，则P(C)=P(A)+P(B)=3+3=30即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是3 (2)设事件D=“从中任意取出2粒恰好是不同色”, 由(1)知事件D与事件C互为对立事件，且P(C)=33,所以从中任意取出2粒恰好是不同色的概率P(D)=1-P(C)=1-30=30 精彩课堂 解：设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”,则 P(A)=4, P(B)=4 记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x,y),所以样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12个.而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一个样本点，即(1,4).故P(A∩B)=12所以，“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=4+412=2 例2 甲、乙、丙、丁四人参加4×100 m接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率. 精彩课堂 【解题技巧】 (1)对于与古典概型有关的求概率问题,可直接结A∪B, A, B, A∩B 的含义及概率的性质进行求解. (2)若一个概率模型不是古典模型,则求概率可套用公式P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B),特别要注意P(A∩B)的数值求解. 课堂练习 B 1.在一次随机试验中，三个事件A₁,A₂,A₃发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,对于以下说法：①A₁+A₂与A₃是互斥事件，也是对立事件；②A₁+A₂+A₃是必然事件；③P(A₂+A₃)=0.8;④P(A₁+A₂)≤0.5.其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 点拨 依题意，事件A₁,A₂,A₃不一定互斥，显然①②不正确.又P(A₂+A₃)=P(A₂)+P(A₃)—P(A₂∩A₃)≤P(A₂)+P(A₃)=0.8,P(A₁+A₂)=P(A₁)+P(A₂)—P(A₁∩A₂)≤P(A₁)+P(A₂)=0.5,所以③不正确，只有④正确. 课堂练习 D 2.下列四种说法： ①对立事件一定是互斥事件； ②若A,B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B); ③若事件A,B,C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件.其中错误的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 点拨 对立事件一定是互斥事件，故①对. 只有当A,B为互斥事件时，才有P(A+B)=P(A)+P(B),故②错. 因为A,B,C并不一定包括随机试验中的全部样本点，故P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于1,故③错. 若A,B不互斥，即使P(A)+P(B)=1,A,B也不是对立事件，故④错. 课堂练习 3.若事件A,B互斥，它们都不发生的概率为5,且P(A)=2P(B),则 P(A)=____. 点拨 因为事件A,B互斥，它们都不发生的概率为5,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1-3=5又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+—P(A)=3,所以P(A)=号 课堂总结 通过本节课的学习,我们深入了解了概率的基本性质,学习了如何应用互斥事件与对立事件的概率加法公式,如何将复杂事件进行分解,以有利于求得概率. 布置作业 1.教材练习第1,2,3题. 2.教材习题10.1第10题. 谢谢！ $$