第十三章 三角形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2　与三角形有关的线段 13.2.1　三角形的边 知识点1 三角形的三边关系 1．三角形两边的和_____第三边． 2．三角形两边的差_____第三边． 大于 小于 知识点2 三角形的稳定性 如果三角形的三条边长确定，这个三角形的形状和大小就不会 改变，这就是三角形的_______．稳定性是三角形特有的，在生 产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都 被制成三角形的形状，比如起重机、钢架桥等．为保证图形的 稳定性，常在图形中构造三角形． 稳定性 考点1 三角形的三边关系 典例1 [2024·长寿区期末]已知三角形的两边长度分别是3和8，第三条边的长度是一个偶数，则第三边长度不可能是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 思路导析 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设第三边长度是x，得到5<x<11，即可得到答案． 变式1 [2024·花都区期末]用9根同样长的木棒摆成一个三角形，最长的边最多可以由________根木棒组成．(　　) A．3根 B．4根 C．5根 D．6根 变式2 已知a，b，c是三角形的三边长． (1)化简：|a－b－c|＋3|a＋c－b|； (2)a，b满足|a－7|＋(b－2)2＝0，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由． 考点2 三角形的稳定性 典例2 [2024·莱西市期末]下列图形中，具有稳定性的是(　　) 思路导析 直接根据三角形的稳定性解答即可． 变式 [2024·通榆县期末]如图，双人漫步机是一种有氧运动 器材，它的三角形支架设计应用的几何原理是_______________ ___． 三角形具有稳定 性 1．[2024·汕尾期末]下列三组长度的线段，能组成三角形的是(　　) A．11，5，6 B．5，6，12 C．5，4，8 D．1，4，5 2．[2024·湛江期末]下列实例中没用到三角形稳定性的是(　　) 3．[2024·西宁]若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个 三角形，则整数a的值可以是______________．(写出一个即可) 4(答案不唯一) 4．[2024·花垣县期中]已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a－2|－|a－1|＋|a－8|. 解：∵△ABC的三边长分别为3，5，a， ∴5－3<a<3＋5， 解得2<a<8， 故|a－2|－|a－1|＋|a－8| ＝a－2－(a－1)＋8－a ＝7－a. 5．[2023·平果市期中]已知△ABC的三边长分别为a，b，c. (1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状； (2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 解：(1)∵(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； (2)∵a＝5，b＝2，且c为整数， ∴5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7， ∴c＝4，5，6， ∴当c＝4时，△ABC周长的最小值为5＋2＋4＝11； 当c＝6时，△ABC周长的最大值为5＋2＋6＝13. 6．[2023·南关区期末]某工艺店打算制作一批有两边长分别是7分米、3分米，第三边长为奇数(单位：分米)的不同规格的三角形木框． (1)要制作满足上述条件的三角形木框共有________种； (2)若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元/分米，问至少需要多少钱购买材料？(忽略接头) 解：(1)3； (2)制作这种木框的木条的长为3＋5＋7＋3＋7＋7＋3＋7＋9＝51(分米)， ∴51×8＝408(元)． 答：至少需要408元购买材料． 7．一个三角形的两边长为3和5. (1)求它的第三边a的取值范围； (2)求它的周长L的取值范围； (3)若周长为偶数，求三角形的第三边长． 解：(1)根据三角形的三边关系可得5－3＜a＜5＋3， 即2＜a＜8； (2)∵第三边a的取值范围为2＜a＜8， ∴它的周长L的取值范围2＋3＋5＜L＜5＋3＋8， 即10＜L＜16； (3)∵第三边a的取值范围为2＜a＜8， 周长为偶数， ∴第三边的长为4或6. 解：(1)∵a，b，c是三角形的三边长， ∴b＋c>a，a＋c>b， ∴a－b－c<0，a＋c－b>0， ∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b－c))＋3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋c－b)) ＝(b＋c－a)＋3(a＋c－b) ＝b＋c－a＋3a＋3c－3b ＝2a－2b＋4c； (2)此三角形是等腰三角形． 理由： ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－7))＋(b－2)2＝0， ∴a－7＝0，b－2＝0， ∴a＝7，b＝2. ∵三角形的周长是16， ∴c＝16－7－2＝7， ∴a＝c， ∴此三角形是等腰三角形． $$13.2.2　三角形的中线、 角平分线、高 知识点1 三角形的中线 如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的______，所得线段 AD叫作△ABC的边BC上的中线．三角形的三条中线相交于一点， 这个点叫作三角形的_____． 中点D 重心 知识点2 三角形的角平分线 如图2，画∠BAC的_________，交∠BAC所对的边BC于点D，所得 线段___叫作△ABC的角平分线． 平分线AD AD 知识点3 三角形的高 如图3，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画_____，垂 足为D，所得_______叫作△ABC的边BC上的高线，简称三角形 的高． 垂线 线段AD 【注意】 1．三角形的高、中线与角平分线均是线段． 2．任意一个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线．三角形的三条中线、三条角平分线分别交于三角形内一点．三角形三条高所在的直线交于一点．这点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，直角三角形的三条高交于直角顶点． 考点1 三角形的中线 典例1 [2024·青羊区期中]如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝32 cm2，则△DEF的面积等于(　　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 思路导析 此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道等底同高的三角形面积相等． 变式 [2023·海珠区期末]如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm， 若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为(　　) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 考点2 三角形的角平分线 典例2 如图，AD是△ABC的角平分线，下列各式正确的是( 　 ) 思路导析 根据角平分线的定义即可判断． 变式 [2024·巫山县期中]如图，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF 分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是(　　) A．∠BAD＝∠C B．∠ABF＝∠CBF C．S△ABE＝S△AEC D．AF＝CF 考点3 三角形的高 典例3 [2024·思明区期末]如图，在△ABC中，点D，E是AC边上两点，BE⊥AB，BD⊥BC，则BD是下列哪个三角形的高(　　) A．△BCD B．△ABC C．△ABE D．△BDE 思路导析 三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段判断即可． 变式 如图，在△ABC中，AD与CE是△ABC的高． (1)若AB＝7 cm，BC＝10 cm，CE＝8 cm，求AD的长； (2)若AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少． 1．[2024·长沙期末]如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列各式错误的是(　　) 2．[2024·陵川县期中]将三角形纸片ABC按照下面四种方式折叠，得到AD，则AD是△ABC的高的是(　　) 3．[2024·酒泉期末]如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD 是AC边上的中线，若△ABD的周长为32，则△BCD的周长是(　　) A．20 B．24 C．26 D．28 4．[2023·武都区期末]如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一 点，且BG＝2GD，连接AG，若△ABC的面积为6，则图中阴影部分 的面积是__． 2 5．[2024·公主岭市期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD 是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给 出以下结论：①BF＝AF ②∠AFG＝∠AGF　③∠FAG＝2∠ACF　 ④S△ABE＝S△BCE.上述结论中，所有正确结论的序号是_______． ②③④ A．∠1＝eq \f(1,2)∠BAC B．∠1＝eq \f(1,2)∠ABC C．∠1＝∠BAC D．∠1＝∠ABC 解：(1)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CE＝eq \f(1,2)BC·AD， AB＝7 cm，BC＝10 cm，CE＝8 cm， ∴eq \f(1,2)×7×8＝eq \f(1,2)×10AD， ∴AD＝eq \f(28,5) cm； (2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CE＝eq \f(1,2)BC·AD，AB＝2，BC＝4， ∴eq \f(1,2)×2CE＝eq \f(1,2)×4AD， ∴eq \f(AD,CE)＝eq \f(1,2). A．BC＝2CD B．∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC C．∠AFB＝90° D．AE＝CE $$13.3.2　三角形的外角 知识点1 三角形的外角的概念 三角形的一边与另一边的_______组成的角，叫作三角形的外角． 【注意】 在三角形的每个顶点处都有两个外角，这两个外角是对顶角． 延长线 知识点2 三角形的外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的___． 【注意】 三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角． 和 考点1 角形的外角的概念 典例1 如图，下列关于外角的说法正确的是(　　) A．∠FBA是△ABC的外角 B．∠FBG是△ABC的外角 C．∠DCE是△ABC的外角 D．∠GBA是△ABC的外角 思路导析 三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角．根据三角形的外角定义进行判断即可得出结果． 变式 顺次延长△ABC的三条边AB，BC，CA，所得的三个外角中，钝角最少有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无法确定 考点2 三角形的外角的性质 典例2 [2024·东城区期末]将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于(　　) A．50° B．60° C．75° D．85° 思路导析 利用三角形的外角的性质即可求出∠CAF的度数． 变式 如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为(　　) A．100° B．120° C．140° D．160° 1．如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是(　　) A．∠BCD＞∠A B．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A＋∠B 2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝28°，则∠ACD的度数为(　　) A．100° B．110° C．126° D．130° 3．如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为(　　) A．30° B．40° C．60° D．80° 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝(　　) A．40° B．36° C．20° D．18° 5．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于______． 105° 6．如图，在△ABC中，延长AB至点D，延长BC至点E，如果∠1＋ ∠2＝230°，则∠A＝_____． 50° 7．[2024·辛集市期末]如图，D是△ABC的边AC上一点，连接BD， CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M.△ABC的外角∠ACE的平分线 CF所在直线与AB的延长线交于点G.当∠CBD＝∠A时，有下列四个 结论： ①∠CHD与∠G互余 ②∠CBD＝∠BCG ③∠MHD－∠G＝90° ④∠MHD＝90°＋∠A. 其中正确的结论是_____.(填序号) ①③ 8．[2023·裕安区期末]如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE，CE交于点E. (1)求∠E的度数； (2)请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由． 解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE， 由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠CBE， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠E＋∠CBE)， ∴∠A＝2∠E， ∵∠A＝40°， ∴∠E＝20°； (2)∠A＝2∠E. 理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE， 由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠CBE， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠E＋∠CBE)， ∴∠A＝2∠E. $$第十三章 三角形 13.1　三角形的概念 知识点1 三角形及有关概念 由不在同一条直线上的三条线段_____________组成的图形叫作 三角形．组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共 端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角， 简称三角形的角．如图所示，这个三角形可记 作______，其中三角形的边是___________， 顶点是点________，三个内角是___________ ____． 首尾顺次相接 △ABC AB，AC，BC A，B，C ∠A，∠B， ∠C 三角形的分类 1．按边分： 等腰 底边和腰不相等 等边 2．按角分： 直角 钝角 考点1 三角形及其元素 典例1 如图，在△BCE中，边BE所对的角是______，∠CBE所对 的边是___；在△AEC中，边AE所对的角是______，∠AEC所对的 边是___；以∠A为内角的三角形有____________________． ∠BCE CE ∠ACE AC △ABD，△ABC，△ACE 思路导析 根据三角形的相关概念解答即可． 变式 [2024·庆阳期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，除△ABC外，图中还有几个三角形？并说出CD是哪些三角形的边． 解：图中还有4个三角形， 其中，CD是△ACD和△CDE的边． 考点2 三角形的分类 典例2 如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是(　　) A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形， P表示等边三角形 B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形， P表示等腰三角形 C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 思路导析 根据三角形的分类判断． 变式 [2024·重庆期中]在△ABC中，如果∠A＝91°＋∠B，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 1．图中三角形的数量是(　　) A．5个　 B．6个　 C．7个　 D．8个 2．下列说法：①等边三角形是等腰三角形 ②三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 其中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对 的边是___；在△ACD中，∠C所对的边是___． AB AD 4．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角 形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有___ 个三角形． 21 5．如图所示，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB上，AD交CE于点F. (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出含有∠ADC的三角形； (3)在△ACF中，写出∠ACF的对边； (4)以线段BC为边的三角形有哪些？ 解：(1)图中有8个三角形，分别是△AEF，△ABD，△AEC，△ABC，△AFC，△ACD，△CDF，△BCE； (2)含有∠ADC的三角形有△ACD，△CDF； (3)在△ACF中，∠ACF的对边是AF； (4)以线段BC为边的三角形有△ABC，△BCE. eq \a\vs4\al\co1(三角形)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三边都不相等的三角形, 三角形\b\lc\{(\a\vs4\al\co1( ,的等腰三角形, 三角形)))) 三角形eq \b\lc\{(\a\vs8\al\co1(锐角三角形, 三角形, 三角形)) $$13.3　三角形的内角与外角 13.3.1　三角形的内角 知识点1 三角形的内角和定理 三角形的内角和等于______． 180° 知识点2 直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角_____．直角三角形可以用符号“_____” 表示，直角三角形ABC可以写成________． 知识点3 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是_____三角形． 互余 Rt△ABC 直角 Rt△ 考点1 三角形的内角和定理 典例1 某数学兴趣小组在证明定理“三角形的内角和等于180°” 的过程中，小张给出如下思路．请你将小张的证明过程补充完整． 证明：如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB. ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠__，∠B＋∠____＝180°， ∵∠BCD＝∠____＋∠____， ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. A BCD BCA ACD 思路导析 根据平行线的性质即可完成填空． 变式1 一个三角形三个内角之比为1∶3∶5，则最小的角的度数为(　　) A．20° B．30° C．40° D．60° 变式2 如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E， ∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为_____． 16° 考点2 直角三角形的性质 典例2 [2024·兴宁市期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD是高．若∠B＝58°，则∠ACD的度数是_____． 58° 思路导析 根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B＋∠A＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可． 变式1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B－∠A＝10°，则∠A的度数为(　　) A．50° B．40° C．35° D．30° 变式2 [2024·合肥期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E. (1)若∠CEF＝50°，求∠A的度数； (2)∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 变式2 [2024·合肥期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E. (1)若∠CEF＝50°，求∠A的度数； (2)∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由． 解：(1)∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°， ∴∠CBE＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝80°， ∴∠A＝90°－∠ABC＝10°； (2)相等，∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE＋∠CEB＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ABE＋∠BFD＝90°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∴∠CEB＝∠BFD， ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠CEB＝∠CFE， 即∠CFE＝∠CEF. 考点3 直角三角形的判定 典例3 △ABC三个内角的度数之比是1∶1∶2，那么△ABC是___ _______三角形． 思路导析 根据比例设三角形的三个内角的度数分别为k，k，2k，然后根据三角形的内角和等于180°列出方程求出k，再求出三个内角的度数，即可得解． 等 腰直角 变式1 [2024·沙依巴克区期中]有下列条件：①∠A＋∠B＝∠C　 ②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3　③∠A＝90°－∠B　④∠A＝∠B ＝∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有__个． 4 变式2 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB. (1)求∠ACE的度数； (2)若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°， 证明：△CFD是直角三角形． (2)证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠B＝28°， ∴∠FCD＝∠ECB－∠BCD＝16°. ∵∠CDF＝74°， ∴∠CFD＝180°－∠FCD－∠CDF＝90°， ∴△CFD是直角三角形． 2．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为(　　) A．56° B．64° C．66° D．54° 3．[2024·普兰店区期末]将一副三角板按如图位置放置，则∠COD的度数是(　　) A．105° B．120° C．135° D．150° 4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B＝55°， ∠C＝35°，则∠ADE＝(　　) A．50° B．55° C．60° D．62.5° 6．[2024·长宁区期末]如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的平 分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°， 那么∠BAD＝____°. 58 7．[2024·祁阳市期末]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高， AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝ 60°，则∠EAD＋∠ACD＝____°. 75 解：(1)∵∠A＝30°，∠B＝62°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝88°. ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE＝eq \f(1,2)∠ACB＝44°； 1．有下列条件：①∠A－∠B＝90°　②∠A＝∠B－∠C　③∠A＝∠B＝2∠C　④∠A＝eq \f(1,2)∠B＝eq \f(1,3)∠C.其中不能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．[2024·江津区期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝α，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为(　　) A.eq \f(1,2)α B．90°＋eq \f(1,2)α C．90°－eq \f(1,2)α D．α $$