第27章 相似课件 2025-2026学年 人教版（2024）九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“位似”核心知识点，涵盖概念、性质、作图及课堂讲练与检测，通过复习相似图形引入，构建从一般到特殊的知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于融合几何直观与空间观念，以图形示例、例题解析及作图训练为载体，强化位似中心、相似比等关键要素。讲练结合模式助力学生提升应用意识，教师可依托结构化资源优化教学流程。

第3课时　相似三角形及其边角性质 新知导学 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 新知导学 返回目录 1.相似三角形是最常见的相似多边形，相似三角形的对应 角________，对应边________. 2.如图1，△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，相似比k＝ .则： (1)对应角：∠A＝∠A′，∠B＝∠________，∠________＝∠C′； (2)对应边： ＝ ＝ ＝________. 图1 相等 B′ C A′C′ BC 成比例 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 相似三角形及其边角性质 例1　如图2，△ABC与△AED相似，则： (1)AB的对应边为________， BC的对应边为________， AC的对应边为________； (2)相似比k＝________. 图2 AE ED AD 2 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 训练　1.已知△ABC∽△EFG，AB＝2，BC＝5，EF＝3，EG＝6，则： (1)AB的对应边为________，BC的对应边为________，________的对应边为EG； (2)相似比k＝________； (3)AC的长为________，FG的长为________. FG FG AC 4 7.5 找对应关系的方法： 方法1：相等的角所对的边是对应边； 方法2：最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边； 方法3：若△ABC∽△EFG，则相同位置上的字母是对应字母． 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 例2　若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的最长边的长分别为9和6，△ABC的最短边的长为3，则相似比为__________，△DEF的最短边的长为__________. 训练　2.已知△ABC∽△DEF，相似比为 . (1)若AB＝10，则DE＝________； (2)若EF＝16，则BC＝________. 2 8 20 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 例3　(人教九下P28改编)如图3，△ADE∽△ABC，AE＝2，AD＝3，DE＝4，BC＝12，∠C＝50°. (1)DE的对应边为________，相似比为________，∠AED的度数 为________； (2)求AC，BD的长． 图3 BC 50° ∴BD＝AB－AD＝9－3＝6. 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 训练　3.如图4，△ABC∽△DEC，∠D＝40°，∠ACB＝80°， BC＝3，AC＝4，CD＝6. (1)AC的对应边为________，相似比为________，CE的长 为________； (2)求∠B的度数． 图4 DC 4.5 解：(2) ∵△ABC∽△DEC，∴∠A＝∠D＝40°. ∵∠ACB＝80°，∴∠B＝180°－40°－80°＝60°. 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．如图5，已知△ABC∽△ADE，∠ACB＝75°，∠A＝60°，则∠D的度数是(　　)     A．75°　 B．105°　 C．60°　 D．45° 2．若△ABC∽△DEF，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，DE＝15 cm，则EF的长为(　　) A．4 cm　 B．5 cm C．12 cm　 D．7 cm 图5 D C 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 3．如图6，已知△ABC∽△CDE，若AB＝4，BD＝9，BC＝6，则DE的长为(　　)       A．3　 B．4　 C．　 D．9 图6 C 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 4．如图7，已知△ABE∽△DCE，∠A＝37°，AC＝13，BE＝6，AE∶CE＝10∶3. (1)∠D的度数为________； (2)DE的长为________； (3)相似比为________. 图7 37° 5 2 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 能力提升 5．如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AC上一点，AC＝9，CD＝4，若△ABC∽△BDC，则BC的长为__________. 图8 6 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 6．(人教九下P42改编)如图9，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点上，线段AB和CD相交于点E.若△ADE∽△BCE，则 的值是________. 图9 由△ADE∽△BCE可得 ＝ ，观察网格图，可利用勾股定理求出AD，BC的长，从而得到其比值． 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 15 思维拓展 7．【易错·分类讨论】如图10，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 ，AC＝4，D为AB的中点．若点E在边AC上，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求AE的长． 图10 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 解：∵D为AB的中点，∴AD＝ AB＝ . 当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，由于对应边不确定，需分以下两种情况： 答图1 ②如答图2，当△AED∽△ABC，即∠AED＝∠B＝90°时， 答图2 综上，AE的长为2或 . ①如答图1，当△ADE∽△ABC，即∠ADE＝∠B＝90°时， 由于相似三角形的对应边不确定，需要分情况讨论． 第3课时　相似三角形及其边角性质 返回目录 ∴＝＝.∴AC＝6，AB＝9. 解：（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝＝. ∴＝，即＝.解得AE＝. ∴＝，即＝.解得AE＝2. $$ 第11课时　位似与坐标变换 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．(几何直观、空间观念、应用意识) 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 课堂讲练 返回目录 例1　(人教九下P48改编)如图1，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小．   观察图形并填空： (1)点A(6，4)的对应点分别为A′(______，______)，A″(______，______)； (2)点B(6，0)的对应点分别为B′(______，______)，B″(______，______)； 图1 (3)若点P为AB的中点，则P(______，______)的对应点分别为P′(______，______)，P″(______，______)． 3 2 －3 －2 3 0 －3 0 6 2 3 1 －3 －1 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 训练　1.(人教九下P49改编)如图2，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把△OAB放大2倍后得到△OA1B1，△OA2B2.   观察图形并填空： (1)点A(2，1)的对应点分别为 A1(______，______)，A2(______，______)； (2)点B(1，－2)的对应点分别为 B1(______，______)，B2(______，______)； 图2 (3)若点P(x，y)为AB上一点，则其对应点分别为P1(______，______)，P2(______，______)． 4 2 －4 －2 2 －4 －2 4 2x 2y －2x －2y 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为____________或____________. (kx，ky) (－kx，－ky) 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 例2　(2024绥化)如图3，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是(　　)   A．(9，4)　 B．(4，9) 　 C． 　D． 图3 D 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 训练　2.如图4，在平面直角坐标系中，已知A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，将△ABO放大到原来的3倍，则点A的对应点A′的坐标是(　　)    A．(－9，18) B．(－1，2) C．(－1，2)或(1，－2) D．(－9，18)或(9，－18) 图4 D 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 例3　如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，0)，B(6，4)，C(0，6)，以点O为位似中心，将四边形OABC缩小为原来的 ，得到四边形OA′B′C′，在第一象限内画出四边形OA′B′C′，并写出各顶点的坐标． 图5 解：如答图1，四边形OA′B′C′即为所求． O(0，0)，A′(2，0)，B′(3，2)，C′(0，3). 答图1 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 训练　3.如图6，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(3，－1)，C(1，－3)，以点A为位似中心，在y轴左侧画△AB′C′，使它与△ABC的相似比是2∶1．请画出△AB′C′，并写出B′，C′两点的坐标．            思考：若将题中“在y轴左侧”删掉，又应该如何画图呢？ 图6 解：如答图2，△AB′C′即为所求． B′(－6，－1)，C′(－2，3). 答图2 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(2024浙江)如图7，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则 点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　) A.(－4，8)　 B．(8，－4) C．(－8，4)　 D．(4，－8) 图7 A 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 2．如图8，以某点为位似中心，将△AOB缩小后得到△CDE，则位似中心的坐标为__________． 图8 (2，2) 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 3．(2024佛山期末)在平面直角坐标系中，原点O为△ABC与△A1B1C1的位似中心，相似比为3∶5.若点A的坐标为(3，6)，则对应点A1的坐标为______________________. (5，10)或(－5，－10) 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 能力提升 4．如图9，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(4，－3)，C(4，－1)． (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (2)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1是位似图形，且点A2的坐标为(3，3)； (3)△A1B1C1与△A2B2C2的周长比是________． 图9 答图3 解：(1)如答图3，△A1B1C1即为所求． (2)如答图3，△A2B2C2即为所求． 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 思维拓展 5．如图10，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O(0，0)，B(1，0)，已知△OA′B′与△OAB是位似图形，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A的对应点A′的坐标 为______________________________. 图10 第11课时　位似与坐标变换 返回目录 (2，2 )或(－2，－2 ) $$ 第6课时　相似三角形的判定(三) 新知导学 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．(几何直观、推理能力) 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 新知导学 返回目录 衔接回顾： 判定1：__________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 判定2：______________的两个三角形相似； 判定3：______________且______________的两个三角形相似． 新知学习： 判定4：两角分别________的两个三角形相似． 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中， _________________________________， ∴△ABC∽△A′B′C′. 平行 三边成比例 两边成比例 夹角相等 相等 ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′(答案不唯一) 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 相似三角形的判定4 例1　(人教九下P42改编)如图1，已知∠A＝70°，∠B＝48°， ∠D＝70°，∠F＝62°.求证：△ABC∽△DEF. 图1 证明：∵∠A＝70°，∠B＝48°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝62°. ∵∠D＝70°，∠F＝62°，∴∠A＝∠D，∠C＝∠F. ∴△ABC∽△DEF. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 例2　如图2，AC，BD相交于点O，已知∠A＝∠D.求证：△AOB∽△DOC. 图2 思考：若把图2放置在圆中，将“∠A＝∠D”改为“点A，B，C，D在圆上(如右图)”，又该如何证明△AOB∽△DOC呢？ 证明：∵AC，BD相交于点O，∴∠AOB＝∠DOC. 又∠A＝∠D，∴△AOB∽△DOC. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 例3　(人教九下P35改编)如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，E是AC的中点，ED⊥AB，垂足为D. (1)求证：△ABC∽△AED； (2)求AD的长． 图3 (1)证明：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠C＝∠EDA. 又∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED. (2)解：∵E是AC的中点，AC＝4，∴AE＝ AC＝2. 解得AD＝ . 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 训练　1.(人教九下P36改编)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高． (1)求证：△ACD∽△ABC； (2)若AB＝8，AC＝6，求AD的长．        思考：△ACD与△CBD相似吗？CD2与AD·BD有何关系呢？ 图4 (1)证明：∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB. 又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC. ∴AD＝ . 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 例4　如图5，CA⊥AD，ED⊥AD，B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4. (1)求证：△ABC∽△DEB； (2)求BD的长． 图5 (1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠D＝∠CBE＝90°. ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°. ∴∠C＝∠DBE. ∴△ABC∽△DEB. ∴BD＝3. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 11 训练　2.如图6，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且 BP＝1，D为AC上一点，且∠APD＝60°. (1)求证：△ABP∽△PCD； (2)求AD的长． 图6 (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°． ∴∠BAP＋∠APB＝120°. ∵∠APD＝60°，∴∠CPD＋∠APB＝120°. ∴∠BAP＝∠CPD.∴△ABP∽△PCD. (2)解：在等边三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3. 又BP＝1，∴PC＝BC－BP＝3－1＝2. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(2024滨州)如图7，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以 是_________________________．(写出一种情况即可) 图7 ∠ADE＝∠C(答案不唯一) 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 2．(北师九上P94改编)如图8，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△ADE. 图8 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE. 又∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 能力提升 3．如图9，在▱ABCD中，点N在BC上，连接DN，点M在DN上，连接AM，且∠AMN＝∠B.求证：△ADM∽△DNC. 图9 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC. ∴∠B＋∠C＝180°，∠ADM＝∠DNC. ∵∠AMN＋∠AMD＝180°，∠AMN＝∠B， ∴∠B＋∠AMD＝180°.∴∠AMD＝∠C. ∴△ADM∽△DNC. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 思维拓展 4．【推理能力·衔接中考】如图10，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是 的中点，BD交AC于点E. (1)求证：AD2＝DE·DB； 图10 ∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 (2)若BC＝5，CD＝ ，求DE的长． 图10 解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°. 第6课时　相似三角形的判定(三) 返回目录 ∵△ABC∽△AED，∴＝，即 ＝. (2)解：∵△ACD∽△ABC，∴＝，即＝. (2)解：∵△ABC∽△DEB，∴＝，即＝. ∵△ABP∽△PCD，∴＝，即＝.解得CD＝. ∴AD＝AC－CD＝3－＝. 证明：∵D是的中点，∴＝． ∴∠ABD＝∠EAD. ∴＝.∴AD2＝DE·DB. 解得DE＝. 在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD＝＝2. ∵D是的中点，∴＝.∴AD＝DC＝. 由(1)可知，AD2＝DE·DB，即()2＝2DE. $$ 第1课时　图形的相似 类比学习 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似．(几何直观、模型观念、运算能力、应用意识) 第1课时　图形的相似 返回目录 类比学习 返回目录   全等图形 相似图形 定义 形状和__________都相同的图形 __________相同的图形 图例 四边形ABCD≌四边形EFGH     四边形ABCD和四边形EFGH相似 联系与区别 ①形状都相同；②全等图形大小相等，相似图形大小不一定相等； ③全等图形是特殊的相似图形． 大小 形状 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 相似图形的概念  ________相同的图形叫做相似图形．其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． 例1　观察下列各组图形，其中是全等图形的有__________，是相似图形的有__________. 注：若两个相似图形的大小相等，则两图形全等． 形状 ④ ①②④ 第1课时　图形的相似 返回目录 训练　1.下列选项中的两个图形，是相似图形的是(　　) C 第1课时　图形的相似 返回目录 例2　(人教九下P24改编)下列描述的图形不是相似图形的是(　　) A．比例尺不同的两张中国地图 B．同一张底片打印出的大小不同的两张照片 C．在平面镜和在哈哈镜里看到的自己的像 D．放电影时胶片上的图像和投在屏幕上的图像 C 第1课时　图形的相似 返回目录 训练　2.(人教九下P25改编)如图1，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是(　　)   A．相似　 　 B．平移 C．轴对称 D．旋转 图1 A 第1课时　图形的相似 返回目录 知识点 2 成比例线段 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比__________，如 ＝ (即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例． 相等 第1课时　图形的相似 返回目录 例3　下列各组线段是成比例线段的请打“√”，不是的打“×”． (1)a＝1，b＝2，c＝3，d＝4；(　　) (2)a＝2，b＝3，c＝4，d＝6；(　　) (3)a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝ .(　　) × √ √ 第1课时　图形的相似 返回目录 训练　3.下列不是成比例线段的是________(填序号)． ①1 cm，2 cm，3 cm，6 cm； ②0.2 cm，0.3 cm，0.5 cm，0.7 cm； ③ cm， cm， cm， cm. ② 第1课时　图形的相似 返回目录 例4　(1)已知 ＝ (abcd≠0)，下列变形不正确的是(　　) A．ad＝bc　　　B． ＝　　　　C． ＝　　　　D． ＝ ②等比性质： ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0) ⇒ ＝ . 注：①合比性质： ＝ ⇒ ＝ ； (2)若 ＝ ＝2(b＋d≠0)，则 ＝________， ＝__________. D 1 2 第1课时　图形的相似 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．下列选项中，与图2所给图形相似的是(　　) 图2 D 判断两个图形是否相似，就是看它们的形状是否相同，与大小、位置和方向均无关． 第1课时　图形的相似 返回目录 2．下列选项中，两个图形不一定相似的是(　　) 　 A．两个正方形　 B．两个矩形　 C．两个等边三角形 D．两个圆 B 第1课时　图形的相似 返回目录 3．(北师九上P119改编)若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝ 3 cm，c＝6 cm，d＝9 cm，且 ＝ ，则线段a的长度为________cm. 4．(2024深圳期中)已知4a＝3b(b≠0)，则下列等式成立的是(　　) A．　 B． C．　 D．　 2 B 比例式与等积式的转化，可通过将比例式交叉相乘转变为等积式． 第1课时　图形的相似 返回目录 5．(人教九下P27改编)在地理学上，比例尺＝ .在一张比例尺为1∶500 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为6 cm，那么甲、乙两地的实际距离是________km. 30 第1课时　图形的相似 返回目录 能力提升 6．【易错】(人教九下P27改编)如图3，在5×5的正方形网格中有一个四边形，请你在网格中画出一个与该四边形相似的图形(要求大小不同)． 图3 解：画出图形如答图1所示．(答案不唯一) 答图1 将一个图形放大或缩小，指的是将这个图形的每条边都按相同的比例同时放大或缩小． 第1课时　图形的相似 返回目录 且AB∥NP，“晋”字的笔画“ ”的位置在AB的黄金分割点C处，且 ＝ .若NP＝2 cm，则BC的长 为__________cm.(结果保留根号) 思维拓展 7．【阅读理解·对接中考】(2024山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图4所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上， 图4 第1课时　图形的相似 返回目录 ＝ ＝ ＝ ＝ (－1) $$ 第8课时　相似三角形的应用(一) 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．(几何直观、应用意识、模型观念) 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 简单的实际问题  例1　(人教九下P57改编)如图1，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径AB，已知AD＝BC， ＝ ＝ ，量得CD的长为6 cm，则AB的长 为________cm． 图1 18 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 训练　1.(北师九上P163改编)如图2，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3 m时，视力表中最大的“E”字高度为45 mm；当测试距离为5 m时，视力表中最大的“E”字高度为________mm． 图2 75 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 知识点 2 利用影长测量的问题 例2　(人教九下P39改编)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理测量金字塔的高度．如图3，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO. 图3 解：∵太阳光是平行光线，即BA∥ED，∴∠BAO＝∠EDF. ∵∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF. 答：金字塔的高度BO为134 m. 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 训练　2.如图4，一棵笔直的小树AB在路灯O的照射下形成树影BC.若树高AB＝2 m，树影BC＝3 m，树与路灯的水平距离BP＝4 m，求路灯的高度OP. 图4 解：由题意，得AB∥OP.∴△ABC∽△OPC. 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 知识点 3 测量河宽问题 例3　(人教九下P40改编)如图5，点A是河对岸上一点，点A，B，D在同一条直线上，点A，C，E在同一条直线上，且AD⊥DE，BC∥DE.已测得BC＝24 m，BD＝12 m，DE＝40 m，求河宽AB. 图5 解：设河宽AB为x m. 解得x＝18. 答：河宽AB为18 m. 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 训练　3.(人教九下P41改编)如图6，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，在BC上取一点E，满足点A，E，D在同一条直线上．测得BE＝30 m，CE＝15 m，DC＝30 m，求河宽AB. 图6 解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°. 又∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE. 答：河宽AB为60 m. 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(人教九下P41改编)在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．同一时刻下，如果高为1.5 m的人的影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高为(　　) A．15 m B．16 m C．18 m D．20 m C 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 2．【跨学科】(2024扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图7，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB＝36 cm，A′B′＝ 24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离 为__________cm. 图7 20 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 3．(北师九上P105改编)如图8，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4 m宽的亮区DE，已知亮区DE右端到窗口下墙角的距离CE＝ 5 m，窗口高AB＝2 m，那么窗口底端离地面的高BC＝__________m. 图8 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 4．如图9，小明在A时刻测得树CE的影长DE为2 m，又在B时刻测得树CE的影长EF为8 m．若两次日照的光线互相垂直，求树CE的高度． 图9 解：由题意，得∠DCF＝90°，CE⊥DF. ∴∠DEC＝∠CEF＝90°. ∴∠DCE＋∠D＝90°，∠DCE＋∠ECF＝90°. ∴∠D＝∠ECF.∴△EDC∽△ECF. 又DE＝2，EF＝8，∴EC2＝2×8＝16.∴EC＝4. 答：树CE的高度为4 m. 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 能力提升 5．【实践探究】下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度AB.  课题 测量小河的宽度AB 测量方法 示意图 测量数据 BC＝1 m，BD＝10 m，DE＝1.2 m 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE. 答：小河的宽度AB为50 m. 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 思维拓展 6．如图10，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 m，继续往前走3 m到达E处时，测得影子EF的长为2 m，已知王华的身高是1.5 m(即GC＝HE＝1.5 m)，求路灯的高度AB. 图10 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 解：设BC＝x. ∵GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.∴△GCD∽△ABD. 解得AB＝6. 答：路灯的高度AB为6 m. 第8课时　相似三角形的应用(一) 返回目录 ∴＝.∴BO＝＝＝134(m). ∴＝，即 ＝.解得OP＝. 答：路灯的高度OP为 m. ∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE.∴＝. 又BC＝24 m，BD＝12 m，DE＝40 m，∴＝. ∴＝，即 ＝.解得AB＝60. ∴＝，即EC2＝DE·EF. ∴＝，即 ＝.解得AB＝50. ∴＝，即 ＝. 同理，得△HEF∽△ABF.∴＝，即 ＝. ∴＝.解得x＝3.∴＝. $$ 第9课时　相似三角形的应用(二) 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课堂讲练 返回目录 知识点 1 利用标杆测量的问题 例1　(人教九下P43改编)如图1，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度．已知标杆BE＝1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，求旗杆CD的高度． 图1 解：由题意，得BE∥CD.∴△AEB∽△ADC. 答：旗杆CD的高度为12 m. 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 训练　1.如图2，为了测量大楼的高度，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立标杆AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶 端C在一条直线上(点F，B，D也在一条直线上)．已知小明的身高EF＝ 1.5 m，AB＝2.5 m，BD＝23 m，FB＝2 m，EF，AB，CD均垂直于地面FD.过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J，求大楼的高度CD.  图2 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 解：由题可知，四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形． ∴EF＝BJ＝DH＝1.5，FB＝EJ＝2，BD＝JH＝23. ∴AJ＝AB－BJ＝2.5－1.5＝1，EH＝EJ＋JH＝2＋23＝25. ∵AB⊥FD，CD⊥FD，∴AB∥CD，即AJ∥CH， ∴△EAJ∽△ECH. ∴CD＝CH＋DH＝12.5＋1.5＝14(m). 答：大楼的高度CD为14 m. 图2 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 知识点 2 利用反射测量的问题 例2　(人教九下P43改编)如图3，某数学兴趣小组为了测量学校一凉亭AB的高度，采取了如下方法：①在凉亭的右边点E处水平放置一面平面镜，测得BE＝12 m；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A(此时点B，E，D在同一水平线上，∠AEB＝∠CED)，测得DE＝3 m．已知眼睛到地面的距离CD＝1.6 m，求凉亭AB的高度． 图3 解：根据题意，得∠B＝∠D＝90°，∠AEB＝∠CED. 解得AB＝6.4. 答：凉亭AB的高度为6.4 m. 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 训练　2.图4是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射 后刚好射到古城墙CD的顶端C处，AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝ 4 m，BP＝6 m，DP＝12 m，求该古城墙CD的高度． 图4 解：∵光线从点A出发经平面镜反射到点C， ∴∠APB＝∠CPD. ∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°. ∴△ABP∽△CDP. 答：该古城墙CD的高度为8 m. 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 知识点 3 间接测量的问题  例3　如图5，光源P在水平横杆AB的上方，在光源的照射下，横杆AB在水平地面上的影子为CD(点P，A，C在一条直线上，点P，B，D在一条直线上)．已知AB＝1.5 m，CD＝4.5 m，光源P到横杆AB的距离是 1 m，则光源P到水平地面的距离是__________m． 图5 3 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 训练　3.如图6，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m有一棵树，在北岸边每隔50 m有一根电线杆．小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则这段河宽为__________m． 图6 22.5 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．击地传球是篮球运动中的一种传球方式，利用击地传球可以有效地躲避对手的拦截．如图7，传球选手从点A处将球传出，经地面点O处反弹后被接球选手在点C处接住，将球所经过的路径视为直线，此时∠AOB＝∠COD.若点A距地面的高度AB为1.5 m，点C距地面的高度CD为1 m，传球选手与接球选手之间的距离BD为5 m，则OB的长度 为__________m. 图7 3 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 2．小明放学途中遇到一铁塔，于是他想利用现有的一把长度为 20 cm的直尺测量铁塔的高度．如图8，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，保持直尺竖直，瞄准直尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A.已知小明的眼睛到直尺EF的距离为50 cm，到铁塔AB的距离为40 m，求铁塔AB的高度． 图8 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 解：如答图1，过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点P，则CH＝ 40 m，CP＝50 cm＝0.5 m，FE＝20 cm＝0.2 m． 答图1 ∵FE∥AB，∴△CEF∽△CBA. 解得AB＝16. 答：铁塔AB的高度为16 m. 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 能力提升 3．(人教九下P58改编)如图9，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝90 mm，高AD＝60 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的边MN在BC上，其余两个顶点P，Q分别在边AB，AC上．设PQ＝x mm. (1)若矩形PQMN是正方形，则边长是多少？ 图9 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 解：(1)如答图2，设AD与PQ的交点为H. 答图2 ∵矩形PQMN为正方形，∴PQ＝QM，PQ∥BC. ∴△APQ∽△ABC. 由题易得DH＝QM＝PQ＝x. ∴AH＝AD－DH＝AD－PQ＝60－x. ∴PQ＝36 mm. 答：若矩形PQMN是正方形，则边长是36 mm. 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 (2)试用含x的代数式表示PN. (3)当PQ的长为多少时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？ 图9 ∴当x＝45时，S矩形PQMN有最大值，最大值为1 350. 答：当PQ的长为45 mm时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为 1 350 mm2． 第9课时　相似三角形的应用(二) 返回目录 ∴＝，即 ＝.解得CD＝12. ∴＝，即＝.∴CH＝12.5. ∴△ABE∽△CDE.∴＝，即 ＝. ∴＝，即 ＝.解得CD＝8. ∴＝，即 ＝. 又AD⊥BC，∴＝. ∴＝.解得x＝36. (2)同(1)，得 ＝.∴＝.∴PN＝60－x. (3) S矩形PQMN＝PQ·PN＝x＝－x2＋60x＝－(x－45)2＋1 350. ∵－<0，0<x<90， $$ 第2课时　相似多边形 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 了解相似多边形和相似比．(几何直观、空间观念、模型观念、应用意识) 第2课时　相似多边形 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 相似多边形的定义(判定) 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别__________，边__________，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做__________，记作k.   几何语言(以右图中的四边形为例)：∵∠A＝∠A′，________________________________________________， 且______________________________，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似． 相等 成比例 相似比 ∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′ 第2课时　相似多边形 返回目录 例1　如图1，在矩形ABCD和矩形A′B′C′D′中，AB＝16，AD＝10，A′B′＝8，A′D′＝5. (1)求证：矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似； (2)相似比k＝________． 图1 (1)证明：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是矩形， ∴∠A＝∠A′＝∠B＝∠B′＝∠C＝∠C′＝∠D＝∠D′＝90°，AB＝CD＝16，AD＝BC＝10，A′B′＝C′D′＝8，A′D′＝B′C′＝5. ∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似． 2 第2课时　相似多边形 返回目录 训练　1.(人教九下P28改编)观察如图2所示的3个图形，图2②与 图2①的对应边成比例，图2③与图2①的对应角相等，则图2②，③中，哪个与图2①是相似多边形？请说明理由． 图2 解：图2②和图2③均与图2①不是相似多边形． 理由：图2①和图2②的对应角不相等； 图2①和图2③的对应边不成比例． 两个多边形必须同时满足对应角相等，对应边成比例，这两个多边形才相似．   第2课时　相似多边形 返回目录 知识点 2 相似多边形的性质 如果两个多边形相似，那么这两个多边形的对应角__________，对应边__________．       几何语言(以右图中的四边形为例)：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似， ∴∠A＝∠A′，__________________________________，且____________________________． 相等 成比例 ∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′ 第2课时　相似多边形 返回目录 例2　(人教九下P26改编)如图3，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．    (1)∠C＝__________°，∠B＝__________°； (2)x＝__________，y＝__________； (3)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比k＝________. 图3 135 69 4 18 第2课时　相似多边形 返回目录 训练　2.(人教九下P27改编)如图4，已知五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似．    (1)∠E＝________°，∠C′＝________°； (2)m＝________，n＝________； (3)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为________. 图4 115 135 3.5 6 第2课时　相似多边形 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．在如图5所示的三个矩形中，相似的是(　　)       A．甲和乙　 B．甲和丙 C．乙和丙　 D．都不相似 图5 B 第2课时　相似多边形 返回目录 2．如图6所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是(　　)       A．a＝2 B．m＝2n C．x＝2 D．∠α＝60° 图6 B 第2课时　相似多边形 返回目录 3．(人教九下P57改编)已知四边形ABCD的各边长分别为2，3，4，5，与它相似的四边形A1B1C1D1的最长边的长为15，则四边形A1B1C1D1的最短边的长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C 相似多边形的最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边． 第2课时　相似多边形 返回目录 4．如图7，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与矩形BCDA相似，则EC的长为__________. 图7 第2课时　相似多边形 返回目录 5．【易错】(2024佛山月考)下列各组图形：①两个正方形；②两个矩形；③两个菱形；④两个等边三角形；⑤两个等腰直角三角形．其中一定是相似图形的是__________.(填序号) ①④⑤ 第2课时　相似多边形 返回目录 能力提升 6．(人教九下P28改编)如图8，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，AB＝4，则AD的长为__________. 图8 第2课时　相似多边形 返回目录 思维拓展 7．【推理能力·应用意识】(人教九下P28改编)如图9，矩形花坛ABCD的宽AB＝20 m，长AD＝30 m．现计划在该花坛四周修筑小路，小路外边缘形成矩形EFGH. (1)如图9①，当小路的宽度均为2 m时，矩形ABCD与矩形EFGH是否相似？请说明理由． 图9 第2课时　相似多边形 返回目录 解：(1)不相似．理由如下： ∵AB＝20 m，AD＝30 m，小路的宽度均为2 m， ∴EF＝20＋2×2＝24(m)，EH＝30＋2×2＝34(m). ∴矩形ABCD与矩形EFGH不相似． 第2课时　相似多边形 返回目录 (2)如图9②，要使小路外边缘形成的矩形EFGH与矩形ABCD相似，并且相对的两条小路的宽度相等，则小路的宽度x与y的比值应为多少？ 图9 解：(2) ∵相对的两条小路的宽度相等， ∴EF＝(20＋2y)m，EH＝(30＋2x)m. ∵矩形EFGH与矩形ABCD相似， 第2课时　相似多边形 返回目录 ＝＝＝ ∴＝＝＝＝2. ＝＝＝ 4 ∴＝＝，＝＝.∴≠. ∴＝，即 ＝. ∴＝. $$ 第4课时　相似三角形的判定(一) 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；了解相似三角形的判定定理．(几何直观、推理能力、模型观念、空间观念) 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________.  几何语言： ∵l3∥l4∥l5， ∴ ＝________， ＝________， ＝________. 推论：________于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的________)，所得的对应线段________. 成比例 平行 延长线 成比例 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 例1　(北师九上P84改编)如图1，已知l1∥l2∥l3. (1)若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF＝________； (2)若AC＝6，BC＝4，EF＝5，则DF＝________. 图1 3 7.5 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 训练　1.(人教九下P31改编)如图2，AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O，且AO＝2，OF＝1，FD＝2. (1) ＝________； (2)若OB＝1.6，则OE＝________，CE＝________. 图2 0.8 1.6 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 知识点 2 相似三角形的判定1 ________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．       几何语言：∵________________，∴________________. 拓展：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线(或反向延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 平行 DE∥BC △ADE∽△ABC 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 例2　如图3，在△ABC中，DE∥AB，CD＝3，AD＝6． (1)求证：△DEC∽△ABC； (2)若DE＝2，求线段AB的长． 图3 (1)证明：∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC. ∴AB＝6. 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 训练　2.如图4，已知AB∥DE， ＝ . (1)求证：△EDC∽△ABC； (2)若AB＝12，求线段DE的长． 图4 (1)证明：∵AB∥DE，∴△EDC∽△ABC. 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 例3　如图5，在▱ABCD中，E是BA的延长线上一点，连接EC交AD于点F. (1)求证：△EAF∽△EBC； (2)若EA＝2，AB＝3，BC＝10，求AF的长． 图5 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴△EAF∽△EBC. (2)解：∵EA＝2，AB＝3，∴EB＝5. 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 训练　3.如图6，在矩形ABCD中，E是边AD的中点，AC与BE相交于点M，若AC＝9，求AM的长．　  图6 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC. 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(2025上海一模)如图7，已知AB∥CD∥EF，下列结论不正确的是(　　) A．　 B． C． D． 图7 C 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 2．如图8，已知BC∥DE，BD与CE相交于点A.若AB＝ BD，BC＝6，则DE的长为________． 图8 3 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 3．【跨学科】如图9，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长为__________. 图9 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 能力提升 4．将三个边长分别为2 cm的正方形按如图10所示的方式排列，连接BH，交EF于点I，则EI的长为__________cm. 图10 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 5．(人教九下P42改编)如图11，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB， ， 则＝__________． 图11 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 思维拓展 6．【应用意识·代几综合】如图12，从直角三角形木板ABC中截取一个矩形桌面CDEF(点E在边AB上)，已知∠C＝90°，AC＝40，BC＝30． (1)求证：△ADE∽△ACB； 图12 (1)证明：∵四边形CDEF为矩形，∴DE∥BC. ∴△ADE∽△ACB. 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 (2)设DE＝x，则当x取何值时，矩形CDEF的面积最大？ 图12 (2)解：设矩形CDEF的面积为S. ∴当x＝15时，S有最大值，最大值为300. 第4课时　相似三角形的判定(一) 返回目录 (2)解：∵△DEC∽△ABC，∴＝，即＝. ∴DE＝AB＝×12＝4. ∵△EDC∽△ABC，∴＝＝. (2)解：∵＝，∴＝. ∵△EAF∽△EBC，∴＝，即 ＝.∴AF＝4. ∴△AEM∽△CBM.∴＝. ∵E是边AD的中点，∴AE＝AD＝BC，即 ＝. 又AC＝9，∴＝.∴AM＝3. ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∵△ADE∽△ACB，∴＝，即＝ ∴CD＝. ∴S＝DE·CD＝x·＝－(x－15)2＋300. ∵－<0，0<x<30， $$ 第7课时　相似三角形的周长和面积 新知导学 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．(几何直观、推理能力、模型观念) 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 新知导学 返回目录 1.【推理证明】请类比教材中证明对应高的比等于相似比的过程，解答下题： 如图1，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么这两个三角形的中线AD，A′D′的比是多少？       思考：类似地，你能否证明相似三角形对应角平分线的比也等于相似比呢？ 图1 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∵AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的中线， 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 2.已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即AB＝kA′B′， AC＝________A′C′，BC＝________B′C′， k k kA′C′ kB′C′ k 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 相似三角形的性质 (1)对应角________，对应边________； (2)对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比＝________； (3)周长的比＝________，面积的比＝相似比的________. 相等 成比例 相似比 相似比 平方 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 例1　已知△ABC∽△DEF，相似比为 . (1)对应角________，对应边的比为________； (2)对应角平分线的比为__________； (3)对应高的比为__________； (4)对应中线的比为__________； (5)周长的比为__________； (6)面积的比为__________. 相等 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 训练　1.已知两个相似三角形的周长比是3∶5，则下列说法错误的是(　　)　　　　　　 　 A．相似比为3∶5 B．对应中线的比为3∶5 C．对应高的比为3∶5 D．对应面积的比为3∶5 2.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积比为1∶4，则下列说法正确的是(　　) A．对应边的比为1∶4 B．对应角平分线的比为1∶2 C．对应中线的比为1∶4 D．对应周长的比为1∶4 D B 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 例2　若△ABC∽△DEF，对应边的比为 ，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为(　　) A．12　　　　　　 　B．16 C．20 D．24 训练　3.已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6.若△ABC的面积为8，则△A1B1C1的面积是(　　) A． 　 　　B．9　 　 　C．12　 　 　D．18 C D 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 例3　(人教九下P38改编)如图2，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D. (1)求证：△DEF∽△ABC； 图2 ∵∠D＝∠A，∴△DEF∽△ABC. 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 (2)若△ABC的边BC上的高为4，面积为12 ，求△DEF的边EF上的高和面积． 图2 (2)解：由(1)可知△DEF∽△ABC，且相似比为 . ∵△ABC的边BC上的高为4，面积为12 ， 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 训练　4.(人教九下P43改编)如图3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD＝2BD，S△ADE＝4 cm2，则S△ABC＝__________cm2， S四边形BCED＝__________cm2； 图3 (1)证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. 9 5 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 (3)若S△ADE＝S四边形BCED，求 的值． 图3 解：由(1)知，△ADE∽△ABC. ∵S△ADE＝S四边形BCED，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶2. 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(2024内江改编)已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的周长比为__________. 2．(2025上海一模)如果两个相似三角形的对应中线的比为2∶3，那么它们的对应高的比为__________. 1∶3 2∶3 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 3．(2024辽宁)如图4，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为__________. 图4 12 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 4．(人教九下P39改编)将某直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则该直角三角形(　　) A．每个角扩大2倍 B．斜边扩大2倍 C．周长扩大4倍 D．面积扩大8倍 B 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 能力提升 5．(人教九下教用P107)两个相似三角形的最短边长分别是7 cm和 5 cm，它们的周长之差为12 cm，那么小三角形的周长为________cm． 6．如图5，在矩形ABCD中，E为AB上一点，连接DE，交AC于点F.若AE∶BE＝2∶3，则S△AEF∶S△CDF＝__________. 图5 30 4∶25 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 思维拓展 7．如图6，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD相交于点F，且AF＝2FD. (1)求证：△ABF∽△CEB； 图6 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠E.∴△ABF∽△CEB. 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 (2)若△CEB的面积为9，求▱ABCD的面积． 图6 (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴△DEF∽△CEB. 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 ∴S△ABF＝4. ∴S▱ABCD＝S△CEB－S△DEF＋S△ABF＝9－1＋4＝12. 第7课时　相似三角形的周长和面积 返回目录 ∴∠B＝∠B′，＝＝k. ∴BD＝BC，B′D′＝B′C′.∴＝ ∴＝.∴△ABD∽△A′B′D′.∴＝＝k. 则＝＝＝__________. (1)证明：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴＝＝. ∴△DEF的边EF上的高为 ×4＝2，面积为 ×12 ＝3. ∴AD∶AB＝1∶，即AB＝AD. ∴＝＝＝＝＋1. ∵AF＝2FD，∴＝，＝，即＝，＝. ∴＝＝.∴S△DEF＝1. 由(1)可知，△ABF∽△CEB，∴＝＝. $$ 第10课时　位似 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．(几何直观、空间观念、应用意识) 第10课时　位似 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 位似图形的概念与性质 定义 如果两个图形对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段____________，那么这两个图形叫做__________，这点叫 做____________.(位似图形是具有特殊位置关系的相似图形) 性质 文字表述 (1)位似图形的对应点的连线相交于位似中心； (2)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； (3)位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 图形示例 如图3，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，则： (1)AB∥________，AD∥________，CD∥________，BC∥________；   (2) ＝ ＝ ＝ ＝ . 成比例 位似图形 位似中心 A′B′ A′D′ C′D′ B′C′ AO BO CO DO 第10课时　位似 返回目录 例1　如图4，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，BC＝6，B′C′＝3.对应点的连线交于点O．  (1)这两个图形________(填“是”或“不是”)位似图形；若是，位似中心为点__________(若不是，此空不填)．  (2)相似比为__________. (3)若OA＝4，则AA′＝__________. 图4 是 O 2 2 第10课时　位似 返回目录 训练　1.如图5，四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形， ＝1. (1)这两个四边形的位似中心是点________； (2)相似比为__________； (3)若EF＝12，则CD＝__________. 图5 B 6 第10课时　位似 返回目录 例2　如图6，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，AO＝3，AA1＝6. (1)△ABC与△A1B1C1的相似比是________； (2)已知△ABC的周长为6，那么△A1B1C1的周长是__________. 图6 18 第10课时　位似 返回目录 训练　2.如图7，△ABC与△DEF是位似图形，已知 ＝2. (1)位似中心为点_________，相似比为________； (2)若OA＝6，则OD＝__________； (3)BC与EF的位置关系为__________； (4)已知△ABC的面积为20，那么△DEF的面积是__________. 图7 O 2 3 平行 5 第10课时　位似 返回目录 知识点 2 位似作图 例3　作图：如图8，点O在△ABC的外部，以点O为位似中心，求作△ABC的位似图形，把△ABC的边长缩小到原来的一半．         思考：若位似中心O在△ABC的内部，又应该如何作图呢？ 图8 解：如答图1，△A′B′C′或△A″B″C″即为所求． 答图1 第10课时　位似 返回目录 训练　3.如图9，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，以点A为位似中心，在网格中把△ABC放大为原来的2倍．　  图9 解：如答图2，△AB′C′或△AB″C″即为所求． 答图2 第10课时　位似 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．如图10，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，下列说法错误的是(　　) A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C，O，C′在同一条直线上 C．AO∶AA′＝1∶2 D．AB∥A′B′ 图10 C 第10课时　位似 返回目录 2．如图11，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，且OD＝2AD.若BC＝6，则EF＝__________．　 图11 4 第10课时　位似 返回目录 能力提升 3．如图12，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，且 .若S四边形ABCD＝2，则阴影部分的面积是__________． 图12 16 第10课时　位似 返回目录 4．如图13，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在格点上． (1)在图中画出位似中心O；(保留画图痕迹) (2)请在此网格中，以点C为位似中心，画出△A″B″C，使它与△ABC的相似比为2； (3)△ABC与△A″B″C的周长比是__________． 图13 解：(1)如答图3，点O即为所求． 答图3 (2)如答图3，△A″B″C即为所求． 第10课时　位似 返回目录 思维拓展 5．【数形结合】如图14，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴正半轴上．若点A的坐标为(2，0)，则正方形BEFG的边长 是__________.　 图14 12 将坐标转化为线段长，根据相似比求解即可． 第10课时　位似 返回目录 ＝ $$ 第5课时　相似三角形的判定(二) 课标要求 课堂讲练 第二十七章　相似　 课堂检测 课标要求 返回目录 了解相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明．(几何直观、推理能力、模型观念、空间观念) 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 课堂讲练 返回目录 知识点 1 相似三角形的判定2 三边__________的两个三角形相似．   几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，______________________， ∴△ABC∽△A′B′C′. 成比例 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 例1　(人教九下P34改编)如图1，根据所给条件，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 图1 解：△ABC∽△DEF.理由如下： 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 训练　1.(人教九下P42改编)如图2，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 图2 解：△ABC∽△DEF.理由如下： 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 知识点 2 相似三角形的判定3  两边__________且夹角__________的两个三角形相似．       几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，______________，∠A＝__________， ∴△ABC∽△A′B′C′. 成比例 相等 ∠A′ 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 例2　(人教九下P34改编)如图3，AE与BD相交于点C，判断△ABC和△EDC是否相似，并说明理由． 图3 解：△ABC∽△EDC.理由如下： 又AE与BD相交于点C，∴∠ACB＝∠ECD. ∴△ABC∽△EDC. 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 训练　2.如图4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，根据所给条件，判断△ADE和△ABC是否相似，并说明理由． 图4 解：△ADE∽△ABC.理由如下： 由题意，得AB＝2＋4＝6，AC＝2.5＋5＝7.5. 又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 例3　(2024揭阳模拟)如图5，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2， ＝ .求证：△ABC∽△ADE. 图5 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC. ∴∠BAC＝∠DAE. 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 训练　3.(人教九下P44改编)如图6，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD·BD. 求证：△ACD∽△CBD； 图6 证明：∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°. ∴△ACD∽△CBD. 等积式转化为比例式． 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 课堂检测 返回目录 基础过关 1．(人教九下P34改编)依据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似．(相似打“√”，不相似打“×”) (1)AB＝2 cm，BC＝2 cm，CA＝3 cm，A′B′＝6 cm，B′C′＝6 cm，C′A′＝9 cm；(　　) (2)∠A＝∠A′＝45°，AB＝12 cm，AC＝15 cm，A′B′＝16 cm，A′C′＝20 cm.(　　) √ √ 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 2．如图7，每个小正方形的边长均为1，下列选项中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(　　) 图7 B 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 3．(北师九上P102改编)如图8，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．求证：△ABC∽△DEF. 图8 证明：∵D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点， ∴△ABC∽△DEF. 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 能力提升 4．如图9，在正方形ABCD中，P，Q分别是BC，CD上的点，且 DQ＝2，PC＝1，AQ＝2 ，PQ＝ .求证：△ADQ∽△QCP. 图9 证明：在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ和△QCP均为直角三角形． 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 两边成比例且其中一边的对角相等不能判定相似． 思考：连接AP，则△AQP与△ADQ，△QCP是否相似呢？ 　 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 思维拓展 5．【动点问题·分类讨论】(北师九上P102改编)如图10，在钝角三角形ABC中，AB＝3 cm，AC＝6 cm，动点D从点A出发沿边AB以1 cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿边CA以2 cm/s的速度向点A运动．当运动时间是__________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 图10 1.5 s或2.4 s 由于相似三角形的对应关系不确定，需要进行分类讨论． 第5课时　相似三角形的判定(二) 返回目录 ＝＝ ∵＝＝2，＝＝2，＝＝2， ∴＝＝ .∴△ABC∽△DEF. 由题意，得AC＝＝，BC＝ ＝，AB＝4，DF＝＝2， EF＝＝2，DE＝8. ∴＝＝＝.∴△ABC∽△DEF. ＝ ∵＝＝，＝＝，∴＝. ∴＝＝，＝＝.∴＝. 又＝，∴△ABC∽△ADE. ∵CD2＝AD·BD，∴＝. ∴DE，EF，DF均为△ABC的中位线． ∴＝＝＝2. ∴＝＝＝2.∴△ADQ∽△QCP. (或可利用＝，∠D＝∠C证明相似) ∵DQ＝2，PC＝1，AQ＝2 ，PQ＝， ∴AD＝＝4，QC＝＝2. $$