2.1等式性质与不等式性质 学案学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语 第2.1节 《 等式性质与不等式性质 》学案 本学案的亮点是：依托教材，变式教学；学案中的典例讲解环节中，每道典例均为教材中的原题，每个典例配备根据例题改编的变式训练，均为原创题目，分A、B两组，其中A组为基础题，B组为中档题。学案共分五部分：学习目标、知识梳理、概念辨析（针对学生在理解概念时易错、易混淆的地方，涉及的题目）、典例讲解、课堂小结。 教材分析 本节是 “不等式” 内容的起始课，承接初中等式的性质，是后续不等式证明、求解（如一元二次不等式、分式不等式等）的理论基础。通过类比等式性质探究不等式性质，体现数学抽象素养；利用性质进行大小比较、不等式证明，培养逻辑推理素养。本节为构建不等式的运算体系奠基，也为后续函数单调性等内容提供工具性支持。 学习目标 掌握等式和不等式的基本性质，能准确用数学语言表述性质内容。会用不等式性质比较大小、证明简单不等式，提升逻辑推理能力。体会 “类比” “从特殊到一般” 的数学思想，发展数学抽象与逻辑推理核心素养。 教学重点：不等式的基本性质及应用（比较大小、证明不等式）。 教学难点：利用不等式性质严谨证明不等式，以及性质应用中 “符号对不等号方向的影响”。 知识梳理 等式的性质： 对称性：如果a=b，那么b=a； 传递性：如果a=b，b=c，那么a=c； 可加性：如果a=b，那么a±c=b±c； 可乘性：如果a=b，那么ac=bc； 可除性：如果a=b，，那么。 不等式的性质： 对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。 可加性：如果a>b，那么a+c>b+c。 可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 同向可加性：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。 同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。 乘方性：如果a>b>0，n∈N，n≥2，那么an>bn。 开方性：如果a>b>0，n∈N，n≥2，那么。 概念辨析 1、（多选） 下列关于不等式性质的说法正确的是（） A. 若a>b，则a+c>b+c B. 若a>b，c>d，则a−c>b−d C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D. 若a>b，c<0，则ac<bc 2、（单选）已知a,b,c为实数，且a>b，则下列结论中不正确的是（ ） A.ac2>bc2 B. C.a3>b3 D.a2>b2 典例讲解 例 1 、比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。 分析：通过 “作差法” 将大小比较转化为 “差与 0 的关系”，体现逻辑推理素养，是不等式比较的基本方法。 小结：比较大小的基本方法： 作差法：步骤为 “作差→变形（因式分解、配方等）→定号→结论”。 作商法：适用于正数，步骤为 “作商→变形→与 1 比较大小→结论”。 变式训练 A 组（基础题） 1、比较(x+1)(x+4)和(x+3)2的大小。 2、（多选题）下列比较大小的过程正确的是（） A. 比较x2+1与2x，作差得(x−1)2>0，故x2+1>2x B. 比较3x与2x，作差得x，符号由x决定 C. 比较(x+3)(x−1)与(x+2)(x−2)（x>0），作差得2x+1，符号由x决定 D. 比较x3与x2，作差得x2(x−1)，符号由x决定（正确） 3、比较2x2+3与x2+2x+2的大小。 4、（多选题）已知x∈R，下列关于比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小说法正确的是（ ） A. 作差结果为−1 B. 所以(x+5)(x+7)<(x+6)2 C. 作差结果为1 D. 大小关系与x有关 5、比较(a+3)(a−5)和(a+2)(a−4)的大小。 B 组（中档题） 1、已知a>0，比较与的大小。 2、（多选题）对于任意实数x，有关比较x4+x2+1与x3+x大小的说法正确的是（ ） A. 作差后可因式分解为(x2−x+1)(x2+1) B. 所以x4+x2+1>x3+x恒成立 C. 当x=1时，两者相等（错误，x=1时，左边=3，右边=2） D. 大小关系与x有关 3、比较与+3的大小。 4、（多选题）已知m>n>0，关于比较与的大小下列说法正确的是（ ） A. 作差法知，故 B. 作商法知，故 C. 两者相等 D. 大小关系不确定 5、比较a4+b4与a3b+ab3的大小（a,b∈R）。 例2、已知，，求证 小结：不等式证明常用方法： 性质法：利用不等式基本性质逐步推导（注意性质的条件，如符号对不等号方向的影响）。作差法：通过作差后变形定号证明。 变式训练 A 组（基础题） 1、已知a>b>0，d<c<0，则下列不等式成立的是（） A.ac>bd B.a+c>b+d C. D.a−c<b−d 2、（多选题）已知a>b，c<d，则下列结论正确的是（ ） A.a−c>b−d B.ac>bd C. D.a+d与b+c的大小不确 3、已知a>b>0，e<f<0，求证。 4、（多选题）已知a>b，c>d，则下列不等式一定成立的是（ ） A.a+c>b+d B.a−d>b−c C.ac>bd D. 5、（多选题）已知a>b>0，c<0，则下列不等式中正确的是（） A.ac<bc B. C.a−c<b−c D.−ca<−cb（a>b且c<0，性质 4，正确） B 组（中档题） 1、已知a>b>0，0<c<d，求证。 2、已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证。 3、若a,b∈R，且a>b，则下列不等式中正确的是（） A.∣a∣>∣b∣ B.a2>b2 C.a3+b3>2b3 D.a2+1>b2+1 4、已知a>b>0，p>q>0，且ap>bq，求证。 合作探究 探究不等式性质的等价变形与拓展 问题：已知不等式性质 “若a>b>0，n∈N，n≥2，则an>bn”，小组合作探究： 若去掉 “a>b”，仅保留 “a,b>0且a=b”，结论是否成立？若将指数n拓展到正有理数r（即r>0），结论 “若a>b>0，r>0，则ar>br” 是否成立？ 用具体例子验证，并从幂函数单调性角度分析（提示：考虑y=xr的单调性）。 （说明：通过讨论，结合函数y=x2等的单调性，理解 “乘方、开方性质” 的本质是幂函数的单调性，提升数学抽象与逻辑推理素养。） 课堂总结 重点内容：等式性质：对称性、传递性、加减乘除的 “不变性”（除数不为 0）。不等式性质：对称性、传递性、可加性、可乘性（注意c的符号）、同向可加性、同向同正可乘性、乘方性、开方性。应用：作差法比较大小；性质法、作差法证明不等式。 注意事项：应用不等式性质时，务必关注条件（如可乘性中c的正负，同向可乘性中a,b,c,d的正负）。作差法变形要 “彻底”（因式分解、配方等），以便准确判断符号。 课后练习 1、比较(x−3)(x+1)和(x−2)2的大小。 2、已知a>b>0，c<d<0，求证ac<bd。 3、若a,b∈R，且a>b，判断a2+1与ab+a的大小关系，并证明。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语 第2.1节 《 等式性质与不等式性质 》学案 本学案的亮点是：依托教材，变式教学；学案中的典例讲解环节中，每道典例均为教材中的原题，每个典例配备根据例题改编的变式训练，均为原创题目，分A、B两组，其中A组为基础题，B组为中档题。学案共分五部分：学习目标、知识梳理、概念辨析（针对学生在理解概念时易错、易混淆的地方，涉及的题目）、典例讲解、课堂小结。 教材分析 本节是 “不等式” 内容的起始课，承接初中等式的性质，是后续不等式证明、求解（如一元二次不等式、分式不等式等）的理论基础。通过类比等式性质探究不等式性质，体现数学抽象素养；利用性质进行大小比较、不等式证明，培养逻辑推理素养。本节为构建不等式的运算体系奠基，也为后续函数单调性等内容提供工具性支持。 学习目标 掌握等式和不等式的基本性质，能准确用数学语言表述性质内容。会用不等式性质比较大小、证明简单不等式，提升逻辑推理能力。体会 “类比” “从特殊到一般” 的数学思想，发展数学抽象与逻辑推理核心素养。 教学重点：不等式的基本性质及应用（比较大小、证明不等式）。 教学难点：利用不等式性质严谨证明不等式，以及性质应用中 “符号对不等号方向的影响”。 知识梳理 等式的性质： 对称性：如果a=b，那么b=a； 传递性：如果a=b，b=c，那么a=c； 可加性：如果a=b，那么a±c=b±c； 可乘性：如果a=b，那么ac=bc； 可除性：如果a=b，，那么。 不等式的性质： 对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。 可加性：如果a>b，那么a+c>b+c。 可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 同向可加性：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。 同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。 乘方性：如果a>b>0，n∈N，n≥2，那么an>bn。 开方性：如果a>b>0，n∈N，n≥2，那么。 概念辨析 1、（多选） 下列关于不等式性质的说法正确的是（） A. 若a>b，则a+c>b+c B. 若a>b，c>d，则a−c>b−d C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D. 若a>b，c<0，则ac<bc 解析：根据不等式性质3、4、6，可知A、C、D 正确，如5>3，4>1，则5−4=1<3−1=2 故B 错误。故选ACD。 2、已知a,b,c为实数，且a>b，则下列结论中不正确的是（） A.ac2>bc2 B. C.a3>b3 D.a2>b2 解析：当c=0时，ac2=bc2=0，A错误；因为c符号未知，若c<0，不等号方向改变，B错误；函数y=x3在R上单调递增，a>b，则a3>b3，C正确；若a=1，b=−2，则a2=1<b2=4，D错误，仅 C 正确，故选C。 典例讲解 例 1 、比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。 分析：通过 “作差法” 将大小比较转化为 “差与 0 的关系”，体现逻辑推理素养，是不等式比较的基本方法。 解析：要比较两个多项式的大小，采用 “作差法”，考察差与 0 的大小关系。 (x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)−(x2+5x+4)=2。 因为2>0，所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)。 小结：比较大小的基本方法： 作差法：步骤为 “作差→变形（因式分解、配方等）→定号→结论”。 作商法：适用于正数，步骤为 “作商→变形→与 1 比较大小→结论”。 变式训练 A 组（基础题） 1、比较(x+1)(x+4)和(x+3)2的大小。 解析：作差得(x+1)(x+4)−(x+3)2=(x2+5x+4)−(x2+6x+9)=−x−5。 当x<−5时，−x−5>0，故(x+1)(x+4)>(x+3)2； 当x=−5时，−x−5=0，故两者相等； 当x>−5时，−x−5<0，故(x+1)(x+4)<(x+3)2。 2、（多选题）下列比较大小的过程正确的是（） A. 比较x2+1与2x，作差得(x−1)2>0，故x2+1>2x B. 比较3x与2x，作差得x，符号由x决定 C. 比较(x+3)(x−1)与(x+2)(x−2)（x>0），作差得2x+1，符号由x决定 D. 比较x3与x2，作差得x2(x−1)，符号由x决定（正确） 解析：因为(x−1)2≥0，故x2+1≥2x，则A错，因为x>0，故2x+1>0，故C错，易知BD正确，故选BD。 3、比较2x2+3与x2+2x+2的大小。 解析：作差得2x2+3−(x2+2x+2)=x2−2x+1=(x−1)2≥0，故2x2+3≥x2+2x+2（当且仅当x=1时等号成立）。 4、（多选题）已知x∈R，下列关于比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小说法正确的是（ ） A. 作差结果为−1 B. 所以(x+5)(x+7)<(x+6)2 C. 作差结果为1 D. 大小关系与x有关 解析：因为(x+5)(x+7)−(x+6)2=x2+12x+35)−(x2+12x+36)=−1<0，故(x+5)(x+7)<(x+6)2，故选AB。 5、比较(a+3)(a−5)和(a+2)(a−4)的大小。 解析：作差得(a2−2a−15)−(a2−2a−8)=−7<0，故(a+3)(a−5)<(a+2)(a−4)。 B 组（中档题） 1、已知a>0，比较与的大小。 解析：作差得−=(a−1)。因为a>0，a3>0，且a5−1=(a−1)(a4+a3+a2+a+1)，所以作差结果为(a4+a3+a2+a+1)≥0，故≥（当且仅当a=1时等号成立）。 2、（多选题）对于任意实数x，有关比较x4+x2+1与x3+x大小的说法正确的是（ ） A. 作差后可因式分解为(x2−x+1)(x2+1) B. 所以x4+x2+1>x3+x恒成立 C. 当x=1时，两者相等（错误，x=1时，左边=3，右边=2） D. 大小关系与x有关 解析：因为x4+x2+1−x3−x=(x2−x+1)(x2+1)，又x2−x+1=(x−)2+0，x2+1>0， 故x4+x2+1>x3+x，所以A、B 正确，C、D错误，故选AB。 3、比较与+3的大小。 解析：两者均为正，平方后比较：()2=12+2，(+3)2=12+6。 作差：12+2−(12+6)=2(−)>0，故>+3。 4、（多选题）已知m>n>0，关于比较与的大小下列说法正确的是（ ） A. 作差法知，故 B. 作商法知，故 C. 两者相等 D. 大小关系不确定 解析：因为，故A 正确; ，因m>n>0，(m+n)2≥4mn，故商1，故B正确，易知C、D错误，故选AB。 5、比较a4+b4与a3b+ab3的大小（a,b∈R）。 解析：作差得a4+b4−a3b−ab3=(a−b)2(a2+ab+b2)。因(a−b)2≥0，a2+ab+b2= (a+)2+b2≥0，故a4+b4≥a3b+ab3（当且仅当a=b时等号成立）。 例2、已知，，求证 分析：要证明，因为.所以可以先证明.利用已知和性质4，即可证明. 证明：因为.所以，则（正数的倒数仍为正）.不等式a>b两边乘（正数，不等号方向不变），即，则，又，不等式两边乘负数，不等号方向改变，得. 小结：不等式证明常用方法： 性质法：利用不等式基本性质逐步推导（注意性质的条件，如符号对不等号方向的影响）。作差法：通过作差后变形定号证明。 变式训练 A 组（基础题） 1、已知a>b>0，d<c<0，则下列不等式成立的是（） A.ac>bd B.a+c>b+d C. D.a−c<b−d 解析：令a=2,b=1,c=−1,d=−2，ac=bd=−2，故A错误；因为a>b且c>d，根据同向可加性可知a+c>b+d，令a=2,b=1,c=−1,d=−2，，C错误；因为a>b且−c>−d，同向可加得a−c>b−d，D错误，选B。 2、（多选题）已知a>b，c<d，则下列结论正确的是（ ） A.a−c>b−d B.ac>bd C. D.a+d与b+c的大小不确 解析：因为a>b且−c>−d，又同向可加，A正确；令a=2,b=1,c=−2,d=−1，则ac=−4<bd=−1，B错误；令a=2,b=1,c=1,d=2，，C错误；取值验证D 正确。故选AD。 3、已知a>b>0，e<f<0，求证。 解析：因e<f<0，故−e>−f>0；又a>b>0，故−ae>−bf>0（同向同正可乘），即ae<bf。因e<0，f<0，故ef>0，不等式ae<bf两边除以ef（正数，不等号不变），得。 4、（多选题）已知a>b，c>d，则下列不等式一定成立的是（ ） A.a+c>b+d B.a−d>b−c C.ac>bd D. 解析：根据同向可加性，A正确；因为c>d即−d>−c，与a>b同向可加，B正确；令a=2,b=1,c=−1,d=−2，ac=bd=−2，C错误；令a=3,b=1,c=−1,d=−2，，D错误； 故选AB。 5、（多选题）已知a>b>0，c<0，则下列不等式中正确的是（） A.ac<bc B. C.a−c<b−c D.−ca<−cb（a>b且c<0，性质 4，正确） 解析：因为a>b且c<0，由不等式性质知A正确、D错误；因为a>b>0故a2>b20， 则，又c<0，故，B正确；因为a>b，两边加上−c不等号不变，应为a−c>b−c，C错误；故选AB。 B 组（中档题） 1、已知a>b>0，0<c<d，求证。 解析：因0<c<d，故（正数倒数，不等号反向）；又a>b>0，故 （同向同正可乘）。 2、已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证。 解析：因c<d<0，故−c>−d>0；又a>b>0，故a−c>b−d>0（同向可加），因此（正数倒数，不等号反向），又e<0，不等式两边乘负数，不等号方向改变，故。 3、若a,b∈R，且a>b，则下列不等式中正确的是（） A.∣a∣>∣b∣ B.a2>b2 C.a3+b3>2b3 D.a2+1>b2+1 解析：令a=1,b=−2，可知A、B错误；因为a>b，故a3>b3，因此a3+b3>b3+b3=2b3， C 正确。令a=1,b=−2，a2+1=2<b2+1=5，D错误；故选C。 4、已知a>b>0，p>q>0，且ap>bq，求证。 解析：作差得，因ap>bq，故ap−bq>0，且p>q>0，故pq>0，因此，即。 合作探究 探究不等式性质的等价变形与拓展 问题：已知不等式性质 “若a>b>0，n∈N，n≥2，则an>bn”，小组合作探究： 若去掉 “a>b”，仅保留 “a,b>0且a=b”，结论是否成立？若将指数n拓展到正有理数r（即r>0），结论 “若a>b>0，r>0，则ar>br” 是否成立？ 用具体例子验证，并从幂函数单调性角度分析（提示：考虑y=xr的单调性）。 （说明：通过讨论，结合函数y=x2等的单调性，理解 “乘方、开方性质” 的本质是幂函数的单调性，提升数学抽象与逻辑推理素养。） 课堂总结 重点内容：等式性质：对称性、传递性、加减乘除的 “不变性”（除数不为 0）。不等式性质：对称性、传递性、可加性、可乘性（注意c的符号）、同向可加性、同向同正可乘性、乘方性、开方性。应用：作差法比较大小；性质法、作差法证明不等式。 注意事项：应用不等式性质时，务必关注条件（如可乘性中c的正负，同向可乘性中a,b,c,d的正负）。作差法变形要 “彻底”（因式分解、配方等），以便准确判断符号。 课后练习 1、比较(x−3)(x+1)和(x−2)2的大小。 解析：作差得(x−3)(x+1)−(x−2)2=2x−7。 当x>27时，(x−3)(x+1)>(x−2)2； 当x=27时，两者相等； 当x<27时，(x−3)(x+1)<(x−2)2。 2、已知a>b>0，c<d<0，求证ac<bd。 解析：因c<d<0，故−c>−d>0；又a>b>0，故−ac>−bd（同向同正可乘）。两边乘−1（不等号方向改变），ac<bd。 3、若a,b∈R，且a>b，判断a2+1与ab+a的大小关系，并证明。 解析：作差得a2+1−(ab+a)=(a−1)2+a(a−b)−a，进一步配方 / 因式分解得 (a−)2+。结合幂函数或特殊值验证，可得a2+1>ab+a恒成立（因作差结果可化为非负项之和，且至少有一项为正）。 学科网（北京）股份有限公司 $$