福建省长汀县第一中学2026届高三上学期第一次月考数学试题

长汀一中2026届高三第一次月考试卷 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 考试范围：集合不等式、函数与导数、三角、立几、概率 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效 3. 考试结束后，只需上交答题卡. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知，，则A∩B等于（ ） A. B. C.{(0,0),(1,1)} D. 2．已知函数（且）过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则（     ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（     ） A．命题：“，”，则是真命题 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”的否定是：“，” D．“”是“在上为增函数”的充要条件 7．已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每题至少有2个选项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 10．下列四个等式其中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点（含端点），则（     ） A．存在点H，使得 B．存在点H，使得 C．存在点H，使得EH∥平面BDG D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30° 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的单调递减区间为_____________. 13．设命题：；命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______. 14．设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为__________. 四、解答题(共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）(1)求证：； (2)求值：. 16．（15分）为适应高中新课程改革，某学校在通用技术课程中开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛． (1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如下表数据： (天) 1 2 3 4 5 6 7 (秒) 990 990 450 320 300 240 210 经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过天训练后，加工完成一个模具的平均速度约为多少秒？ (2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请计算小明最终赢得比赛的概率．参考数据：(其中) 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 17．（15分）如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求到平面的距离； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知函数． （1）若△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b，c，锐角A满足，求锐角的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)已知的导函数在上存在零点，求证：当时，． 长汀一中2026届高三第一次月考数学试卷参考答案 一、单选题B B A B，B D C A， 8.提示：【分析】利用函数与的图象关于直线对称，求出与直线平行，且、相切的切点坐标可得答案. 二、多选题9．AC，10．AD，11．ACD， 11.提示：由题意可将图形补全为一个正方体，如图示： 对于A、B：利用正方体的性质直接判断；对于C、D：以A为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 三、填空题 12．也可 13. 14. 14.提示：∵时，， ∴在上的图象与上的图象关于对称， 不妨设，如图： 可得，. ∴. ∴ ，. 令， 则原式化为，其对称轴为，开口向上， ∴在上单调递增.∴. ∴的取值范围为. 四、解答题 15．解：（1）由题意可得：， ∴，即等式成立……………………6分 （2）由 ………………13分 16．解：（1）由题意，， 令，设y关于t的线性回归方程为， 则， 则， ∴， ∴y关于x的回归方程为， 当时，， ∴预测小明经过20天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为180秒；………………8分 （2）设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜， 由题意知，最多再进行4局就有胜负，X的可能取值为2、3、4． 当时，小明4∶1胜，∴； 当时，小明4∶2胜，∴； 当时，小明4∶3胜，∴． ∴小明最终赢得比赛的概率为．………………15分 17．解：1）取的中点，连接，， 为等边三角形， ， 又平面平面，平面平面， 平面， 如图所示，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， ，，即，令，则， 又， 故到平面的距离；………………7分 （2）设，，， ，则，， 设平面的法向量为， ，，则，令，则， 又平面的法向量为， 于是， 化简得，又，得，即， 故存在点，此时. .………………15分 18．解：（1） ， 又为锐角，∴ ………………8分 （2）的外接圆半径为 由正弦定理得： 由余弦定理： 得： 即（当且仅当时取等号） 则三角形的面积（当且仅当时取等号） 故三角形面积最大值为 ………………17分 19．解：（1）∵，则， 由题意可得，解得；………………………3分 （2）， 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则恒成立，故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减；…………………10分 （3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，，则， 令，则在时恒成立， 故在上单调递减，则，即在时恒成立， 则在上单调递减，则，故. ……………………………………17分 3 学科网（北京）股份有限公司 $$