3.3 二次根式的加法和减法 导学案 2025-2026学年湘教版（2024）数学八年级上册

3.3 第1课时 二次根式的加、减法 素养目标 1.知道同类二次根式,会辨别两个根式是不是同类二次根式. 2.会合并同类二次根式,并会进行二次根式的加、减法运算. 重点 合并同类二次根式,会利用它进行简单的二次根式的加、减法运算. 【自主预习】 1.实数加法的运算律是否适用于二次根式的加法运算? 2.怎样进行二次根式的加减运算? 1.下列二次根式中,能与合并的是 (　　) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是 (　　) A.-= B.+= C.4-4=1 D.3+2=5 【合作探究】 知识点一：同类二次根式 阅读课本本课时“做一做”中的内容,回答下列问题. 下列两组二次根式,在每一组中,它们的被开方数有什么特点? (1),3,-,-7; (2)2,,-,-5. 　　像和-,2和-5,化为最简二次根式后它们的被开方数相同,这样的两个二次根式叫作同类二次根式. 思考:和是同类二次根式吗? 【温馨提示】几个二次根式是不是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,而与根号外的因式无关.此外,被开方数不同的二次根式也有可能是同类二次根式. ·学习小助手· 　　同类二次根式的辨别方法:1.将二次根式化为最简二次根式;2.观察被开方数,相同的是同类二次根式,否则不是. 1.下列二次根式中,不能与合并的是 (　　) A. B. C. D.- 知识点二：二次根式的加、减法 认真阅读课本本课时“思考”至“例2”的内容,解决下列问题. (1)与是最简二次根式吗?是同类二次根式吗? (2),,,,这些二次根式是最简二次根式吗?如果不是,请你化为最简二次根式. (3)怎样求与的和? (4)类比合并同类项法则,说一说如何合并同类二次根式. (5)与能合并吗?什么样的二次根式不能合并? 　　 在进行二次根式的加减运算时,一般按下列三个步骤进行:(1)先　　　　,将所有二次根式化为最简二次根式;(2)找出其中的　　　　二次根式;(3)合并同类二次根式.  ·学习小助手· 　　“合并同类二次根式”与“合并同类项”类似. 2.计算:(1)7-2+3; (2)8+-. 二次根式加减的混合运算 例　计算: (1)+2-; (2)(3+2)-(-2). 变式训练　计算:8-. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.适用. 2.先把每个二次根式化成最简二次根式,再对被开方数相同的二次根式进行运算. 自学检测 1.D　2.A 【合作探究】 知识生成 知识点一 在每一组中的被开方数相同,并且都是最简二次根式,第(1)组都是2,第(2)组都是m. 思考:虽然它们的被开方数不同,但==2, 所以和是同类二次根式. 对点训练 1.C 知识点二 (1)不是最简二次根式,但可以化简,=2,=3,所以与是同类二次根式. (2)都不是最简二次根式. ==3;==5;==3;==9;==4. (3)先将与化为最简二次根式,再逆用分配律将两个二次根式合并,即+=2+3=(2+3)=5. (4)把同类二次根式的系数相加减,所得的数作为结果的系数,根指数和被开方数不变. (5)不能合并;不是同类二次根式都不能合并. 归纳总结 化简　同类 对点训练 2.解:(1)原式=(7-2+3)=8. (2)原式=8+3-=(8+3-1)=10. 题型精讲 例 解:(1)原式=+2×- =+- =+. (2)原式=3+2-+2 =3+4-5+6 =9-. 变式训练 解:原式=8-+=8-+3=10. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 第2课时 二次根式的混合运算 素养目标 1.了解二次根式混合运算的运算法则. 2.会根据二次根式混合运算的运算法则进行二次根式的混合运算. 重点 二次根式的混合运算. 【自主预习】 1.写出平方差公式和完全平方公式. 2.如何将进行分母有理化? 1.在算式“(+1)□(-1)”的“□”中填上一种运算符号,使其运算结果为有理数,则“□”可能为 (　　) A.+ B.÷ C.+或× D.-或× 2.计算×-的结果是　　　　.  【合作探究】 知识点一：二次根式的混合运算 阅读课本本课时“做一做”至“例3”的内容,回答下列问题. 1.“做一做”中的第(1)题类似于整式中的　　　　乘　　　　,其中用到了　　　　律;第(2)题类似于整式运算中的　　　　乘　　　　,利用“法则”展开后,根据实数的运算顺序进行运算.  2.“例3”中的第(1)题应用了　　　　;第(2)题应用了　　　　.  　　二次根式的混合运算与整式的混合运算一致,运算顺序是先　　　　、再　　　　、最后　　　　,有括号的先算　　　　里面的.  1.计算:(1)×; (2)(+)(-). 【温馨提示】对于二次根式的混合运算,实数中的运算律(分配律、结合律、交换律)、运算法则及所有的乘法公式仍然成立,并且整式和分式的运算法则仍然适用. 知识点二：二次根式的分母有理化 阅读课本本课时“例4、例5”的内容,回答下列问题. 1.“例4”将除法写成　　　　的形式,再根据分数加法逆向运用得到和的形式,再进行约分.  2.“例5”中的第(2)题的分母2+与2-的关系是　　　　,因为(2+)×(2-)=22-()2=1,这里利用了　　　　公式.  　　 (1)互为有理化因式:两个含有根式的代数式相乘,如果它们的积不含根式,那么这两个代数式叫作互为有理化因式. (2)分母有理化的步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘分母的有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式. 2.计算:(1)(-2)÷; (2)+. 二次根式的化简、求值 例　已知x=2-,y=2+,求x2+y2-xy的值. 变式训练　已知x=-2,y=+2,求下列式子的值: (1). (2)x2+xy+y2. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 2.分子、分母同时乘+. 自学检测 1.D　2.0 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.多项式　单项式　分配　多项式　多项式 2.平方差公式　完全平方公式 归纳总结　乘方　乘除　加减　括号 对点训练 1.解:(1)原式=×=2. (2)原式=()2-()2=2. 知识点二 1.分数 2.互为倒数　平方差 对点训练 2.解:(1)原式==. (2)原式=+ =(-)+(+)=2. 题型精讲 例 解:x2+y2-xy=x2-2xy+y2+xy=(x-y)2+xy =(2--2-)2+(2-)(2+)=12+1=13. 变式训练 解:(1)== =9-4. (2)x2+xy+y2=(x+y)2-xy =(-2++2)2-(-2)(+2) =(2)2-(5-4)=20-1=19. 学科网（北京）股份有限公司 $$