13.1 三角形中的边角关系 导学案 2025-2026学年数学沪科版（2024）八年级上册

13.1 第2课时 三角形中角的关系 素养目标 1.会按角将三角形分类. 2.掌握三角形内角和定理. 3.能用三角形内角和定理解决相关问题. 重点 三角形内角和定理. 【自主预习】 预学思考 1.三角形按照边应怎么分类? 2.思考:三角形若按角来分类,可分为哪几类? 自学检测 1.如果一个三角形的三个内角的度数分别为40°,60°,80°,那么这个三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.在△ABC中,∠A=10°,∠B=30°,则∠C=　　　　.  【合作探究】 知识生成 知识点一 三角形的分类 阅读课本第67页“例2”前面的内容,回答归纳总结中的问题. 归纳总结 三角形按角的大小,可分为: 三角形 对点训练 三角形按角的大小可以分为 ( ) A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C.直角三角形、 等腰直角三角形 D.以上答案都不正确 知识点二 三角形的内角和 阅读课本第67页“例2”的内容,回答下列问题. 1.请同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,你有哪些方法?你发现了什么? 2.请谈谈你是如何说明三角形的内角和等于180°的? 归纳总结 三角形的内角和等于 . 对点训练 在△ABC中, (1)若∠A=80°,∠B=∠C,则∠B= ;  (2)若∠A-∠C=35°,∠B-∠A=20°,则∠B= ;  (3)若∠C=90°,∠A=30°,则∠B= .  题型精讲 题型1 三角形中角的关系 例1　下列说法正确的有 (填序号).  ①如果一个三角形中最大的内角是70°,那么这个三角形是锐角三角形; ②一个三角形中最多只有一个钝角或直角; ③一个等腰三角形一定是锐角三角形; ④三角形中至少有一个角不大于60°. 变式训练 △ABC的三个内角满足关系式∠B+∠C=3∠A,则这个三角形 ( ) A.一定有一个内角为45° B.一定有一个内角为60° C.一定是直角三角形 D.一定是钝角三角形 题型2 三角形内角和 例2　如图,AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=40°,则∠D= .  变式训练 两把三角尺按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α等于 ( ) A.105° B.115° C.120° D.135° 题型3 三角形内角和的应用 例3　如图,按规定,一块模板中AB,CD的延长线相交需成85°角,因交点不在板上,不便测量,工人师傅连接AC,测得∠BAC=32°,∠DCA=65°,此时AB,CD的延长线相交所成的角是不是符合规定?为什么? 变式训练 如图,五角星ABCDE,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 参考答案 自主预习 预学思考 1.三角形 2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 自学检测 1.B 2.140° 合作探究 知识生成 知识点一 归纳总结 三角形 对点训练 A 知识点二 1.方法如下(方法不唯一): 发现略. 2.采用测量的方法(答案不唯一) 归纳总结 180° 对点训练 (1)50° (2)85° (3)60° 题型精讲 题型1 例1 ①②④ 变式训练 A 题型2 例2 40° 变式训练 A 题型3 例3 解:不符合规定.理由:设AB,CD的延长线相交于点O,由三角形内角和定理得∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°≠85°,所以不符合规定. 变式训练 解:如图,连接BE,在△ABE中,∠ABE+∠AEB+∠A=180°(三角形内角和性质), 即∠ABC+∠2+∠1+∠AED+∠A=180°. 又因为 ∠1+∠2+∠EOB=180°, ∠D+∠C+∠DOC=180°(三角形内角和性质), ∠EOB=∠DOC(对顶角相等), 所以∠1+∠2=∠D+∠C, 所以∠ABC+∠C+∠D+∠DEA+∠A=180°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 第3课时 三角形中几条重要线段 素养目标 1.掌握三角形的高、中线与角平分线的概念和画法. 2.知道三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质. 3.明确重心的概念. 重点 三角形中的特殊线段. 【自主预习】 预学思考 作出△ABC的三条角平分线,观察它们有什么特征. 自学检测 1.三角形的下列线段中,能将三角形的面积分成相等两部分的是 ( ) A.中线 B.角平分线 C.高 D.三角形两邻边中点的连线 2.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=25°,AD是△ABC的角平分线,则∠BAD的度数为 ( ) A.50° B.53° C.55° D.58° 【合作探究】 知识生成 知识点一 三角形的特殊线段 阅读课本第69页“操作”及前面的内容,回答下列问题. 1.锐角三角形三条高的交点在三角形 ;直角三角形三条高的交点在三角形的 顶点;钝角三角形三条高的交点在三角形 .  2.请根据表格填空: 名称 总条数 位置 是否交于一点(或延长线) 所得结论 高 　　  　　  　　  　　　  中线 　　  　　  　　  　　　  角平分线 　　  　　  　　  　　　  归纳总结 1.如图,△ABC的一个内角∠BAC的平分线AD交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC的 ,即∠1=∠2.  2.三角形中,连接一个顶点与它 的线段叫作三角形的中线.  3.从三角形的一个顶点到它对边 的垂线段叫作三角形的高.  对点训练 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,DE⊥AB,垂足为E,则△ABD的BD边上的高是 ( ) A.AD B.DE C.AC D.BC 2.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是 ( ) A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90° C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2S△ABF 知识点二 三角形的重心与定义 阅读课本第69页“操作”至第70页“练习”前面的内容,回答下列问题. 1.分别作出图1、图2中两个三角形的高线,观察它们有什么特征. 2.作出△ABC的三条中线,观察它们有什么特征. 归纳总结 1.三角形有三条高线,它们所在的直线会相交于　　　　.  2.三角形有三条中线,它们会相交于　　　　,这个交点就是三角形的　　　　.  对点训练 1.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论错误的是 ( ) A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C.∠3=∠BCD D.CE是△BCD的中线 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC且与BC相交于点D,∠B=40°,∠BAD=30°,则∠C的度数是 .  题型精讲 题型1 三角形中的线段 例1　如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC对折,使点B 落在点B'的位置,则线段AC ( ) A.是边BB'上的中线 B.是边BB'上的高线 C.是∠BAB'的平分线 D.以上三种性质都符合 变式训练 1.如图,已知△ABC,CD⊥BC于点C,点D在AB的延长线上,则CD是△ABC ( ) A.BC边上的高 B.AB边上的高 C.AC边上的高 D.以上都不对 2.已知AD,AE分别是△ABC的中线、高,且AB=5 cm,AC=3 cm,则△ABD与△ADC的周长之差为 ;△ABD与△ADC的面积关系是 .  题型2 三角形中线段的应用 例2　在等腰三角形ABC中,一腰AC上的中线把三角形的周长分为12 cm和15 cm两部分,求此三角形各边的长. 变式训练 1.如图,BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,如果∠DBC=∠ECB,那么∠ABC=∠ACB吗? 2.(方法指导:利用三角形的面积公式)如图,△ABC中,AB=2 cm,BC=4 cm,△ABC的高AD与高CE的比是多少? 参考答案 自主预习 预学思考 解:作图如下: 三角形的三条角平分线会相交于同一点. 自学检测 1.A 2.C 合作探究 知识生成 知识点一 1.内部　直角　外部 2. 名称 总条数 位置 是否交于一点(或延长线) 所得结论 高 3 形外、形内或边上 是 得直角 中线 3 形内 是 得相等线段 角平分线 3 形内 是 得相等角 归纳总结 1.角平分线 2.对边中点 3.所在直线 对点训练 1.C 2.C 知识点二 1.作图如下: 三角形的三条高线所在直线会相交一个点. 2.三角形三条中线会交于同一个点. 归纳总结 1.同一个点 2.同一个点　重心 对点训练 1.D 2.80° 题型精讲 题型1 例1 D 变式训练 1.D 2.2 cm　相等 题型2 例2 解:(1)当底边长小于腰长时(如图1),依题意有AB+AD=15,BC+CD=12. 图1 因为AB=AC,D是AC中点,所以AD=AC=AB,从而AB+AD=AB=15, 所以AC=AB=10 cm,CD=AD=5 cm,BC=12-CD=7 cm. (2)当底边大于腰长时(如图2),则有AB+AD=12,BC+CD=15, 图2 同上法可求得AB=AC=8 cm,BC=11 cm, 上述两种情况解得的线段都构成三角形,故原题有两解. 变式训练 1.解:因为BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线, 所以∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠ECB, 又∠DBC=∠ECB, 所以∠ABC=∠ACB. 2.解:S△ABC=BC·AD=AB·CE, 所以BC·AD=AB·CE,即4AD=2CE, 所以AD与CE的比是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 第1课时 三角形中边的关系 素养目标 1.知道三角形及三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形. 2.会按三边的特殊关系,对三角形进行分类. 3.掌握三角形的三边关系,会判断三条线段构成三角形的条件. 重点 三角形按边分类. 【自主预习】 预学思考 如图,D是△ABC 的边AC上一点,AD=BD,试判断AC 与BC 的大小. 自学检测 将线段a,b,c首尾顺次相接组成三角形.若a=1,b=3,则c的长度可以是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【合作探究】 知识生成 知识点一 三角形的概念 阅读课本第64页前三段的内容,解决下列问题. 1.如图,点A,B,C叫作这个三角形的 ;线段AB,BC,CA叫作这个三角形的 ;∠A,∠B,∠C叫作这个三角形的 ,简称三角形的角.  2.一个三角形有 个顶点, 条边, 个角.  3.三角形用符号“△”表示,如图所示的三角形可以表示为“ ”,读作“ ”.  4.三角形的三边有时也用它所对的角的相应小写字母表示:如边BC对着∠A,记作 ;边CA记作 ;边AB记作 .  归纳总结 由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫作三角形.  对点训练 下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中符合三角形概念的是 ( ) A. B. C. D. 知识点二 三角形按边的分类 阅读课本第65页“思考”之前的三段文字,回答下列问题. 在三角形中,三条边 的三角形叫作不等边三角形,有 的三角形叫作等腰三角形,三条边 的三角形叫作等边三角形.  归纳总结 三角形按边长关系,可分为: 对点训练 三角形按边长关系可分为 ( ) A.不等边三角形、等边三角形 B.等腰三角形、等边三角形 C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 D.不等边三角形、等腰三角形 知识点三 三角形的三边关系 阅读课本第65页“思考”与“例1”的内容,回答归纳总结中的问题. 归纳总结 1.三角形中任何两边的和 第三边,即a+c b,同理a+b　　c,b+c a.  2.根据不等式的基本性质,上图中a b-c,b a-c,c b-a,也可以说,三角形中任何两边之差 第三边.  对点训练 1.在△ABC中,AB=3,BC=5,则AC的取值范围是 ( ) A.0<AC<10 B.3<AC<8 C.2<AC<8 D.6<AC<10 2.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 ( ) A.2 cm,3 cm,5 cm B.7 cm,4 cm,2 cm C.3 cm,4 cm,8 cm D.3 cm,3 cm,4 cm 题型精讲 题型1 三角形的三边关系 例1　两根木棒的长分别为3 cm和5 cm,要选择第三根木棒,将它钉成一个三角形,若第三根木棒的长为偶数,则第三根木棒的长是多少? 变式训练 下列长度的三条线段能组成三角形的是 ( ) A.1,2,3 B.1,,3 C.3,4,8 D.4,5,6 题型2 等腰三角形中边的关系 例2　(1)如果等腰三角形的两条边分别为3和7,求它的周长. (2)已知等腰三角形的两条边分别为4和7,求它的周长. 变式训练 已知等腰三角形的一条边等于4,另一条边等于9,那么这个三角形的周长是 . 参考答案 自主预习 预学思考 解:在△BDC 中, 有 BD+DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边), 又因为 AD=BD, 则BD+DC=AD+DC=AC, 所以 AC>BC. 自学检测 A 合作探究 知识生成 知识点一 1.顶点　边　内角 2.三　三　三 3.△ABC　三角形ABC 4.a　b　c 归纳总结 首尾依次相接 对点训练 D 知识点二 互不相等　两条边相等　都相等 对点训练 D 知识点三 归纳总结 1.大于　>　>　> 2.>　>　>　小于 对点训练 1.C　2.D 题型精讲 题型1 例1 解:设第三根木棒的长为x cm. 依据三角形三边关系可得5-3<x<3+5,所以 2<x<8, 又因为x为偶数,故x只能取4或6. 答:第三根木棒的长是4 cm或6 cm. 变式训练 D 题型2 例2 解:(1)若腰长为3,不能构成三角形,因此腰长为7,周长为7+7+3=17. (2)若腰长为4,则周长为4+4+7=15;若腰长为7,则周长为7+7+4=18. 变式训练 22 学科网（北京）股份有限公司 $$