12.3 一次函数与二元一次方程 导学案 2025-2026学年沪科版数学八年级上册

12.3 第3课时 一次函数与二元一次方程组的实际应用 素养目标 1.在实际问题中,建立两个或两个以上的一次函数模型. 2.会计算两个一次函数的交点,会比较两个一次函数的大小. 3.能利用一次函数的知识,在实际问题中选择最佳方案. 重点 建立数学模型,解决实际问题. 【自主预习】 预学思考 1.已知一次函数y=90x+5,则当x=2时, y=　　　　,当y =365时, x=　　　　.  2.某校办工厂现年产值是30万元,如果每增加1 000元投资,一年可增加2 500元产值.那么总产值y(单位:万元)与增加的投资额x(单位:万元)之间的函数关系式为　　　　　　.  自学检测 某医药研究院实验一种新药药效时发现,成人如果按规定剂量服用,每毫升血液中含药量y(单位:微克)随时间x(单位:时)的变化情况如图所示.如果每毫升血液中含药量达到3微克以上(含3微克)时治疗疾病为有效,那么有效时长是　　小时.  【合作探究】 知识生成 知识点 方案的选择 阅读课本第52页“例4”至第53页的内容,回答归纳总结中的问题. 归纳总结 1.用函数图象法解一元一次不等式的步骤:①将一元一次不等式转化为对应的 ;②画出 ;③根据图象写出不等式的解集.  2.用作差法构造一个新的函数,通过判断新函数与 轴的交点,判断原来的两个函数值的大小关系.  对点训练 如图,l1反映了某公司的销售收入与销售量的关系,l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系,当该公司盈利(收入大于成本)时,销售量应 .  题型精讲 题型 方案选择问题 例　学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节,现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠.设参加文化节的老师有x人,甲、乙两家旅行社实际收费为y1,y2,且它们的函数图象如图所示,根据图象信息,请你回答下列问题. (1)当参加老师的人数为多少时,两家旅行社收费相同? (2)当参加老师的人数为多少时,选择甲旅行社合算? (3)如果总共有50位老师参加,那么选择哪家旅行社合算? 变式训练 国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某企业推出一种改烧汽油为天然气的装置,每辆车改装费为b元,据市场调查知:每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)y0,y1(单位:元)与正常营运时间x(单位:天)之间分别满足关系式:y0=ax,y1=b+50x,如图所示. (1)每辆车改装前每天的燃料费a= 元,每辆车的改装费b= 元,正常营运 天后,就可以从节省的燃料费中收回改装成本.  (2)某出租汽车公司一次性改装了100辆出租车,则正常营运多少天后共能节省燃料费40万元? 参考答案 自主预习 预学思考 1.185　4 2.y=30+2.5x 自学检测 4 合作探究 知识生成 知识点 归纳总结 1.一次函数　一次函数和图象 2.x 对点训练 大于4吨 题型精讲 题型 例 解:(1)当两个函数图象相交时,两家旅行社收费相同,由图象知人数为30. (2)由图象知,当有30人以下时,y1<y2,所以选择甲旅行社合算. (3)由图象知,当有50人参加时,y1>y2,所以选择乙旅行社合算. 变式训练 解:(1)90;4 000;100. (2)(解法一)依题意及图象得100×(90-50)x=400 000+100×4 000,解得x=200. 答:200天后共节省燃料费40万元. (解法二)依题意,可得÷(90-50)+100=200. 答:200天后共节省燃料费40万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 第1课时 一次函数与二元一次方程 素养目标 1.会用等量代换,把二元一次方程转化成一次函数. 2.知道一次函数上的点对应二元一次方程的解. 3.能判断点的坐标是否为二元一次方程的解. 重点 二元一次方程和一次函数的相互关系. 【自主预习】 预学思考 写出二元一次方程x+y=4的几组整数解,在平面直角坐标系中描出这些解组成的有序数对的对应点,并把这些点连起来,你有什么发现? 自学检测 1.把方程2x+y=1化为y=kx+b的形式,正确的是 ( ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x+1 D.y=-2x+ 2.若点(3,b)在二元一次方程 3y=2x-9对应的直线上,则b的值为 ( ) A.-1 B.2 C.3 D.9 【合作探究】 知识生成 知识点 一次函数与二元一次方程的关系 阅读课本第49页的内容,回答下列问题. 直线上任意一个点的坐标与其所对应的二元一次方程的解有什么关系? 归纳总结 一次函数与二元一次方程的关系 对点训练 1.下列有序实数对中,对应二元一次方程x-3y=-1的解的是 ( ) A. (1,2) B.(2,1) C.(-1,-2) D. (-2,-1) 2.已知x=2是方程kx+b=0的解,则一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标为 ( ) A.(2,0) B.(0,2) C.(-2,0) D.(0,-2) 3.把二元一次方程2x-y-3=0写成一次函数y= ;把一次函数y=6-2x写成二元一次方程为 .  题型精讲 题型1 一次函数与二元一次方程的转化 例1　 把方程x+1=4y+化为y=kx+b的形式,正确的是 ( ) A.y=x+1 B.y=x+ C.y=x+1 D.y=x+ 变式训练 方程x+y=4的解有 个,以方程x+y=4的解为坐标的点组成的图象与函数y=-x的图象的位置关系是 .  题型2 直线与坐标轴围成的三角形面积问题 例2 　已知二元一次方程3x-y-2=0所在的直线,在平面直角坐标系中与两坐标轴交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形AOB的面积. 变式训练 在平面直角坐标系中,已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,C(0,n)是y轴上一点,把坐标平面沿直线AC折叠,使点B刚好落在x轴上,则点C的坐标是 ( ) A. B. C.(0,3) D.(0,4) 参考答案 自主预习 预学思考 …… 发现略. 自学检测 1.C　2.A 合作探究 知识生成 知识点 一次函数所在的直线上任意一点的坐标都是其对应的二元一次方程的解. 对点训练 1.B　2.A 3.2x-3　2x+y=6 题型精讲 题型1 例1 B 变式训练 无数　平行 题型2 例2 解:因为3x-y-2=0,所以y=3x-2,所以点A,B的坐标为,(0,-2), 所以三角形AOB的面积是××2=. 变式训练 B 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 第2课时 一次函数与二元一次方程组 素养目标 1.知道一次函数与二元一次方程组的关系,会用图象法解二元一次方程组. 2.通过一次函数,了解二元一次方程组无解的情形. 3.会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况. 重点 用图象法解二元一次方程组. 【自主预习】 预学思考 在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=x-1和y=2x-4的图象,并观察两直线的交点P的横、纵坐标与方程组 的解有什么关系? 自学检测 1.直线y=3x-1与y=x+3的交点坐标是 ( ) A.(2,5) B.(1,4) C.(-2,1) D.(-3,0) 2.如图,已知函数y=ax-3和y=kx的图象交于点P(2,-1),则关于x,y的方程组的解是 ( ) A. B. C. D. 【合作探究】 知识生成 知识点一 二元一次方程组的图象解法 阅读课本第50页到第51页“例1”“例2”“例3”的内容,回答下列问题. 用作图法来解一元二次方程组的步骤是怎样的? 归纳总结 两个一次函数图象的交点坐标就是相应的　　　　　　的解;反之,二元一次方程组的解就是相应的两条直线的　　　　　　.  对点训练 若用图象法解二元一次方程组时所画的图象如图所示,则该方程组的解是 ( ) A. B. C. D. 知识点二 二元一次方程组解的情况判断 阅读课本第52页 “思考”中的内容,回答下列问题. 请写出直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2(k1≠0,k2≠0)不同系数情况下的位置关系. 归纳总结 一次函数图象(两条直线)位置有三种关系及对应解的情况: (1)相交(有一个交点)⇔二元一次方程组有 ;  (2)平行(无交点)⇔二元一次方程组 ;  (3)重合(有无数个交点)⇔ 二元一次方程组有 .  对点训练 下面的二元一次方程组中方程无解的是 ( ) A. B. C. D. 题型精讲 题型1 用图象法解二元一次方程组 例1　用图象法解方程组下图中正确的是 ( ) 　　　　　A　　　　　　　 　B 　　　　　C　　　　　　　 　D 变式训练 1.用图象法解某二元一次方程组时,在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图),则所解的二元一次方程组是 ( ) A. B. C. D. 2.如图,函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于x,y的的二元一次方程组的解是 .  题型2 利用方程组求两直线交点 例2　求直线y=2x+4与y=-x+1的交点坐标. 变式训练 1.有两条直线y=ax+b和y=cx+5,学生甲求得它们的交点坐标为(3,-2),学生乙因看错c而求得它们的交点为(4,5),求两条直线的表达式. 2.如图,直线l1:y1=2x+1与坐标轴交于A,C两点,直线l2:y2=-x-2与坐标轴交于B,D两点,两线的交点为P.求三角形APB的面积. 题型3 两直线的位置关系与方程组的解 例3　一次函数y=2x-1与y=2x+3的图象是两条 (填“相交”或“平行”)的直线,因此方程组的解的情况是 .  变式训练 1.无论m为何实数,直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.当k>时,直线kx-y=k与直线ky+x=2k的交点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 参考答案 自主预习 预学思考 两直线的交点P的坐标为(3,2),点P的横、纵坐标就是方程组 的解. 自学检测 1.A 2.A 合作探究 知识生成 知识点一 (1)转化形式:把二元一次方程化为一次函数的形式. (2)画函数图象:在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象,并确定交点坐标.(3)写出方程组的解:两条直线的交点坐标就是方程组的解. 归纳总结 二元一次方程组　交点坐标 对点训练 A 知识点二 ①k1≠k2⇔y1与y2相交; ②⇔y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2); ③⇔y1与y2平行; ④⇔y1与y2重合. 归纳总结 (1)唯一解 (2)无解 (3)无数个解 对点训练 C 题型精讲 题型1 例1 C 变式训练 1.D 2. 题型2 例2 解:由题意,得方程组 解这个方程组,得即交点坐标为(-1,2). 变式训练 1.解:把(3,-2)代入y=cx+5,得c=-.由点(4,5)和点(3,-2)都在函数y=ax+b上,所以有解得a=7,b=-23.故所求的函数表达式为y=7x-23和y=-x+5. 2.解:由题意得方程组 解得 所以点P的坐标为(-1,-1), 所以S三角形ABP==. 题型3 例3 平行　无解 变式训练 1.C　2.A 学科网（北京）股份有限公司 $$